Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  log2ublem2 Structured version   Unicode version

Theorem log2ublem2 23738
 Description: Lemma for log2ub 23740. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
log2ublem2.1
log2ublem2.2
log2ublem2.3
log2ublem2.4
log2ublem2.5
log2ublem2.6
log2ublem2.7
log2ublem2.8
log2ublem2.9
Assertion
Ref Expression
log2ublem2
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem log2ublem2
StepHypRef Expression
1 log2ublem2.1 . 2
2 fzfid 12183 . . . 4
3 elfznn0 11885 . . . . . 6
43adantl 467 . . . . 5
5 2re 10679 . . . . . 6
6 3nn 10768 . . . . . . . 8
7 2nn0 10886 . . . . . . . . . 10
8 nn0mulcl 10906 . . . . . . . . . 10
97, 8mpan 674 . . . . . . . . 9
10 nn0p1nn 10909 . . . . . . . . 9
119, 10syl 17 . . . . . . . 8
12 nnmulcl 10632 . . . . . . . 8
136, 11, 12sylancr 667 . . . . . . 7
14 9nn 10774 . . . . . . . 8
15 nnexpcl 12282 . . . . . . . 8
1614, 15mpan 674 . . . . . . 7
1713, 16nnmulcld 10657 . . . . . 6
18 nndivre 10645 . . . . . 6
195, 17, 18sylancr 667 . . . . 5
204, 19syl 17 . . . 4
212, 20fsumrecl 13778 . . 3
2221trud 1446 . 2
23 log2ublem2.4 . . . . . 6
247, 23nn0mulcli 10908 . . . . 5
25 nn0p1nn 10909 . . . . 5
2624, 25ax-mp 5 . . . 4
276, 26nnmulcli 10633 . . 3
28 nnexpcl 12282 . . . 4
2914, 23, 28mp2an 676 . . 3
3027, 29nnmulcli 10633 . 2
31 log2ublem2.2 . . 3
327, 31nn0mulcli 10908 . 2
33 log2ublem2.3 . . 3
347, 33nn0mulcli 10908 . 2
35 nn0uz 11193 . . . . . . 7
3623, 35eleqtri 2515 . . . . . 6
3736a1i 11 . . . . 5
38 elfznn0 11885 . . . . . . 7
3938adantl 467 . . . . . 6
4019recnd 9668 . . . . . 6
4139, 40syl 17 . . . . 5
42 oveq2 6313 . . . . . . . . 9
4342oveq1d 6320 . . . . . . . 8
4443oveq2d 6321 . . . . . . 7
45 oveq2 6313 . . . . . . 7
4644, 45oveq12d 6323 . . . . . 6
4746oveq2d 6321 . . . . 5
4837, 41, 47fsumm1 13790 . . . 4
4948trud 1446 . . 3
50 log2ublem2.5 . . . . . 6
5150oveq2i 6316 . . . . 5
5251sumeq1i 13742 . . . 4
5352oveq1i 6315 . . 3
5449, 53eqtri 2458 . 2
55 2cn 10680 . . . 4
5631nn0cni 10881 . . . 4
5733nn0cni 10881 . . . 4
5855, 56, 57adddii 9652 . . 3
59 log2ublem2.6 . . . 4
6059oveq2i 6316 . . 3
6158, 60eqtr3i 2460 . 2
62 7nn 10772 . . . . . . . . 9
6362nnnn0i 10877 . . . . . . . 8
64 nnexpcl 12282 . . . . . . . 8
656, 63, 64mp2an 676 . . . . . . 7
66 5nn 10770 . . . . . . . 8
6766, 62nnmulcli 10633 . . . . . . 7
6865, 67nnmulcli 10633 . . . . . 6
6968nnrei 10618 . . . . 5
7069, 5remulcli 9656 . . . 4
7170leidi 10147 . . 3
726nnnn0i 10877 . . . . . . . . . . . 12
73 nnexpcl 12282 . . . . . . . . . . . 12
7414, 72, 73mp2an 676 . . . . . . . . . . 11
7574nncni 10619 . . . . . . . . . 10
7667nncni 10619 . . . . . . . . . 10
7775, 76mulcomi 9648 . . . . . . . . 9
78 log2ublem2.8 . . . . . . . . . . . . 13
79 log2ublem2.7 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079nn0cni 10881 . . . . . . . . . . . . . 14
8123nn0cni 10881 . . . . . . . . . . . . . 14
8280, 81addcomi 9823 . . . . . . . . . . . . 13
8378, 82eqtr3i 2460 . . . . . . . . . . . 12
8483oveq2i 6316 . . . . . . . . . . 11
8514nncni 10619 . . . . . . . . . . . 12
86 expadd 12311 . . . . . . . . . . . 12
8785, 23, 79, 86mp3an 1360 . . . . . . . . . . 11
8884, 87eqtri 2458 . . . . . . . . . 10
8988oveq2i 6316 . . . . . . . . 9
9029nncni 10619 . . . . . . . . . 10
91 nnexpcl 12282 . . . . . . . . . . . 12
9214, 79, 91mp2an 676 . . . . . . . . . . 11
9392nncni 10619 . . . . . . . . . 10
9476, 90, 93mul12i 9827 . . . . . . . . 9
9577, 89, 943eqtri 2462 . . . . . . . 8
96 log2ublem2.9 . . . . . . . . 9
9796oveq2i 6316 . . . . . . . 8
9895, 97eqtri 2458 . . . . . . 7
9998oveq2i 6316 . . . . . 6
100 df-7 10673 . . . . . . . . . 10
101100oveq2i 6316 . . . . . . . . 9
102 3cn 10684 . . . . . . . . . . 11
103 6nn0 10890 . . . . . . . . . . 11
104 expp1 12276 . . . . . . . . . . 11
105102, 103, 104mp2an 676 . . . . . . . . . 10
106 expmul 12314 . . . . . . . . . . . . 13
107102, 7, 72, 106mp3an 1360 . . . . . . . . . . . 12
10855, 102mulcomi 9648 . . . . . . . . . . . . . 14
109 3t2e6 10761 . . . . . . . . . . . . . 14
110108, 109eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . 13
111110oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . 12
112 sq3 12369 . . . . . . . . . . . . 13
113112oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . 12
114107, 111, 1133eqtr3i 2466 . . . . . . . . . . 11
115114oveq1i 6315 . . . . . . . . . 10
116105, 115eqtri 2458 . . . . . . . . 9
11775, 102mulcomi 9648 . . . . . . . . 9
118101, 116, 1173eqtri 2462 . . . . . . . 8
119118oveq1i 6315 . . . . . . 7
120102, 75, 76mulassi 9651 . . . . . . 7
121119, 120eqtri 2458 . . . . . 6
12226nncni 10619 . . . . . . . . 9
123102, 122, 90mul32i 9828 . . . . . . . 8
124123oveq1i 6315 . . . . . . 7
125102, 90mulcli 9647 . . . . . . . 8
126125, 122, 57mulassi 9651 . . . . . . 7
127122, 57mulcli 9647 . . . . . . . 8
128102, 90, 127mulassi 9651 . . . . . . 7
129124, 126, 1283eqtri 2462 . . . . . 6
13099, 121, 1293eqtr4i 2468 . . . . 5
131130oveq2i 6316 . . . 4
13265nncni 10619 . . . . . 6
133132, 76mulcli 9647 . . . . 5
134133, 55mulcomi 9648 . . . 4
13530nncni 10619 . . . . 5
136135, 55, 57mul12i 9827 . . . 4
137131, 134, 1363eqtr4i 2468 . . 3
13871, 137breqtri 4449 . 2
1391, 22, 7, 30, 32, 34, 54, 61, 138log2ublem1 23737 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 370   wceq 1437   wtru 1438   wcel 1870   class class class wbr 4426  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc 9536  cr 9537  cc0 9538  c1 9539   caddc 9541   cmul 9543   cle 9675   cmin 9859   cdiv 10268  cn 10609  c2 10659  c3 10660  c5 10662  c6 10663  c7 10664  c9 10666  cn0 10869  cuz 11159  cfz 11782  cexp 12269  csu 13730 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731 This theorem is referenced by:  log2ublem3  23739
 Copyright terms: Public domain W3C validator