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Theorem logcnlem4 20489
Description: Lemma for logcn 20491. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
logcnlem.s  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
logcnlem.t  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
logcnlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
logcnlem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
logcnlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
logcnlem.l  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
Assertion
Ref Expression
logcnlem4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( log `  B ) ) ) )  < 
R )

Proof of Theorem logcnlem4
StepHypRef Expression
1 logcnlem.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
2 logcn.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
32ellogdm 20483 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  CC  /\  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ ) ) )
43simplbi 447 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  D  ->  A  e.  CC )
51, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
62logdmn0 20484 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  D  ->  A  =/=  0 )
71, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
85, 7logcld 20421 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
98imcld 11955 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
109recnd 9070 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
11 logcnlem.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
122ellogdm 20483 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  D  <->  ( B  e.  CC  /\  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR+ ) ) )
1312simplbi 447 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  D  ->  B  e.  CC )
1411, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
152logdmn0 20484 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  D  ->  B  =/=  0 )
1611, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
1714, 16logcld 20421 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  B
)  e.  CC )
1817imcld 11955 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  RR )
1918recnd 9070 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  CC )
2010, 19abssubd 12210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( log `  B ) ) ) )  =  ( abs `  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
2117, 8imsubd 11977 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  B
) )  -  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
22 efsub 12656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  B
)  e.  CC  /\  ( log `  A )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  B
) )  /  ( exp `  ( log `  A
) ) ) )
2317, 8, 22syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  B
) )  /  ( exp `  ( log `  A
) ) ) )
24 eflog 20427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  B ) )  =  B )
2514, 16, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  B ) )  =  B )
26 eflog 20427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
275, 7, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
2825, 27oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( log `  B ) )  /  ( exp `  ( log `  A ) ) )  =  ( B  /  A ) )
2923, 28eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( B  /  A ) )
3014, 5, 7divcld 9746 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  /  A
)  e.  CC )
3114, 5, 16, 7divne0d 9762 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  /  A
)  =/=  0 )
3217, 8subcld 9367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  e.  CC )
33 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
34 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
35 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
36 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
372, 33, 34, 1, 35, 11, 36logcnlem3 20488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  /\  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )
3837simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
3938, 21breqtrrd 4198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
Im `  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) ) ) )
4037simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  <_  pi )
4121, 40eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
42 ellogrn 20410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  e. 
ran  log  <->  ( ( ( log `  B )  -  ( log `  A
) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) ) )  /\  ( Im
`  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
)
4332, 39, 41, 42syl3anbrc 1138 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  e. 
ran  log )
44 logeftb 20431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  ( B  /  A
)  =/=  0  /\  ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  e. 
ran  log )  ->  (
( log `  ( B  /  A ) )  =  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) )  <-> 
( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( B  /  A ) ) )
4530, 31, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( B  /  A ) )  =  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) )  <-> 
( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( B  /  A ) ) )
4629, 45mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( B  /  A ) )  =  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) ) )
4746eqcomd 2409 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  =  ( log `  ( B  /  A ) ) )
4847fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) )
4921, 48eqtr3d 2438 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) )
5049fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) ) )
5120, 50eqtrd 2436 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( log `  B ) ) ) )  =  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) ) )
5230, 31logcld 20421 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( B  /  A ) )  e.  CC )
5352imcld 11955 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) )  e.  RR )
5453recnd 9070 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) )  e.  CC )
5554abscld 12193 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  e.  RR )
56 0re 9047 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
58 1re 9046 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
595, 14subcld 9367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
6059abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
615, 7absrpcld 12205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR+ )
6260, 61rerpdivcld 10631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )
63 resubcl 9321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )  ->  (
1  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) )  e.  RR )
6458, 62, 63sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) ) )  e.  RR )
6530recld 11954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( B  /  A ) )  e.  RR )
665abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
6735rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
68 1rp 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR+
69 rpaddcl 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  R  e.  RR+ )  ->  (
1  +  R )  e.  RR+ )
7068, 35, 69sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  RR+ )
7167, 70rerpdivcld 10631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  +  R ) )  e.  RR )
7266, 71remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  e.  RR )
7334, 72syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
74 rpre 10574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
7574adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
765imcld 11955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
7776recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
7877abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR )
7978adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( Im `  A ) )  e.  RR )
8075, 79ifclda 3726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )  e.  RR )
8133, 80syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
82 ltmin 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR  /\  S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <->  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  < 
S  /\  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  T
) ) )
8360, 81, 73, 82syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <->  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  < 
S  /\  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  T
) ) )
8436, 83mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  <  S  /\  ( abs `  ( A  -  B ) )  <  T ) )
8584simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  T )
8670rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  RR )
8767ltp1d 9897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  R  <  ( R  +  1 ) )
8867recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
89 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  CC
90 addcom 9208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( R  +  1 )  =  ( 1  +  R ) )
9188, 89, 90sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  =  ( 1  +  R ) )
9287, 91breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  <  ( 1  +  R ) )
9367, 86, 92ltled 9177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  R  <_  ( 1  +  R ) )
9486recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  CC )
9594mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  R )  x.  1 )  =  ( 1  +  R ) )
9693, 95breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  R  <_  ( (
1  +  R )  x.  1 ) )
9758a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
9867, 97, 70ledivmuld 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
( 1  +  R
) )  <_  1  <->  R  <_  ( ( 1  +  R )  x.  1 ) ) )
9996, 98mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  +  R ) )  <_  1 )
10071, 97, 61lemul2d 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
( 1  +  R
) )  <_  1  <->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  1 ) ) )
10199, 100mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  1 ) )
10266recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
103102mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  1 )  =  ( abs `  A
) )
104101, 103breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  <_  ( abs `  A
) )
10534, 104syl5eqbr 4205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  <_  ( abs `  A ) )
10660, 73, 66, 85, 105ltletrd 9186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( abs `  A ) )
107106, 103breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( ( abs `  A )  x.  1 ) )
10860, 97, 61ltdivmuld 10651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) )  <  1  <->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
( abs `  A
)  x.  1 ) ) )
109107, 108mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  <  1 )
110 posdif 9477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  <  1  <->  0  <  (
1  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
11162, 58, 110sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
112109, 111mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) ) )
11359, 5, 7divcld 9746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  A
)  e.  CC )
114113releabsd 12208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  <_  ( abs `  ( ( A  -  B )  /  A
) ) )
1155, 14, 5, 7divsubdird 9785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  A
)  =  ( ( A  /  A )  -  ( B  /  A ) ) )
1165, 7dividd 9744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  /  A
)  =  1 )
117116oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  A )  -  ( B  /  A ) )  =  ( 1  -  ( B  /  A
) ) )
118115, 117eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  A
)  =  ( 1  -  ( B  /  A ) ) )
119118fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  =  ( Re
`  ( 1  -  ( B  /  A
) ) ) )
120 resub 11887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( B  /  A
)  e.  CC )  ->  ( Re `  ( 1  -  ( B  /  A ) ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
12189, 30, 120sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
1  -  ( B  /  A ) ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
122119, 121eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
123 re1 11914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Re
`  1 )  =  1
124123oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) )  =  ( 1  -  (
Re `  ( B  /  A ) ) )
125122, 124syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  =  ( 1  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
12659, 5, 7absdivd 12212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) )
127114, 125, 1263brtr3d 4201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) )
12897, 65, 62, 127subled 9585 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) ) )  <_  ( Re `  ( B  /  A
) ) )
12957, 64, 65, 112, 128ltletrd 9186 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( Re
`  ( B  /  A ) ) )
130 argregt0 20458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  ( B  /  A
) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
13130, 129, 130syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
132 cosq14gt0 20371 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) ) )
133131, 132syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  ( cos `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )
134133gt0ne0d 9547 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  =/=  0 )
13553, 134retancld 12701 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  e.  RR )
136135recnd 9070 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  e.  CC )
137136abscld 12193 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )  e.  RR )
138 tanabsge 20367 . . . 4  |-  ( ( Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) )  <_  ( abs `  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) ) ) )
139131, 138syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  <_  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) ) )
140129gt0ne0d 9547 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( B  /  A ) )  =/=  0 )
141 tanarg 20467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( B  /  A ) )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  =  ( ( Im
`  ( B  /  A ) )  / 
( Re `  ( B  /  A ) ) ) )
14230, 140, 141syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  =  ( ( Im
`  ( B  /  A ) )  / 
( Re `  ( B  /  A ) ) ) )
143142fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )  =  ( abs `  (
( Im `  ( B  /  A ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) ) )
14430imcld 11955 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( B  /  A ) )  e.  RR )
145144recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( B  /  A ) )  e.  CC )
14665recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( B  /  A ) )  e.  CC )
147145, 146, 140absdivd 12212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( B  /  A ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( abs `  ( Re `  ( B  /  A ) ) ) ) )
14857, 65, 129ltled 9177 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  ( B  /  A
) ) )
14965, 148absidd 12180 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  A
) ) )
150149oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( abs `  (
Re `  ( B  /  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( Im
`  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
151143, 147, 1503eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
152145abscld 12193 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  e.  RR )
15365, 67remulcld 9072 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( B  /  A
) )  x.  R
)  e.  RR )
15414, 5subcld 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
155154, 5, 7divcld 9746 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  A
)  e.  CC )
156 absimle 12069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  -  A
)  /  A )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( ( B  -  A )  /  A
) ) )  <_ 
( abs `  (
( B  -  A
)  /  A ) ) )
157155, 156syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( ( B  -  A )  /  A ) ) )  <_  ( abs `  (
( B  -  A
)  /  A ) ) )
15814, 5, 5, 7divsubdird 9785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  A
)  =  ( ( B  /  A )  -  ( A  /  A ) ) )
159116oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  -  ( A  /  A ) )  =  ( ( B  /  A )  - 
1 ) )
160158, 159eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  A
)  =  ( ( B  /  A )  -  1 ) )
161160fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( B  -  A
)  /  A ) )  =  ( Im
`  ( ( B  /  A )  - 
1 ) ) )
162 imsub 11895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( Im `  (
( B  /  A
)  -  1 ) )  =  ( ( Im `  ( B  /  A ) )  -  ( Im ` 
1 ) ) )
16330, 89, 162sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( B  /  A
)  -  1 ) )  =  ( ( Im `  ( B  /  A ) )  -  ( Im ` 
1 ) ) )
164 im1 11915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Im
`  1 )  =  0
165164oveq2i 6051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im `  ( B  /  A ) )  -  ( Im ` 
1 ) )  =  ( ( Im `  ( B  /  A
) )  -  0 )
166163, 165syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( B  /  A
)  -  1 ) )  =  ( ( Im `  ( B  /  A ) )  -  0 ) )
167145subid1d 9356 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( B  /  A
) )  -  0 )  =  ( Im
`  ( B  /  A ) ) )
168161, 166, 1673eqtrrd 2441 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( B  /  A ) )  =  ( Im `  ( ( B  -  A )  /  A
) ) )
169168fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  =  ( abs `  (
Im `  ( ( B  -  A )  /  A ) ) ) )
1705, 14abssubd 12210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )
171170oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  =  ( ( abs `  ( B  -  A )
)  /  ( abs `  A ) ) )
172154, 5, 7absdivd 12212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( B  -  A
)  /  A ) )  =  ( ( abs `  ( B  -  A ) )  /  ( abs `  A
) ) )
173171, 172eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  (
( B  -  A
)  /  A ) ) )
174157, 169, 1733brtr4d 4202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) )
17566, 60resubcld 9421 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  -  ( abs `  ( A  -  B
) ) )  e.  RR )
176175, 67remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  e.  RR )
17766, 153remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) )  e.  RR )
17860recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  CC )
17989a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
180178, 179, 88adddid 9068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  ( 1  +  R ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  -  B ) )  x.  1 )  +  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R ) ) )
181178mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  1 )  =  ( abs `  ( A  -  B )
) )
182181oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  x.  1 )  +  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  x.  R ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  +  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R ) ) )
183180, 182eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  ( 1  +  R ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  +  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R ) ) )
18470rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  =/=  0 )
185102, 88, 94, 184divassd 9781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  x.  R
)  /  ( 1  +  R ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) ) )
186185, 34syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  x.  R
)  /  ( 1  +  R ) )  =  T )
18785, 186breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( (
( abs `  A
)  x.  R )  /  ( 1  +  R ) ) )
18866, 67remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  R )  e.  RR )
18960, 188, 70ltmuldivd 10647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  x.  (
1  +  R ) )  <  ( ( abs `  A )  x.  R )  <->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
( ( abs `  A
)  x.  R )  /  ( 1  +  R ) ) ) )
190187, 189mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  ( 1  +  R ) )  <  ( ( abs `  A )  x.  R
) )
191183, 190eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  +  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  x.  R ) )  <  ( ( abs `  A )  x.  R
) )
19260, 67remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R )  e.  RR )
19360, 192, 188ltaddsubd 9582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  +  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R ) )  <  ( ( abs `  A )  x.  R )  <->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
( ( abs `  A
)  x.  R )  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  x.  R
) ) ) )
194191, 193mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( (
( abs `  A
)  x.  R )  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  x.  R
) ) )
195102, 178, 88subdird 9446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  R
)  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  x.  R ) ) )
196194, 195breqtrrd 4198 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( (
( abs `  A
)  -  ( abs `  ( A  -  B
) ) )  x.  R ) )
19761rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =/=  0 )
198102, 178, 102, 197divsubdird 9785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  /  ( abs `  A
) )  =  ( ( ( abs `  A
)  /  ( abs `  A ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) ) ) )
199102, 197dividd 9744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  /  ( abs `  A ) )  =  1 )
200199oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  /  ( abs `  A ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) )  =  ( 1  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) ) )
201198, 200eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  /  ( abs `  A
) )  =  ( 1  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) ) )
202201, 128eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  /  ( abs `  A
) )  <_  (
Re `  ( B  /  A ) ) )
203175, 65, 61ledivmuld 10653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B )
) )  /  ( abs `  A ) )  <_  ( Re `  ( B  /  A
) )  <->  ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( Re `  ( B  /  A ) ) ) ) )
204202, 203mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  -  ( abs `  ( A  -  B
) ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( B  /  A ) ) ) )
20566, 65remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( B  /  A ) ) )  e.  RR )
206175, 205, 35lemul1d 10643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  <-> 
( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  <_ 
( ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  x.  R ) ) )
207204, 206mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  <_ 
( ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  x.  R ) )
208102, 146, 88mulassd 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  x.  R )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) )
209207, 208breqtrd 4196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) )
21060, 176, 177, 196, 209ltletrd 9186 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( ( abs `  A )  x.  ( ( Re `  ( B  /  A
) )  x.  R
) ) )
21160, 153, 61ltdivmuld 10651 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) )  <  ( ( Re
`  ( B  /  A ) )  x.  R )  <->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
( abs `  A
)  x.  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) ) )
212210, 211mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  < 
( ( Re `  ( B  /  A
) )  x.  R
) )
213152, 62, 153, 174, 212lelttrd 9184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  <  ( ( Re
`  ( B  /  A ) )  x.  R ) )
214 ltdivmul 9838 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  e.  RR  /\  0  <  ( Re `  ( B  /  A ) ) ) )  ->  (
( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) )  < 
R  <->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  <  ( ( Re
`  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) )
215152, 67, 65, 129, 214syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re
`  ( B  /  A ) ) )  <  R  <->  ( abs `  ( Im `  ( B  /  A ) ) )  <  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) )
216213, 215mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) )  < 
R )
217151, 216eqbrtrd 4192 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )  < 
R )
21855, 137, 67, 139, 217lelttrd 9184 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  <  R )
21951, 218eqbrtrd 4192 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( log `  B ) ) ) )  < 
R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    \ cdif 3277   ifcif 3699   class class class wbr 4172   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    -oocmnf 9074    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   (,]cioc 10873   Recre 11857   Imcim 11858   abscabs 11994   expce 12619   cosccos 12622   tanctan 12623   picpi 12624   logclog 20405
This theorem is referenced by:  logcnlem5  20490
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407
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