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Theorem logcj 22816
Description: The natural logarithm distributes under conjugation away from the branch cut. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
logcj  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( log `  (
* `  A )
)  =  ( * `
 ( log `  A
) ) )

Proof of Theorem logcj
StepHypRef Expression
1 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  ( Im ` 
0 ) )
2 im0 12952 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  0 )  =  0
31, 2syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  0 )
43necon3i 2707 . . . . 5  |-  ( ( Im `  A )  =/=  0  ->  A  =/=  0 )
5 logcl 22781 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
64, 5sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
7 efcj 13692 . . . 4  |-  ( ( log `  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( * `  ( log `  A ) ) )  =  ( * `  ( exp `  ( log `  A
) ) ) )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
* `  ( log `  A ) ) )  =  ( * `  ( exp `  ( log `  A ) ) ) )
9 eflog 22789 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
104, 9sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
1110fveq2d 5870 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  ( exp `  ( log `  A
) ) )  =  ( * `  A
) )
128, 11eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
* `  ( log `  A ) ) )  =  ( * `  A ) )
13 cjcl 12904 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
1413adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  A
)  e.  CC )
15 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
1615, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  A  =/=  0 )
17 cjne0 12962 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =/=  0  <->  ( * `  A )  =/=  0
) )
1817adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( A  =/=  0  <->  ( * `  A )  =/=  0 ) )
1916, 18mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  A
)  =/=  0 )
206cjcld 12995 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  ( log `  A ) )  e.  CC )
21 rpre 11227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u A  e.  RR+  ->  -u A  e.  RR )
2221renegcld 9987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u A  e.  RR+  ->  -u -u A  e.  RR )
23 negneg 9870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u -u A  =  A
)
2524eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u -u A  e.  RR  <->  A  e.  RR ) )
2622, 25syl5ib 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u A  e.  RR+  ->  A  e.  RR ) )
27 lognegb 22799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u A  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
284, 27sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u A  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
29 reim0b 12918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
3126, 28, 303imtr3d 267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  =  pi  ->  ( Im `  A )  =  0 ) )
3231necon3d 2691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  A )  =/=  0  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  =/=  pi ) )
3315, 32mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  =/=  pi )
3433necomd 2738 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  A ) ) )
356imcld 12994 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
36 pire 22677 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
3736a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  pi  e.  RR )
38 logimcl 22782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
394, 38sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
4039simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
4135, 37, 40leltned 9736 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4234, 41mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <  pi )
43 ltneg 10053 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4435, 36, 43sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4542, 44mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u pi  <  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )
466imcjd 13004 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
* `  ( log `  A ) ) )  =  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )
4745, 46breqtrrd 4473 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( * `  ( log `  A ) ) ) )
4839simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) ) )
4936renegcli 9881 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR
50 ltle 9674 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
5149, 35, 50sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
5248, 51mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) )
53 lenegcon1 10057 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) )  <->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  pi ) )
5436, 35, 53sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <_  (
Im `  ( log `  A ) )  <->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  pi ) )
5552, 54mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
5646, 55eqbrtrd 4467 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
* `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
57 ellogrn 22772 . . . 4  |-  ( ( * `  ( log `  A ) )  e. 
ran  log  <->  ( ( * `
 ( log `  A
) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( * `  ( log `  A ) ) )  /\  (
Im `  ( * `  ( log `  A
) ) )  <_  pi ) )
5820, 47, 56, 57syl3anbrc 1180 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  ( log `  A ) )  e.  ran  log )
59 logeftb 22793 . . 3  |-  ( ( ( * `  A
)  e.  CC  /\  ( * `  A
)  =/=  0  /\  ( * `  ( log `  A ) )  e.  ran  log )  ->  ( ( log `  (
* `  A )
)  =  ( * `
 ( log `  A
) )  <->  ( exp `  ( * `  ( log `  A ) ) )  =  ( * `
 A ) ) )
6014, 19, 58, 59syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( log `  (
* `  A )
)  =  ( * `
 ( log `  A
) )  <->  ( exp `  ( * `  ( log `  A ) ) )  =  ( * `
 A ) ) )
6112, 60mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( log `  (
* `  A )
)  =  ( * `
 ( log `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ran crn 5000   ` cfv 5588   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493    < clt 9629    <_ cle 9630   -ucneg 9807   RR+crp 11221   *ccj 12895   Imcim 12897   expce 13662   picpi 13667   logclog 22767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ioc 11535  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-mod 11966  df-seq 12077  df-exp 12136  df-fac 12323  df-bc 12350  df-hash 12375  df-shft 12866  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-limsup 13260  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-ef 13668  df-sin 13670  df-cos 13671  df-pi 13673  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-mulg 15874  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-lp 19443  df-perf 19444  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-haus 19622  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652  df-cncf 21209  df-limc 22097  df-dv 22098  df-log 22769
This theorem is referenced by:  argimlt0  22823  isosctrlem2  22978  atancj  23066
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