MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logbrec Structured version   Unicode version

Theorem logbrec 23449
Description: Logarithm of a reciprocal changes sign. See logrec 23430. Particular case of Property 3 of [Cohen4] p. 361. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
logbrec  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( B logb 
( 1  /  A
) )  =  -u ( B logb  A ) )

Proof of Theorem logbrec
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR+ )
21rpreccld 11314 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
1  /  A )  e.  RR+ )
3 relogbval 23439 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
1  /  A )  e.  RR+ )  ->  ( B logb 
( 1  /  A
) )  =  ( ( log `  (
1  /  A ) )  /  ( log `  B ) ) )
42, 3syldan 468 . 2  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( B logb 
( 1  /  A
) )  =  ( ( log `  (
1  /  A ) )  /  ( log `  B ) ) )
5 relogbval 23439 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( B logb 
A )  =  ( ( log `  A
)  /  ( log `  B ) ) )
65negeqd 9850 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  -u ( B logb 
A )  =  -u ( ( log `  A
)  /  ( log `  B ) ) )
71rpcnd 11306 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
81rpne0d 11309 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  A  =/=  0 )
97, 8logcld 23250 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
10 zgt1rpn0n1 11303 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  =/=  0  /\  B  =/=  1 ) )
1110simp1d 1009 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  e.  RR+ )
1211adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
1312relogcld 23302 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( log `  B )  e.  RR )
1413recnd 9652 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( log `  B )  e.  CC )
1510simp3d 1011 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  =/=  1 )
1615adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  B  =/=  1 )
17 logne0 23259 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  B  =/=  1 )  ->  ( log `  B )  =/=  0 )
1812, 16, 17syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( log `  B )  =/=  0 )
199, 14, 18divnegd 10374 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  -u (
( log `  A
)  /  ( log `  B ) )  =  ( -u ( log `  A )  /  ( log `  B ) ) )
207, 8reccld 10354 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
1  /  A )  e.  CC )
217, 8recne0d 10355 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
1  /  A )  =/=  0 )
2220, 21logcld 23250 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( 1  /  A ) )  e.  CC )
231relogcld 23302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
2423reim0d 13207 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  0 )
25 0re 9626 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
26 pipos 23145 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
2725, 26gtneii 9728 . . . . . . . . . 10  |-  pi  =/=  0
2827a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  pi  =/=  0 )
2928necomd 2674 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  0  =/=  pi )
3024, 29eqnetrd 2696 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  =/= 
pi )
31 logrec 23430 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  =/= 
pi )  ->  ( log `  A )  = 
-u ( log `  (
1  /  A ) ) )
327, 8, 30, 31syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( log `  A )  = 
-u ( log `  (
1  /  A ) ) )
3332eqcomd 2410 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  -u ( log `  ( 1  /  A ) )  =  ( log `  A
) )
3422, 33negcon1ad 9962 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  -u ( log `  A )  =  ( log `  (
1  /  A ) ) )
3534oveq1d 6293 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( -u ( log `  A
)  /  ( log `  B ) )  =  ( ( log `  (
1  /  A ) )  /  ( log `  B ) ) )
366, 19, 353eqtrd 2447 . 2  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  -u ( B logb 
A )  =  ( ( log `  (
1  /  A ) )  /  ( log `  B ) ) )
374, 36eqtr4d 2446 1  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( B logb 
( 1  /  A
) )  =  -u ( B logb  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   0cc0 9522   1c1 9523   -ucneg 9842    / cdiv 10247   2c2 10626   ZZ>=cuz 11127   RR+crp 11265   Imcim 13080   picpi 14011   logclog 23234   logb clogb 23431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563  df-log 23236  df-logb 23432
This theorem is referenced by:  dya2ub  28718
  Copyright terms: Public domain W3C validator