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Theorem logcnlem3 23454
Description: Lemma for logcn 23457. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
logcnlem.s  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
logcnlem.t  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
logcnlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
logcnlem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
logcnlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
logcnlem.l  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
Assertion
Ref Expression
logcnlem3  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  /\  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )

Proof of Theorem logcnlem3
StepHypRef Expression
1 pire 23278 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
21renegcli 9934 . . . . 5  |-  -u pi  e.  RR
32a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  e.  RR )
4 logcnlem.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
5 logcn.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
65ellogdm 23449 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  D  <->  ( B  e.  CC  /\  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR+ ) ) )
76simplbi 461 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  D  ->  B  e.  CC )
84, 7syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
95logdmn0 23450 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  D  ->  B  =/=  0 )
104, 9syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
118, 10logcld 23385 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  B
)  e.  CC )
1211imcld 13237 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  RR )
1312adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  RR )
14 logcnlem.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
155ellogdm 23449 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  CC  /\  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ ) ) )
1615simplbi 461 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  D  ->  A  e.  CC )
1714, 16syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
185logdmn0 23450 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  D  ->  A  =/=  0 )
1914, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
2017, 19logcld 23385 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
2120imcld 13237 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
2212, 21resubcld 10046 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
2322adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
248, 10logimcld 23386 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <_  pi ) )
2524simpld 460 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
Im `  ( log `  B ) ) )
2625adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
2712recnd 9668 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  CC )
2827adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  CC )
2928subid1d 9974 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
3021adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  RR )
31 0red 9643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  0  e.  RR )
32 argimlt0 23427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
3317, 32sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  (
-u pi (,) 0
) )
34 eliooord 11694 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <  0 ) )
3533, 34syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  0 ) )
3635simprd 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  <  0
)
3730, 31, 13, 36ltsub2dd 10225 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
3829, 37eqbrtrrd 4448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
393, 13, 23, 26, 38lttrd 9795 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4025adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
41 reim0b 13161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
4217, 41syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
4315simprbi 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  D  ->  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ ) )
4414, 43syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ )
)
4542, 44sylbird 238 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  =  0  ->  A  e.  RR+ ) )
4645imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  A  e.  RR+ )
4746relogcld 23437 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
4847reim0d 13267 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  =  0 )
4948oveq2d 6321 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  B
) )  -  0 ) )
5027subid1d 9974 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
5150adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
5249, 51eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
5340, 52breqtrrd 4452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
542a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  e.  RR )
5521renegcld 10045 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
5655adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  e.  RR )
5722adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
58 argimgt0 23426 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
5917, 58sylan 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
60 eliooord 11694 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) )
6159, 60syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi ) )
6261simprd 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  <  pi )
63 ltneg 10113 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6421, 1, 63sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6564adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  < 
pi 
<-> 
-u pi  <  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
6662, 65mpbid 213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )
67 df-neg 9862 . . . . 5  |-  -u (
Im `  ( log `  A ) )  =  ( 0  -  (
Im `  ( log `  A ) ) )
688adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  B  e.  CC )
6917, 8imsubd 13259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  B ) ) )
7069adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  =  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
7117, 8subcld 9985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
7271imcld 13237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
7372adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
7471abscld 13476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
7574adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
7617adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  A  e.  CC )
7776imcld 13237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
78 absimle 13351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  -  B )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  B
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  B )
) )
7971, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
) )
8072, 74absled 13471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
)  <->  ( -u ( abs `  ( A  -  B ) )  <_ 
( Im `  ( A  -  B )
)  /\  ( Im `  ( A  -  B
) )  <_  ( abs `  ( A  -  B ) ) ) ) )
8179, 80mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( -u ( abs `  ( A  -  B
) )  <_  (
Im `  ( A  -  B ) )  /\  ( Im `  ( A  -  B ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
) ) )
8281simprd 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  <_  ( abs `  ( A  -  B
) ) )
8382adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  <_  ( abs `  ( A  -  B ) ) )
84 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
85 rpre 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
8685adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
8717imcld 13237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
8887recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
8988abscld 13476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR )
9089adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( Im `  A ) )  e.  RR )
9186, 90ifclda 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )  e.  RR )
9284, 91syl5eqel 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
93 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
9417abscld 13476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
95 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
9695rpred 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
97 1rp 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR+
98 rpaddcl 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  R  e.  RR+ )  ->  (
1  +  R )  e.  RR+ )
9997, 95, 98sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  RR+ )
10096, 99rerpdivcld 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  +  R ) )  e.  RR )
10194, 100remulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  e.  RR )
10293, 101syl5eqel 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
10392, 102ifcld 3958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  e.  RR )
104 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
105 min1 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <_  S
)
10692, 102, 105syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <_  S
)
10774, 103, 92, 104, 106ltletrd 9794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  S )
108107adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  S
)
109 gt0ne0 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
11087, 109sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  =/=  0
)
11185, 42syl5ib 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR+  ->  ( Im `  A
)  =  0 ) )
112111necon3ad 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  =/=  0  ->  -.  A  e.  RR+ ) )
113112imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =/=  0
)  ->  -.  A  e.  RR+ )
114 iffalse 3924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  A  e.  RR+  ->  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im `  A
) ) )  =  ( abs `  (
Im `  A )
) )
11584, 114syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  A  e.  RR+  ->  S  =  ( abs `  (
Im `  A )
) )
116113, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =/=  0
)  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
117110, 116syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
118 0re 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
119 ltle 9721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Im `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <  (
Im `  A )  ->  0  <_  ( Im `  A ) ) )
120118, 87, 119sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  A )  ->  0  <_  ( Im `  A ) ) )
121120imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <_  ( Im `  A ) )
12277, 121absidd 13463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( Im `  A
) )  =  ( Im `  A ) )
123117, 122eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  S  =  ( Im `  A ) )
124108, 123breqtrd 4450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
Im `  A )
)
12573, 75, 77, 83, 124lelttrd 9792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  <  (
Im `  A )
)
12670, 125eqbrtrrd 4448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( Im `  A
) )
12788adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
128127subid1d 9974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  =  ( Im `  A
) )
129126, 128breqtrrd 4452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( ( Im `  A )  -  0 ) )
130 0red 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
1318imcld 13237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
132130, 131, 87ltsub2d 10222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  B )  <->  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) )  <  ( ( Im
`  A )  - 
0 ) ) )
133132adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  B )  <->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( ( Im `  A )  -  0 ) ) )
134129, 133mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  B ) )
135 argimgt0 23426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  B ) )  -> 
( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
13668, 134, 135syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
137 eliooord 11694 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <  pi ) )
138136, 137syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im
`  ( log `  B
) )  <  pi ) )
139138simpld 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
140130, 12, 21ltsub1d 10221 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  ( log `  B ) )  <->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
141140adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  B ) )  <->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
142139, 141mpbid 213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
14367, 142syl5eqbr 4459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
14454, 56, 57, 66, 143lttrd 9795 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
145 lttri4 9717 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Im `  A )  <  0  \/  ( Im `  A
)  =  0  \/  0  <  ( Im
`  A ) ) )
14687, 118, 145sylancl 666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  <  0  \/  ( Im `  A
)  =  0  \/  0  <  ( Im
`  A ) ) )
14739, 53, 144, 146mpjao3dan 1331 . 2  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
1481a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  pi  e.  RR )
14930renegcld 10045 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  e.  RR )
1508adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  B  e.  CC )
15188adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
152151subid1d 9974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  =  ( Im `  A
) )
15387adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
15474renegcld 10045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
-u ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
155154adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
15672adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
15774adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
158107adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  S
)
159118ltnri 9742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -.  0  <  0
160 breq1 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  (
( Im `  A
)  <  0  <->  0  <  0 ) )
161159, 160mtbiri 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  -.  ( Im `  A )  <  0 )
162161necon2ai 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Im `  A )  <  0  ->  (
Im `  A )  =/=  0 )
163162, 116sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
164 ltle 9721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Im `  A )  <  0  ->  ( Im `  A
)  <_  0 ) )
16587, 118, 164sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  <  0  ->  ( Im `  A
)  <_  0 ) )
166165imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <_  0
)
167153, 166absnidd 13454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( Im `  A
) )  =  -u ( Im `  A ) )
168163, 167eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  S  =  -u ( Im `  A
) )
169158, 168breqtrd 4450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  -u (
Im `  A )
)
170157, 153, 169ltnegcon2d 10193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  -u ( abs `  ( A  -  B ) ) )
17181simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
-u ( abs `  ( A  -  B )
)  <_  ( Im `  ( A  -  B
) ) )
172171adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( abs `  ( A  -  B
) )  <_  (
Im `  ( A  -  B ) ) )
173153, 155, 156, 170, 172ltletrd 9794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  (
Im `  ( A  -  B ) ) )
17469adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  =  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
175173, 174breqtrd 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  (
( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
176152, 175eqbrtrd 4446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  < 
( ( Im `  A )  -  (
Im `  B )
) )
177150imcld 13237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  B )  e.  RR )
178177, 31, 153ltsub2d 10222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  B )  <  0  <->  ( ( Im
`  A )  - 
0 )  <  (
( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) ) )
179176, 178mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  B )  <  0
)
180 argimlt0 23427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( Im `  B )  <  0 )  -> 
( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
181150, 179, 180syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  (
-u pi (,) 0
) )
182 eliooord 11694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  B
) )  /\  (
Im `  ( log `  B ) )  <  0 ) )
183181, 182syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <  0 ) )
184183simprd 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  0
)
18513, 31, 30, 184ltsub1dd 10224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
186185, 67syl6breqr 4466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )
18735simpld 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
188 ltnegcon1 10114 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  <->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi ) )
1891, 30, 188sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) )  <->  -u ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) )
190187, 189mpbid 213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi )
19123, 149, 148, 186, 190lttrd 9795 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  pi )
19223, 148, 191ltled 9782 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
19324simprd 464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  <_  pi )
194193adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <_  pi )
19552, 194eqbrtrd 4446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
1961a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  pi  e.  RR )
19712adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  RR )
198 0red 9643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  e.  RR )
19921adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  RR )
20061simpld 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
201198, 199, 197, 200ltsub2dd 10225 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( ( Im
`  ( log `  B
) )  -  0 ) )
20227adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  CC )
203202subid1d 9974 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
204201, 203breqtrd 4450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
205138simprd 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  pi )
20657, 197, 196, 204, 205lttrd 9795 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  pi )
20757, 196, 206ltled 9782 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
208192, 195, 207, 146mpjao3dan 1331 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  <_  pi )
209147, 208jca 534 1  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  /\  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    \/ w3o 981    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625    \ cdif 3439   ifcif 3915   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543   -oocmnf 9672    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   -ucneg 9860    / cdiv 10268   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   (,]cioc 11636   Imcim 13140   abscabs 13276   picpi 14097   logclog 23369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371
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