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Theorem log2sumbnd 21191
Description: Bound on the difference between  sum_ n  <_  A ,  log ^ 2 ( n ) and the equivalent integral. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
log2sumbnd  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  <_ 
( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  2 ) )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem log2sumbnd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11267 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  e. 
Fin )
2 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
32adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
43nnrpd 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
54relogcld 20471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
65resqcld 11504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( log `  n ) ^ 2 )  e.  RR )
71, 6fsumrecl 12483 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  e.  RR )
8 rpre 10574 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
98adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR )
10 relogcl 20426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
1110adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
1211resqcld 11504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( log `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
13 2re 10025 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
14 remulcl 9031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  A )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
1513, 11, 14sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
2  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
16 resubcl 9321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 2  -  (
2  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
1713, 15, 16sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
1812, 17readdcld 9071 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
199, 18remulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( A  x.  ( (
( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  RR )
207, 19resubcld 9421 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  e.  RR )
2120recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  e.  CC )
2221abscld 12193 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  e.  RR )
23 resubcl 9321 . . . 4  |-  ( ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )  e.  RR )
2422, 13, 23sylancl 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )  e.  RR )
25 2cn 10026 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
2625negcli 9324 . . . . 5  |-  -u 2  e.  CC
27 subcl 9261 . . . . 5  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  e.  CC  /\  -u 2  e.  CC )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 )  e.  CC )
2821, 26, 27sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  -  -u 2
)  e.  CC )
2928abscld 12193 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 ) )  e.  RR )
3025absnegi 12158 . . . . . 6  |-  ( abs `  -u 2 )  =  ( abs `  2
)
31 0re 9047 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
32 2pos 10038 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
3331, 13, 32ltleii 9152 . . . . . . 7  |-  0  <_  2
34 absid 12056 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
3513, 33, 34mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( abs `  2 )  =  2
3630, 35eqtri 2424 . . . . 5  |-  ( abs `  -u 2 )  =  2
3736oveq2i 6051 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) ) )  -  ( abs `  -u 2 ) )  =  ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )
38 abs2dif 12091 . . . . 5  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  e.  CC  /\  -u 2  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  -  ( abs `  -u 2
) )  <_  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 ) ) )
3921, 26, 38sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  -  ( abs `  -u 2
) )  <_  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 ) ) )
4037, 39syl5eqbrr 4206 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )  <_  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 ) ) )
41 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  A
) )
4241oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
4342sumeq1d 12450 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 ) )
44 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
45 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  ( log `  x )  =  ( log `  A
) )
4645oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  =  ( ( log `  A ) ^ 2 ) )
4745oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  =  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )
4847oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  A ) ) ) )
4946, 48oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  =  ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
5044, 49oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
x  x.  ( ( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )
5143, 50oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )
52 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) )
53 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )  e.  _V
5451, 52, 53fvmpt3i 5768 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  A )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )
5554adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) ) `  A )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )
56 1rp 10572 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR+
57 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  1
) )
58 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ZZ
59 flid 11171 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( |_ `  1 )  =  1 )
6058, 59ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( |_
`  1 )  =  1
6157, 60syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  ( |_ `  x )  =  1 )
6261oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1 ... 1
) )
6362sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( log `  n
) ^ 2 ) )
64 0cn 9040 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
65 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  n )  =  ( log `  1
) )
66 log1 20433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( log `  1 )  =  0
6765, 66syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  n )  =  0 )
6867sq0id 11430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
( log `  n
) ^ 2 )  =  0 )
6968fsum1 12490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  0  e.  CC )  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... 1 ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  =  0 )
7058, 64, 69mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( ( log `  n ) ^ 2 )  =  0
7163, 70syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  =  0 )
72 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  x  =  1 )
73 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  ( log `  x )  =  ( log `  1
) )
7473, 66syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  ( log `  x )  =  0 )
7574sq0id 11430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  =  0 )
7674oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
7725mul01i 9212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
7876, 77syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  =  0 )
7978oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  (
2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( 2  -  0 ) )
8025subid1i 9328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  -  0 )  =  2
8179, 80syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1  ->  (
2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )  =  2 )
8275, 81oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  =  ( 0  +  2 ) )
8325addid2i 9210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  2 )  =  2
8482, 83syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  =  2 )
8572, 84oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
x  x.  ( ( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( 1  x.  2 ) )
8625mulid2i 9049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
8785, 86syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  x.  ( ( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  2 )
8871, 87oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) )  =  ( 0  -  2 ) )
89 df-neg 9250 . . . . . . . . 9  |-  -u 2  =  ( 0  -  2 )
9088, 89syl6eqr 2454 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) )  =  -u
2 )
9190, 52, 53fvmpt3i 5768 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  1 )  =  -u 2 )
9256, 91mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  -u
2 )
9355, 92oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) ) `  A )  -  (
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) ) ` 
1 ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  -  -u 2
) )
9493fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  A )  -  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  1 ) ) )  =  ( abs `  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  -  -u 2
) ) )
95 ioorp 10944 . . . . . 6  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  RR+
9695eqcomi 2408 . . . . 5  |-  RR+  =  ( 0 (,)  +oo )
97 nnuz 10477 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9858a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  e.  ZZ )
99 1re 9046 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
10099a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  e.  RR )
101 pnfxr 10669 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
102101a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  +oo  e.  RR* )
103 1nn0 10193 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
10499, 103nn0addge1i 10224 . . . . . 6  |-  1  <_  ( 1  +  1 )
105104a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  <_  ( 1  +  1 ) )
10631a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  0  e.  RR )
107 rpre 10574 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
108107adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
109 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
110109relogcld 20471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x
)  e.  RR )
111110resqcld 11504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x
) ^ 2 )  e.  RR )
112 remulcl 9031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  x )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
11313, 110, 112sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
114 resubcl 9321 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )  -> 
( 2  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
11513, 113, 114sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
116111, 115readdcld 9071 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  RR )
117108, 116remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  e.  RR )
118 nnrp 10577 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR+ )
119118, 111sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( log `  x ) ^ 2 )  e.  RR )
120 reex 9037 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
121120prid1 3872 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
122121a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
123108recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
12499a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
125 recn 9036 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
126125adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
12799a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
128122dvmptid 19796 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
129 rpssre 10578 . . . . . . . . 9  |-  RR+  C_  RR
130129a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  RR+  C_  RR )
131 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
132131tgioo2 18787 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
133 iooretop 18753 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,)  +oo )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
13495, 133eqeltrri 2475 . . . . . . . . 9  |-  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
135134a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
136122, 126, 127, 128, 130, 132, 131, 135dvmptres 19802 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  1 ) )
137116recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  CC )
138 resubcl 9321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  ( log `  x ) )  -  2 )  e.  RR )
139113, 13, 138sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  e.  RR )
140139, 109rerpdivcld 10631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x )  e.  RR )
141111recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
142113recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
143109rpreccld 10614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x
)  e.  RR+ )
144143rpcnd 10606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x
)  e.  CC )
145142, 144mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  e.  CC )
146 cnex 9027 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
147146prid2 3873 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
148147a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
149110recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x
)  e.  CC )
150 sqcl 11399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ^ 2 )  e.  CC )
151150adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^
2 )  e.  CC )
152 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
153 mulcl 9030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 2  x.  y
)  e.  CC )
15425, 152, 153sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  CC )  ->  ( 2  x.  y )  e.  CC )
155 dvrelog 20481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  ( log  |`  RR+ )
)  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )
156 relogf1o 20417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( log  |`  RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR
157 f1of 5633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( log  |`  RR+ ) :
RR+
-1-1-onto-> RR  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
158156, 157mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
159158feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x ) ) )
160 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x )  =  ( log `  x ) )
161160mpteq2ia 4251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )
162159, 161syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) )
163162oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( log  |`  RR+ )
)  =  ( RR 
_D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) ) ) )
164155, 163syl5reqr 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) ) )
165 2nn 10089 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
166 dvexp 19792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
167165, 166mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
168 2m1e1 10051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  -  1 )  =  1
169168oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( y ^ 1 )
170 exp1 11342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ^ 1 )  =  y )
171169, 170syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ^ ( 2  -  1 ) )  =  y )
172171oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
2  x.  ( y ^ ( 2  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  y ) )
173172mpteq2ia 4251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^
( 2  -  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  y ) )
174167, 173syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  y ) ) )
175 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( log `  x
)  ->  ( y ^ 2 )  =  ( ( log `  x
) ^ 2 ) )
176 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( log `  x
)  ->  ( 2  x.  y )  =  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )
177122, 148, 149, 143, 151, 154, 164, 174, 175, 176dvmptco 19811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) ) ) )
178115recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
179 ovex 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) )  e. 
_V
180179a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0  -  (
2  x.  ( 1  /  x ) ) )  e.  _V )
18125a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
18231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  e.  RR )
18325a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  2  e.  CC )
18431a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
18525a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  2  e.  CC )
186122, 185dvmptc 19797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  2 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
187122, 183, 184, 186, 130, 132, 131, 135dvmptres 19802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  2 ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  0 ) )
188 mulcl 9030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 1  /  x
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( 1  /  x
) )  e.  CC )
18925, 144, 188sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
1  /  x ) )  e.  CC )
190122, 149, 143, 164, 185dvmptcmul 19803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
191122, 181, 182, 187, 142, 189, 190dvmptsub 19806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 0  -  (
2  x.  ( 1  /  x ) ) ) ) )
192122, 141, 145, 177, 178, 180, 191dvmptadd 19799 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  +  ( 0  -  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) ) ) ) )
193142, 181, 144subdird 9446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  x.  ( 1  /  x ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  x
) )  -  (
2  x.  ( 1  /  x ) ) ) )
194139recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  e.  CC )
195 rpne0 10583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
196195adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0 )
197194, 123, 196divrecd 9749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 )  x.  (
1  /  x ) ) )
198 df-neg 9250 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
2  x.  ( 1  /  x ) )  =  ( 0  -  ( 2  x.  (
1  /  x ) ) )
199198oveq2i 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  x ) )  + 
-u ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  +  ( 0  -  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
200145, 189negsubd 9373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  +  -u (
2  x.  ( 1  /  x ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  x ) )  -  ( 2  x.  (
1  /  x ) ) ) )
201199, 200syl5eqr 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  +  ( 0  -  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  x
) )  -  (
2  x.  ( 1  /  x ) ) ) )
202193, 197, 2013eqtr4rd 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  +  ( 0  -  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 )  /  x
) )
203202mpteq2dva 4255 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  x ) )  +  ( 0  -  (
2  x.  ( 1  /  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x ) ) )
204192, 203eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x ) ) )
205122, 123, 124, 136, 137, 140, 204dvmptmul 19800 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x )  x.  x ) ) ) )
206137mulid2d 9062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
207141, 142, 181subsub2d 9396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 ) )  =  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
208206, 207eqtr4d 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 ) ) )
209194, 123, 196divcan1d 9747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 )  /  x
)  x.  x )  =  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 ) )
210208, 209oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x )  x.  x ) )  =  ( ( ( ( log `  x
) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  -  2 ) ) )
211141, 194npcand 9371 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  -  2 ) )  =  ( ( log `  x ) ^ 2 ) )
212210, 211eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x )  x.  x ) )  =  ( ( log `  x ) ^ 2 ) )
213212mpteq2dva 4255 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 )  /  x
)  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x ) ^ 2 ) ) )
214205, 213eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
) ^ 2 ) ) )
215 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  ( log `  x )  =  ( log `  n
) )
216215oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  =  ( ( log `  n ) ^ 2 ) )
217 simp32 994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  ->  x  <_  n )
218 simp2l 983 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
219 simp2r 984 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  ->  n  e.  RR+ )
220218, 219logled 20475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( x  <_  n  <->  ( log `  x )  <_  ( log `  n
) ) )
221217, 220mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( log `  x
)  <_  ( log `  n ) )
222218relogcld 20471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( log `  x
)  e.  RR )
223219relogcld 20471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( log `  n
)  e.  RR )
224 simp31 993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
1  <_  x )
225 logleb 20451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  x  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  x ) ) )
22656, 218, 225sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( 1  <_  x  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  x
) ) )
227224, 226mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( log `  1
)  <_  ( log `  x ) )
22866, 227syl5eqbrr 4206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
0  <_  ( log `  x ) )
229219rpred 10604 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  ->  n  e.  RR )
23099a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
1  e.  RR )
231218rpred 10604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
232230, 231, 229, 224, 217letrd 9183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
1  <_  n )
233229, 232logge0d 20478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
0  <_  ( log `  n ) )
234222, 223, 228, 233le2sqd 11513 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( ( log `  x
)  <_  ( log `  n )  <->  ( ( log `  x ) ^
2 )  <_  (
( log `  n
) ^ 2 ) ) )
235221, 234mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( ( log `  x
) ^ 2 )  <_  ( ( log `  n ) ^ 2 ) )
236 relogcl 20426 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
237236ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )
)  ->  ( log `  x )  e.  RR )
238237sqge0d 11505 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )
)  ->  0  <_  ( ( log `  x
) ^ 2 ) )
23956a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  e.  RR+ )
240 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR+ )
241 1le1 9606 . . . . . 6  |-  1  <_  1
242241a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  <_  1 )
243 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  <_  A )
2449rexrd 9090 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR* )
245 pnfge 10683 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
246244, 245syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  A  <_  +oo )
24796, 97, 98, 100, 102, 105, 106, 117, 111, 119, 214, 216, 235, 52, 238, 239, 240, 242, 243, 246, 46dvfsum2 19871 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  A )  -  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  1 ) ) )  <_  (
( log `  A
) ^ 2 ) )
24894, 247eqbrtrrd 4194 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 ) )  <_  ( ( log `  A ) ^ 2 ) )
24924, 29, 12, 40, 248letrd 9183 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )  <_  (
( log `  A
) ^ 2 ) )
25013a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  2  e.  RR )
25122, 250, 12lesubaddd 9579 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )  <_  (
( log `  A
) ^ 2 )  <-> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  <_ 
( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  2 ) ) )
252249, 251mpbid 202 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  <_ 
( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   {cpr 3775   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ran crn 4838    |` cres 4839   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZcz 10238   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   ...cfz 10999   |_cfl 11156   ^cexp 11337   abscabs 11994   sum_csu 12434   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620  ℂfldccnfld 16658    _D cdv 19703   logclog 20405
This theorem is referenced by:  selberglem2  21193
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407
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