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Theorem logcnlem3 22108
Description: Lemma for logcn 22111. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
logcnlem.s  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
logcnlem.t  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
logcnlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
logcnlem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
logcnlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
logcnlem.l  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
Assertion
Ref Expression
logcnlem3  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  /\  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )

Proof of Theorem logcnlem3
StepHypRef Expression
1 logcnlem.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
2 logcn.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
32ellogdm 22103 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  CC  /\  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ ) ) )
43simplbi 460 . . . . . 6  |-  ( A  e.  D  ->  A  e.  CC )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
65imcld 12703 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
7 0re 9405 . . . 4  |-  0  e.  RR
8 lttri4 9478 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Im `  A )  <  0  \/  ( Im `  A
)  =  0  \/  0  <  ( Im
`  A ) ) )
96, 7, 8sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  <  0  \/  ( Im `  A
)  =  0  \/  0  <  ( Im
`  A ) ) )
10 pire 21940 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
1110renegcli 9689 . . . . . 6  |-  -u pi  e.  RR
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  e.  RR )
13 logcnlem.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
142ellogdm 22103 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  D  <->  ( B  e.  CC  /\  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR+ ) ) )
1514simplbi 460 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  D  ->  B  e.  CC )
1613, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
172logdmn0 22104 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  D  ->  B  =/=  0 )
1813, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
1916, 18logcld 22041 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  B
)  e.  CC )
2019imcld 12703 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  RR )
2120adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  RR )
222logdmn0 22104 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  D  ->  A  =/=  0 )
231, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
245, 23logcld 22041 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
2524imcld 12703 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
2620, 25resubcld 9795 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
2726adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
2816, 18logimcld 22042 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <_  pi ) )
2928simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
Im `  ( log `  B ) ) )
3029adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
3120recnd 9431 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  CC )
3231adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  CC )
3332subid1d 9727 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
3425adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  RR )
35 0red 9406 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  0  e.  RR )
36 argimlt0 22081 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
375, 36sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  (
-u pi (,) 0
) )
38 eliooord 11374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <  0 ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  0 ) )
4039simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  <  0
)
4134, 35, 21, 40ltsub2dd 9971 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4233, 41eqbrtrrd 4333 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4312, 21, 27, 30, 42lttrd 9551 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4429adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
45 reim0b 12627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
465, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
473simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  D  ->  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ ) )
481, 47syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ )
)
4946, 48sylbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  =  0  ->  A  e.  RR+ ) )
5049imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  A  e.  RR+ )
5150relogcld 22091 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
5251reim0d 12733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  =  0 )
5352oveq2d 6126 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  B
) )  -  0 ) )
5431subid1d 9727 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
5554adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
5653, 55eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
5744, 56breqtrrd 4337 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
5811a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  e.  RR )
5925renegcld 9794 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
6059adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  e.  RR )
6126adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
62 argimgt0 22080 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
635, 62sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
64 eliooord 11374 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) )
6563, 64syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi ) )
6665simprd 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  <  pi )
67 ltneg 9858 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6825, 10, 67sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6968adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  < 
pi 
<-> 
-u pi  <  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
7066, 69mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )
71 df-neg 9617 . . . . . 6  |-  -u (
Im `  ( log `  A ) )  =  ( 0  -  (
Im `  ( log `  A ) ) )
7216adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  B  e.  CC )
735, 16imsubd 12725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  B ) ) )
7473adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  =  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
755, 16subcld 9738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
7675imcld 12703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
7875abscld 12941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
805adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  A  e.  CC )
8180imcld 12703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
82 absimle 12817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  -  B )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  B
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  B )
) )
8375, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
) )
8476, 78absled 12936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
)  <->  ( -u ( abs `  ( A  -  B ) )  <_ 
( Im `  ( A  -  B )
)  /\  ( Im `  ( A  -  B
) )  <_  ( abs `  ( A  -  B ) ) ) ) )
8583, 84mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -u ( abs `  ( A  -  B
) )  <_  (
Im `  ( A  -  B ) )  /\  ( Im `  ( A  -  B ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
) ) )
8685simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  <_  ( abs `  ( A  -  B
) ) )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  <_  ( abs `  ( A  -  B ) ) )
88 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
89 rpre 11016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
9089adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
916recnd 9431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
9291abscld 12941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( Im `  A ) )  e.  RR )
9490, 93ifclda 3840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )  e.  RR )
9588, 94syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
96 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
975abscld 12941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
98 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
9998rpred 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
100 1rp 11014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR+
101 rpaddcl 11030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  R  e.  RR+ )  ->  (
1  +  R )  e.  RR+ )
102100, 98, 101sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  RR+ )
10399, 102rerpdivcld 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  +  R ) )  e.  RR )
10497, 103remulcld 9433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  e.  RR )
10596, 104syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
106 ifcl 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  e.  RR )
10795, 105, 106syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  e.  RR )
108 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
109 min1 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <_  S
)
11095, 105, 109syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <_  S
)
11178, 107, 95, 108, 110ltletrd 9550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  S )
112111adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  S
)
113 gt0ne0 9823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
1146, 113sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  =/=  0
)
11589, 46syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR+  ->  ( Im `  A
)  =  0 ) )
116115necon3ad 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  =/=  0  ->  -.  A  e.  RR+ ) )
117116imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =/=  0
)  ->  -.  A  e.  RR+ )
118 iffalse 3818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  A  e.  RR+  ->  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im `  A
) ) )  =  ( abs `  (
Im `  A )
) )
11988, 118syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  A  e.  RR+  ->  S  =  ( abs `  (
Im `  A )
) )
120117, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =/=  0
)  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
121114, 120syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
122 ltle 9482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Im `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <  (
Im `  A )  ->  0  <_  ( Im `  A ) ) )
1237, 6, 122sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  A )  ->  0  <_  ( Im `  A ) ) )
124123imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <_  ( Im `  A ) )
12581, 124absidd 12928 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( Im `  A
) )  =  ( Im `  A ) )
126121, 125eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  S  =  ( Im `  A ) )
127112, 126breqtrd 4335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
Im `  A )
)
12877, 79, 81, 87, 127lelttrd 9548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  <  (
Im `  A )
)
12974, 128eqbrtrrd 4333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( Im `  A
) )
13091adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
131130subid1d 9727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  =  ( Im `  A
) )
132129, 131breqtrrd 4337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( ( Im `  A )  -  0 ) )
133 0red 9406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
13416imcld 12703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
135133, 134, 6ltsub2d 9968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  B )  <->  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) )  <  ( ( Im
`  A )  - 
0 ) ) )
136135adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  B )  <->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( ( Im `  A )  -  0 ) ) )
137132, 136mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  B ) )
138 argimgt0 22080 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  B ) )  -> 
( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
13972, 137, 138syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
140 eliooord 11374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <  pi ) )
141139, 140syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im
`  ( log `  B
) )  <  pi ) )
142141simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
143133, 20, 25ltsub1d 9967 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  ( log `  B ) )  <->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
144143adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  B ) )  <->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
145142, 144mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
14671, 145syl5eqbr 4344 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
14758, 60, 61, 70, 146lttrd 9551 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
14843, 57, 1473jaodan 1284 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
Im `  A )  <  0  \/  ( Im
`  A )  =  0  \/  0  < 
( Im `  A
) ) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
1499, 148mpdan 668 . 2  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
15010a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  pi  e.  RR )
15134renegcld 9794 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  e.  RR )
15216adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  B  e.  CC )
15391adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
154153subid1d 9727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  =  ( Im `  A
) )
1556adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
15678renegcld 9794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
157156adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
15876adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
15978adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
160111adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  S
)
1617ltnri 9502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  0  <  0
162 breq1 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  (
( Im `  A
)  <  0  <->  0  <  0 ) )
163161, 162mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  -.  ( Im `  A )  <  0 )
164163necon2ai 2678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Im `  A )  <  0  ->  (
Im `  A )  =/=  0 )
165164, 120sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
166 ltle 9482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Im `  A )  <  0  ->  ( Im `  A
)  <_  0 ) )
1676, 7, 166sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  <  0  ->  ( Im `  A
)  <_  0 ) )
168167imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <_  0
)
169155, 168absnidd 12919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( Im `  A
) )  =  -u ( Im `  A ) )
170165, 169eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  S  =  -u ( Im `  A
) )
171160, 170breqtrd 4335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  -u (
Im `  A )
)
172159, 155, 171ltnegcon2d 9939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  -u ( abs `  ( A  -  B ) ) )
17385simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u ( abs `  ( A  -  B )
)  <_  ( Im `  ( A  -  B
) ) )
174173adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( abs `  ( A  -  B
) )  <_  (
Im `  ( A  -  B ) ) )
175155, 157, 158, 172, 174ltletrd 9550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  (
Im `  ( A  -  B ) ) )
17673adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  =  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
177175, 176breqtrd 4335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  (
( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
178154, 177eqbrtrd 4331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  < 
( ( Im `  A )  -  (
Im `  B )
) )
179152imcld 12703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  B )  e.  RR )
180179, 35, 155ltsub2d 9968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  B )  <  0  <->  ( ( Im
`  A )  - 
0 )  <  (
( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) ) )
181178, 180mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  B )  <  0
)
182 argimlt0 22081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( Im `  B )  <  0 )  -> 
( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
183152, 181, 182syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  (
-u pi (,) 0
) )
184 eliooord 11374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  B
) )  /\  (
Im `  ( log `  B ) )  <  0 ) )
185183, 184syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <  0 ) )
186185simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  0
)
18721, 35, 34, 186ltsub1dd 9970 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
188187, 71syl6breqr 4351 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )
18939simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
190 ltnegcon1 9859 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  <->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi ) )
19110, 34, 190sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) )  <->  -u ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) )
192189, 191mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi )
19327, 151, 150, 188, 192lttrd 9551 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  pi )
19427, 150, 193ltled 9541 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
19528simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  <_  pi )
196195adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <_  pi )
19756, 196eqbrtrd 4331 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
19810a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  pi  e.  RR )
19920adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  RR )
200 0red 9406 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  e.  RR )
20125adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  RR )
20265simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
203200, 201, 199, 202ltsub2dd 9971 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( ( Im
`  ( log `  B
) )  -  0 ) )
20431adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  CC )
205204subid1d 9727 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
206203, 205breqtrd 4335 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
207141simprd 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  pi )
20861, 199, 198, 206, 207lttrd 9551 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  pi )
20961, 198, 208ltled 9541 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
210194, 197, 2093jaodan 1284 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
Im `  A )  <  0  \/  ( Im
`  A )  =  0  \/  0  < 
( Im `  A
) ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  <_  pi )
2119, 210mpdan 668 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  <_  pi )
212149, 211jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  /\  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620    \ cdif 3344   ifcif 3810   class class class wbr 4311   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   CCcc 9299   RRcr 9300   0cc0 9301   1c1 9302    + caddc 9304    x. cmul 9306   -oocmnf 9435    < clt 9437    <_ cle 9438    - cmin 9614   -ucneg 9615    / cdiv 10012   RR+crp 11010   (,)cioo 11319   (,]cioc 11320   Imcim 12606   abscabs 12742   picpi 13371   logclog 22025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379  ax-addf 9380  ax-mulf 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-supp 6710  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-pm 7236  df-ixp 7283  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fsupp 7640  df-fi 7680  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-cda 8356  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-xneg 11108  df-xadd 11109  df-xmul 11110  df-ioo 11323  df-ioc 11324  df-ico 11325  df-icc 11326  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-fl 11661  df-mod 11728  df-seq 11826  df-exp 11885  df-fac 12071  df-bc 12098  df-hash 12123  df-shft 12575  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-limsup 12968  df-clim 12985  df-rlim 12986  df-sum 13183  df-ef 13372  df-sin 13374  df-cos 13375  df-pi 13377  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-starv 14272  df-sca 14273  df-vsca 14274  df-ip 14275  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-unif 14280  df-hom 14281  df-cco 14282  df-rest 14380  df-topn 14381  df-0g 14399  df-gsum 14400  df-topgen 14401  df-pt 14402  df-prds 14405  df-xrs 14459  df-qtop 14464  df-imas 14465  df-xps 14467  df-mre 14543  df-mrc 14544  df-acs 14546  df-mnd 15434  df-submnd 15484  df-mulg 15567  df-cntz 15854  df-cmn 16298  df-psmet 17828  df-xmet 17829  df-met 17830  df-bl 17831  df-mopn 17832  df-fbas 17833  df-fg 17834  df-cnfld 17838  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-topsp 18526  df-cld 18642  df-ntr 18643  df-cls 18644  df-nei 18721  df-lp 18759  df-perf 18760  df-cn 18850  df-cnp 18851  df-haus 18938  df-tx 19154  df-hmeo 19347  df-fil 19438  df-fm 19530  df-flim 19531  df-flf 19532  df-xms 19914  df-ms 19915  df-tms 19916  df-cncf 20473  df-limc 21360  df-dv 21361  df-log 22027
This theorem is referenced by:  logcnlem4  22109
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