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Theorem logcnlem3 23524
Description: Lemma for logcn 23527. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
logcnlem.s  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
logcnlem.t  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
logcnlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
logcnlem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
logcnlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
logcnlem.l  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
Assertion
Ref Expression
logcnlem3  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  /\  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )

Proof of Theorem logcnlem3
StepHypRef Expression
1 pire 23348 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
21renegcli 9879 . . . . 5  |-  -u pi  e.  RR
32a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  e.  RR )
4 logcnlem.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
5 logcn.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
65ellogdm 23519 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  D  <->  ( B  e.  CC  /\  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR+ ) ) )
76simplbi 461 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  D  ->  B  e.  CC )
84, 7syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
95logdmn0 23520 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  D  ->  B  =/=  0 )
104, 9syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
118, 10logcld 23455 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  B
)  e.  CC )
1211imcld 13195 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  RR )
1312adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  RR )
14 logcnlem.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
155ellogdm 23519 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  CC  /\  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ ) ) )
1615simplbi 461 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  D  ->  A  e.  CC )
1714, 16syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
185logdmn0 23520 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  D  ->  A  =/=  0 )
1914, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
2017, 19logcld 23455 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
2120imcld 13195 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
2212, 21resubcld 9991 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
2322adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
248, 10logimcld 23456 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <_  pi ) )
2524simpld 460 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
Im `  ( log `  B ) ) )
2625adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
2712recnd 9613 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  CC )
2827adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  CC )
2928subid1d 9919 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
3021adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  RR )
31 0red 9588 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  0  e.  RR )
32 argimlt0 23497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
3317, 32sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  (
-u pi (,) 0
) )
34 eliooord 11638 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <  0 ) )
3533, 34syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  0 ) )
3635simprd 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  <  0
)
3730, 31, 13, 36ltsub2dd 10170 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
3829, 37eqbrtrrd 4382 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
393, 13, 23, 26, 38lttrd 9740 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4025adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
41 reim0b 13119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
4217, 41syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
4315simprbi 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  D  ->  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ ) )
4414, 43syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ )
)
4542, 44sylbird 238 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  =  0  ->  A  e.  RR+ ) )
4645imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  A  e.  RR+ )
4746relogcld 23507 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
4847reim0d 13225 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  =  0 )
4948oveq2d 6258 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  B
) )  -  0 ) )
5027subid1d 9919 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
5150adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
5249, 51eqtrd 2456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
5340, 52breqtrrd 4386 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
542a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  e.  RR )
5521renegcld 9990 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
5655adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  e.  RR )
5722adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
58 argimgt0 23496 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
5917, 58sylan 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
60 eliooord 11638 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) )
6159, 60syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi ) )
6261simprd 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  <  pi )
63 ltneg 10058 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6421, 1, 63sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6564adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  < 
pi 
<-> 
-u pi  <  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
6662, 65mpbid 213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )
67 df-neg 9807 . . . . 5  |-  -u (
Im `  ( log `  A ) )  =  ( 0  -  (
Im `  ( log `  A ) ) )
688adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  B  e.  CC )
6917, 8imsubd 13217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  B ) ) )
7069adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  =  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
7117, 8subcld 9930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
7271imcld 13195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
7372adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
7471abscld 13434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
7574adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
7617adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  A  e.  CC )
7776imcld 13195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
78 absimle 13309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  -  B )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  B
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  B )
) )
7971, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
) )
8072, 74absled 13429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
)  <->  ( -u ( abs `  ( A  -  B ) )  <_ 
( Im `  ( A  -  B )
)  /\  ( Im `  ( A  -  B
) )  <_  ( abs `  ( A  -  B ) ) ) ) )
8179, 80mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( -u ( abs `  ( A  -  B
) )  <_  (
Im `  ( A  -  B ) )  /\  ( Im `  ( A  -  B ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
) ) )
8281simprd 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  <_  ( abs `  ( A  -  B
) ) )
8382adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  <_  ( abs `  ( A  -  B ) ) )
84 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
85 rpre 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
8685adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
8717imcld 13195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
8887recnd 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
8988abscld 13434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR )
9089adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( Im `  A ) )  e.  RR )
9186, 90ifclda 3879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )  e.  RR )
9284, 91syl5eqel 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
93 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
9417abscld 13434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
95 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
9695rpred 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
97 1rp 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR+
98 rpaddcl 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  R  e.  RR+ )  ->  (
1  +  R )  e.  RR+ )
9997, 95, 98sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  RR+ )
10096, 99rerpdivcld 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  +  R ) )  e.  RR )
10194, 100remulcld 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  e.  RR )
10293, 101syl5eqel 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
10392, 102ifcld 3890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  e.  RR )
104 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
105 min1 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <_  S
)
10692, 102, 105syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <_  S
)
10774, 103, 92, 104, 106ltletrd 9739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  S )
108107adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  S
)
109 gt0ne0 10023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
11087, 109sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  =/=  0
)
11185, 42syl5ib 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR+  ->  ( Im `  A
)  =  0 ) )
112111necon3ad 2608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  =/=  0  ->  -.  A  e.  RR+ ) )
113112imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =/=  0
)  ->  -.  A  e.  RR+ )
114 iffalse 3856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  A  e.  RR+  ->  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im `  A
) ) )  =  ( abs `  (
Im `  A )
) )
11584, 114syl5eq 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  A  e.  RR+  ->  S  =  ( abs `  (
Im `  A )
) )
116113, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =/=  0
)  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
117110, 116syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
118 0re 9587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
119 ltle 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Im `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <  (
Im `  A )  ->  0  <_  ( Im `  A ) ) )
120118, 87, 119sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  A )  ->  0  <_  ( Im `  A ) ) )
121120imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <_  ( Im `  A ) )
12277, 121absidd 13421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( Im `  A
) )  =  ( Im `  A ) )
123117, 122eqtrd 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  S  =  ( Im `  A ) )
124108, 123breqtrd 4384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
Im `  A )
)
12573, 75, 77, 83, 124lelttrd 9737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  <  (
Im `  A )
)
12670, 125eqbrtrrd 4382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( Im `  A
) )
12788adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
128127subid1d 9919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  =  ( Im `  A
) )
129126, 128breqtrrd 4386 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( ( Im `  A )  -  0 ) )
130 0red 9588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
1318imcld 13195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
132130, 131, 87ltsub2d 10167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  B )  <->  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) )  <  ( ( Im
`  A )  - 
0 ) ) )
133132adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  B )  <->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( ( Im `  A )  -  0 ) ) )
134129, 133mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  B ) )
135 argimgt0 23496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  B ) )  -> 
( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
13668, 134, 135syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
137 eliooord 11638 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <  pi ) )
138136, 137syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im
`  ( log `  B
) )  <  pi ) )
139138simpld 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
140130, 12, 21ltsub1d 10166 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  ( log `  B ) )  <->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
141140adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  B ) )  <->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
142139, 141mpbid 213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
14367, 142syl5eqbr 4393 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
14454, 56, 57, 66, 143lttrd 9740 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
145 lttri4 9662 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Im `  A )  <  0  \/  ( Im `  A
)  =  0  \/  0  <  ( Im
`  A ) ) )
14687, 118, 145sylancl 666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  <  0  \/  ( Im `  A
)  =  0  \/  0  <  ( Im
`  A ) ) )
14739, 53, 144, 146mpjao3dan 1331 . 2  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
1481a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  pi  e.  RR )
14930renegcld 9990 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  e.  RR )
1508adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  B  e.  CC )
15188adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
152151subid1d 9919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  =  ( Im `  A
) )
15387adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
15474renegcld 9990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
-u ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
155154adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
15672adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
15774adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
158107adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  S
)
159118ltnri 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -.  0  <  0
160 breq1 4362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  (
( Im `  A
)  <  0  <->  0  <  0 ) )
161159, 160mtbiri 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  -.  ( Im `  A )  <  0 )
162161necon2ai 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Im `  A )  <  0  ->  (
Im `  A )  =/=  0 )
163162, 116sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
164 ltle 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Im `  A )  <  0  ->  ( Im `  A
)  <_  0 ) )
16587, 118, 164sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  <  0  ->  ( Im `  A
)  <_  0 ) )
166165imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <_  0
)
167153, 166absnidd 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( Im `  A
) )  =  -u ( Im `  A ) )
168163, 167eqtrd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  S  =  -u ( Im `  A
) )
169158, 168breqtrd 4384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  -u (
Im `  A )
)
170157, 153, 169ltnegcon2d 10138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  -u ( abs `  ( A  -  B ) ) )
17181simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
-u ( abs `  ( A  -  B )
)  <_  ( Im `  ( A  -  B
) ) )
172171adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( abs `  ( A  -  B
) )  <_  (
Im `  ( A  -  B ) ) )
173153, 155, 156, 170, 172ltletrd 9739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  (
Im `  ( A  -  B ) ) )
17469adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  =  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
175173, 174breqtrd 4384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  (
( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
176152, 175eqbrtrd 4380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  < 
( ( Im `  A )  -  (
Im `  B )
) )
177150imcld 13195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  B )  e.  RR )
178177, 31, 153ltsub2d 10167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  B )  <  0  <->  ( ( Im
`  A )  - 
0 )  <  (
( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) ) )
179176, 178mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  B )  <  0
)
180 argimlt0 23497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( Im `  B )  <  0 )  -> 
( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
181150, 179, 180syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  (
-u pi (,) 0
) )
182 eliooord 11638 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  B
) )  /\  (
Im `  ( log `  B ) )  <  0 ) )
183181, 182syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <  0 ) )
184183simprd 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  0
)
18513, 31, 30, 184ltsub1dd 10169 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
186185, 67syl6breqr 4400 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )
18735simpld 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
188 ltnegcon1 10059 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  <->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi ) )
1891, 30, 188sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) )  <->  -u ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) )
190187, 189mpbid 213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi )
19123, 149, 148, 186, 190lttrd 9740 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  pi )
19223, 148, 191ltled 9727 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
19324simprd 464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  <_  pi )
194193adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <_  pi )
19552, 194eqbrtrd 4380 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
1961a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  pi  e.  RR )
19712adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  RR )
198 0red 9588 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  e.  RR )
19921adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  RR )
20061simpld 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
201198, 199, 197, 200ltsub2dd 10170 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( ( Im
`  ( log `  B
) )  -  0 ) )
20227adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  CC )
203202subid1d 9919 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
204201, 203breqtrd 4384 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
205138simprd 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  pi )
20657, 197, 196, 204, 205lttrd 9740 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  pi )
20757, 196, 206ltled 9727 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
208192, 195, 207, 146mpjao3dan 1331 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  <_  pi )
209147, 208jca 534 1  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  /\  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    \/ w3o 981    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2593    \ cdif 3369   ifcif 3847   class class class wbr 4359   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    x. cmul 9488   -oocmnf 9617    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9804   -ucneg 9805    / cdiv 10213   RR+crp 11246   (,)cioo 11579   (,]cioc 11580   Imcim 13098   abscabs 13234   picpi 14055   logclog 23439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-supp 6863  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7902  df-inf 7903  df-oi 7971  df-card 8318  df-cda 8542  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-q 11209  df-rp 11247  df-xneg 11353  df-xadd 11354  df-xmul 11355  df-ioo 11583  df-ioc 11584  df-ico 11585  df-icc 11586  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-fl 11971  df-mod 12040  df-seq 12157  df-exp 12216  df-fac 12403  df-bc 12431  df-hash 12459  df-shft 13067  df-cj 13099  df-re 13100  df-im 13101  df-sqrt 13235  df-abs 13236  df-limsup 13462  df-clim 13488  df-rlim 13489  df-sum 13689  df-ef 14057  df-sin 14059  df-cos 14060  df-pi 14062  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-starv 15141  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-unif 15149  df-hom 15150  df-cco 15151  df-rest 15257  df-topn 15258  df-0g 15276  df-gsum 15277  df-topgen 15278  df-pt 15279  df-prds 15282  df-xrs 15336  df-qtop 15342  df-imas 15343  df-xps 15346  df-mre 15428  df-mrc 15429  df-acs 15431  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-submnd 16519  df-mulg 16612  df-cntz 16907  df-cmn 17368  df-psmet 18898  df-xmet 18899  df-met 18900  df-bl 18901  df-mopn 18902  df-fbas 18903  df-fg 18904  df-cnfld 18907  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cld 19969  df-ntr 19970  df-cls 19971  df-nei 20049  df-lp 20087  df-perf 20088  df-cn 20178  df-cnp 20179  df-haus 20266  df-tx 20512  df-hmeo 20705  df-fil 20796  df-fm 20888  df-flim 20889  df-flf 20890  df-xms 21270  df-ms 21271  df-tms 21272  df-cncf 21845  df-limc 22756  df-dv 22757  df-log 23441
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