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Theorem logcj 22191
Description: The natural logarithm distributes under conjugation away from the branch cut. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
logcj  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( log `  (
* `  A )
)  =  ( * `
 ( log `  A
) ) )

Proof of Theorem logcj
StepHypRef Expression
1 fveq2 5802 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  ( Im ` 
0 ) )
2 im0 12763 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  0 )  =  0
31, 2syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  0 )
43necon3i 2692 . . . . 5  |-  ( ( Im `  A )  =/=  0  ->  A  =/=  0 )
5 logcl 22156 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
64, 5sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
7 efcj 13498 . . . 4  |-  ( ( log `  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( * `  ( log `  A ) ) )  =  ( * `  ( exp `  ( log `  A
) ) ) )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
* `  ( log `  A ) ) )  =  ( * `  ( exp `  ( log `  A ) ) ) )
9 eflog 22164 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
104, 9sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
1110fveq2d 5806 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  ( exp `  ( log `  A
) ) )  =  ( * `  A
) )
128, 11eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
* `  ( log `  A ) ) )  =  ( * `  A ) )
13 cjcl 12715 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
1413adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  A
)  e.  CC )
15 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
1615, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  A  =/=  0 )
17 cjne0 12773 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =/=  0  <->  ( * `  A )  =/=  0
) )
1817adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( A  =/=  0  <->  ( * `  A )  =/=  0 ) )
1916, 18mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  A
)  =/=  0 )
206cjcld 12806 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  ( log `  A ) )  e.  CC )
21 rpre 11111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u A  e.  RR+  ->  -u A  e.  RR )
2221renegcld 9889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u A  e.  RR+  ->  -u -u A  e.  RR )
23 negneg 9773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u -u A  =  A
)
2524eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u -u A  e.  RR  <->  A  e.  RR ) )
2622, 25syl5ib 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u A  e.  RR+  ->  A  e.  RR ) )
27 lognegb 22174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u A  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
284, 27sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u A  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
29 reim0b 12729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
3126, 28, 303imtr3d 267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  =  pi  ->  ( Im `  A )  =  0 ) )
3231necon3d 2676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  A )  =/=  0  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  =/=  pi ) )
3315, 32mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  =/=  pi )
3433necomd 2723 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  A ) ) )
356imcld 12805 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
36 pire 22057 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
3736a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  pi  e.  RR )
38 logimcl 22157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
394, 38sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
4039simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
4135, 37, 40leltned 9639 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4234, 41mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <  pi )
43 ltneg 9953 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4435, 36, 43sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4542, 44mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u pi  <  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )
466imcjd 12815 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
* `  ( log `  A ) ) )  =  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )
4745, 46breqtrrd 4429 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( * `  ( log `  A ) ) ) )
4839simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) ) )
4936renegcli 9784 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR
50 ltle 9577 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
5149, 35, 50sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
5248, 51mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) )
53 lenegcon1 9957 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) )  <->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  pi ) )
5436, 35, 53sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <_  (
Im `  ( log `  A ) )  <->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  pi ) )
5552, 54mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
5646, 55eqbrtrd 4423 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
* `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
57 ellogrn 22147 . . . 4  |-  ( ( * `  ( log `  A ) )  e. 
ran  log  <->  ( ( * `
 ( log `  A
) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( * `  ( log `  A ) ) )  /\  (
Im `  ( * `  ( log `  A
) ) )  <_  pi ) )
5820, 47, 56, 57syl3anbrc 1172 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  ( log `  A ) )  e.  ran  log )
59 logeftb 22168 . . 3  |-  ( ( ( * `  A
)  e.  CC  /\  ( * `  A
)  =/=  0  /\  ( * `  ( log `  A ) )  e.  ran  log )  ->  ( ( log `  (
* `  A )
)  =  ( * `
 ( log `  A
) )  <->  ( exp `  ( * `  ( log `  A ) ) )  =  ( * `
 A ) ) )
6014, 19, 58, 59syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( log `  (
* `  A )
)  =  ( * `
 ( log `  A
) )  <->  ( exp `  ( * `  ( log `  A ) ) )  =  ( * `
 A ) ) )
6112, 60mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( log `  (
* `  A )
)  =  ( * `
 ( log `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   class class class wbr 4403   ran crn 4952   ` cfv 5529   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396    < clt 9532    <_ cle 9533   -ucneg 9710   RR+crp 11105   *ccj 12706   Imcim 12708   expce 13468   picpi 13473   logclog 22142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ioc 11419  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-mod 11829  df-seq 11927  df-exp 11986  df-fac 12172  df-bc 12199  df-hash 12224  df-shft 12677  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-limsup 13070  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-ef 13474  df-sin 13476  df-cos 13477  df-pi 13479  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-lp 18875  df-perf 18876  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-haus 19054  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cncf 20589  df-limc 21477  df-dv 21478  df-log 22144
This theorem is referenced by:  argimlt0  22198  isosctrlem2  22353  atancj  22441
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