Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcnlem5 Structured version   Unicode version

Theorem logcnlem5 23211
 Description: Lemma for logcn 23212. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d
Assertion
Ref Expression
logcnlem5
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem logcnlem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logcn.d . . 3
2 difss 3567 . . 3
31, 2eqsstri 3469 . 2
4 ax-resscn 9497 . 2
5 eqid 2400 . . . 4
61ellogdm 23204 . . . . . . 7
76simplbi 458 . . . . . 6
81logdmn0 23205 . . . . . 6
97, 8logcld 23140 . . . . 5
109imcld 13082 . . . 4
115, 10fmpti 5986 . . 3
12 eqid 2400 . . . 4
13 eqid 2400 . . . 4
14 simpl 455 . . . 4
15 simpr 459 . . . 4
161, 12, 13, 14, 15logcnlem2 23208 . . 3
17 simpll 752 . . . . . 6
18 simprl 755 . . . . . 6
19 simplr 754 . . . . . 6
20 simprr 756 . . . . . 6
211, 12, 13, 17, 18, 19, 20logcnlem4 23210 . . . . 5
2221expr 613 . . . 4
23 fveq2 5803 . . . . . . . . . 10
2423fveq2d 5807 . . . . . . . . 9
25 fvex 5813 . . . . . . . . 9
2624, 5, 25fvmpt 5886 . . . . . . . 8
2726ad2antrr 724 . . . . . . 7
28 fveq2 5803 . . . . . . . . . 10
2928fveq2d 5807 . . . . . . . . 9
30 fvex 5813 . . . . . . . . 9
3129, 5, 30fvmpt 5886 . . . . . . . 8
3231ad2antlr 725 . . . . . . 7
3327, 32oveq12d 6250 . . . . . 6
3433fveq2d 5807 . . . . 5
3534breq1d 4402 . . . 4
3622, 35sylibrd 234 . . 3
3711, 16, 36elcncf1ii 21582 . 2
383, 4, 37mp2an 670 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1403   wcel 1840   cdif 3408   wss 3411  cif 3882   class class class wbr 4392   cmpt 4450  cfv 5523  (class class class)co 6232  cc 9438  cr 9439  cc0 9440  c1 9441   caddc 9443   cmul 9445   cmnf 9574   clt 9576   cle 9577   cmin 9759   cdiv 10165  crp 11181  cioc 11499  cim 12985  cabs 13121  ccncf 21562  clog 23124 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519  ax-mulf 9520 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-ixp 7426  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-fi 7823  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ioo 11502  df-ioc 11503  df-ico 11504  df-icc 11505  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-mod 11946  df-seq 12060  df-exp 12119  df-fac 12306  df-bc 12333  df-hash 12358  df-shft 12954  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-limsup 13348  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563  df-ef 13902  df-sin 13904  df-cos 13905  df-tan 13906  df-pi 13907  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-hom 14823  df-cco 14824  df-rest 14927  df-topn 14928  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-topgen 14948  df-pt 14949  df-prds 14952  df-xrs 15006  df-qtop 15011  df-imas 15012  df-xps 15014  df-mre 15090  df-mrc 15091  df-acs 15093  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-submnd 16181  df-mulg 16274  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-fbas 18626  df-fg 18627  df-cnfld 18631  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-topsp 19585  df-cld 19702  df-ntr 19703  df-cls 19704  df-nei 19782  df-lp 19820  df-perf 19821  df-cn 19911  df-cnp 19912  df-haus 19999  df-tx 20245  df-hmeo 20438  df-fil 20529  df-fm 20621  df-flim 20622  df-flf 20623  df-xms 21005  df-ms 21006  df-tms 21007  df-cncf 21564  df-limc 22452  df-dv 22453  df-log 23126 This theorem is referenced by:  logcn  23212
 Copyright terms: Public domain W3C validator