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Theorem logcnlem5 23211
Description: Lemma for logcn 23212. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
logcnlem5  |-  ( x  e.  D  |->  ( Im
`  ( log `  x
) ) )  e.  ( D -cn-> RR )
Distinct variable group:    x, D

Proof of Theorem logcnlem5
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logcn.d . . 3  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
2 difss 3567 . . 3  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  C_  CC
31, 2eqsstri 3469 . 2  |-  D  C_  CC
4 ax-resscn 9497 . 2  |-  RR  C_  CC
5 eqid 2400 . . . 4  |-  ( x  e.  D  |->  ( Im
`  ( log `  x
) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) )
61ellogdm 23204 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
76simplbi 458 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
81logdmn0 23205 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
97, 8logcld 23140 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  CC )
109imcld 13082 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR )
115, 10fmpti 5986 . . 3  |-  ( x  e.  D  |->  ( Im
`  ( log `  x
) ) ) : D --> RR
12 eqid 2400 . . . 4  |-  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  (
Im `  y )
) )  =  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im `  y
) ) )
13 eqid 2400 . . . 4  |-  ( ( abs `  y )  x.  ( z  / 
( 1  +  z ) ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) )
14 simpl 455 . . . 4  |-  ( ( y  e.  D  /\  z  e.  RR+ )  -> 
y  e.  D )
15 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( y  e.  D  /\  z  e.  RR+ )  -> 
z  e.  RR+ )
161, 12, 13, 14, 15logcnlem2 23208 . . 3  |-  ( ( y  e.  D  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  (
Im `  y )
) )  <_  (
( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  (
Im `  y )
) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) )  e.  RR+ )
17 simpll 752 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( abs `  ( y  -  w
) )  <  if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im
`  y ) ) )  <_  ( ( abs `  y )  x.  ( z  /  (
1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im `  y
) ) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ) ) )  -> 
y  e.  D )
18 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( abs `  ( y  -  w
) )  <  if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im
`  y ) ) )  <_  ( ( abs `  y )  x.  ( z  /  (
1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im `  y
) ) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ) ) )  -> 
z  e.  RR+ )
19 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( abs `  ( y  -  w
) )  <  if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im
`  y ) ) )  <_  ( ( abs `  y )  x.  ( z  /  (
1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im `  y
) ) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ) ) )  ->  w  e.  D )
20 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( abs `  ( y  -  w
) )  <  if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im
`  y ) ) )  <_  ( ( abs `  y )  x.  ( z  /  (
1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im `  y
) ) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ) ) )  -> 
( abs `  (
y  -  w ) )  <  if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im
`  y ) ) )  <_  ( ( abs `  y )  x.  ( z  /  (
1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im `  y
) ) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ) )
211, 12, 13, 17, 18, 19, 20logcnlem4 23210 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( abs `  ( y  -  w
) )  <  if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im
`  y ) ) )  <_  ( ( abs `  y )  x.  ( z  /  (
1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im `  y
) ) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( Im `  ( log `  y ) )  -  ( Im `  ( log `  w ) ) ) )  < 
z )
2221expr 613 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( y  -  w ) )  < 
if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  (
Im `  y )
) )  <_  (
( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  (
Im `  y )
) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( Im `  ( log `  y ) )  -  ( Im
`  ( log `  w
) ) ) )  <  z ) )
23 fveq2 5803 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( log `  x )  =  ( log `  y
) )
2423fveq2d 5807 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  =  ( Im `  ( log `  y ) ) )
25 fvex 5813 . . . . . . . . 9  |-  ( Im
`  ( log `  y
) )  e.  _V
2624, 5, 25fvmpt 5886 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  D  ->  (
( x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `  y )  =  ( Im `  ( log `  y ) ) )
2726ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( (
x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `
 y )  =  ( Im `  ( log `  y ) ) )
28 fveq2 5803 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  ( log `  x )  =  ( log `  w
) )
2928fveq2d 5807 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  =  ( Im `  ( log `  w ) ) )
30 fvex 5813 . . . . . . . . 9  |-  ( Im
`  ( log `  w
) )  e.  _V
3129, 5, 30fvmpt 5886 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  D  ->  (
( x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `  w )  =  ( Im `  ( log `  w ) ) )
3231ad2antlr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( (
x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `
 w )  =  ( Im `  ( log `  w ) ) )
3327, 32oveq12d 6250 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( (
( x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `  y )  -  ( ( x  e.  D  |->  ( Im
`  ( log `  x
) ) ) `  w ) )  =  ( ( Im `  ( log `  y ) )  -  ( Im
`  ( log `  w
) ) ) )
3433fveq2d 5807 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  D  |->  ( Im
`  ( log `  x
) ) ) `  y )  -  (
( x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `  w ) ) )  =  ( abs `  ( ( Im `  ( log `  y ) )  -  ( Im `  ( log `  w ) ) ) ) )
3534breq1d 4402 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( ( ( x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `
 y )  -  ( ( x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `  w
) ) )  < 
z  <->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  y ) )  -  ( Im `  ( log `  w ) ) ) )  < 
z ) )
3622, 35sylibrd 234 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( y  -  w ) )  < 
if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  (
Im `  y )
) )  <_  (
( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  (
Im `  y )
) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  D  |->  ( Im
`  ( log `  x
) ) ) `  y )  -  (
( x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `  w ) ) )  <  z
) )
3711, 16, 36elcncf1ii 21582 . 2  |-  ( ( D  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) )  e.  ( D -cn-> RR ) )
383, 4, 37mp2an 670 1  |-  ( x  e.  D  |->  ( Im
`  ( log `  x
) ) )  e.  ( D -cn-> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840    \ cdif 3408    C_ wss 3411   ifcif 3882   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   CCcc 9438   RRcr 9439   0cc0 9440   1c1 9441    + caddc 9443    x. cmul 9445   -oocmnf 9574    < clt 9576    <_ cle 9577    - cmin 9759    / cdiv 10165   RR+crp 11181   (,]cioc 11499   Imcim 12985   abscabs 13121   -cn->ccncf 21562   logclog 23124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519  ax-mulf 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-ixp 7426  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-fi 7823  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ioo 11502  df-ioc 11503  df-ico 11504  df-icc 11505  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-mod 11946  df-seq 12060  df-exp 12119  df-fac 12306  df-bc 12333  df-hash 12358  df-shft 12954  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-limsup 13348  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563  df-ef 13902  df-sin 13904  df-cos 13905  df-tan 13906  df-pi 13907  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-hom 14823  df-cco 14824  df-rest 14927  df-topn 14928  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-topgen 14948  df-pt 14949  df-prds 14952  df-xrs 15006  df-qtop 15011  df-imas 15012  df-xps 15014  df-mre 15090  df-mrc 15091  df-acs 15093  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-submnd 16181  df-mulg 16274  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-fbas 18626  df-fg 18627  df-cnfld 18631  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-topsp 19585  df-cld 19702  df-ntr 19703  df-cls 19704  df-nei 19782  df-lp 19820  df-perf 19821  df-cn 19911  df-cnp 19912  df-haus 19999  df-tx 20245  df-hmeo 20438  df-fil 20529  df-fm 20621  df-flim 20622  df-flf 20623  df-xms 21005  df-ms 21006  df-tms 21007  df-cncf 21564  df-limc 22452  df-dv 22453  df-log 23126
This theorem is referenced by:  logcn  23212
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