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Theorem log2cnv 23472
Description: Using the Taylor series for arctan ( _i  / 
3 ), produce a rapidly convergent series for  log 2. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
log2cnv.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
log2cnv  |-  seq 0
(  +  ,  F
)  ~~>  ( log `  2
)

Proof of Theorem log2cnv
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11116 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 10872 . . . 4  |-  ( T. 
->  0  e.  ZZ )
3 2cn 10602 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
4 ax-icn 9540 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
5 ine0 9988 . . . . . 6  |-  _i  =/=  0
63, 4, 5divcli 10282 . . . . 5  |-  ( 2  /  _i )  e.  CC
76a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 2  /  _i )  e.  CC )
8 3cn 10606 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
9 3ne0 10626 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
104, 8, 9divcli 10282 . . . . . 6  |-  ( _i 
/  3 )  e.  CC
11 absdiv 13210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( _i  / 
3 ) )  =  ( ( abs `  _i )  /  ( abs `  3
) ) )
124, 8, 9, 11mp3an 1322 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( _i  /  3
) )  =  ( ( abs `  _i )  /  ( abs `  3
) )
13 absi 13201 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  _i )  =  1
14 3re 10605 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
15 0re 9585 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
16 3pos 10625 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  3
1715, 14, 16ltleii 9696 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  3
18 absid 13211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <_  3 )  -> 
( abs `  3
)  =  3 )
1914, 17, 18mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  3 )  =  3
2013, 19oveq12i 6282 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  _i )  /  ( abs `  3
) )  =  ( 1  /  3 )
2112, 20eqtri 2483 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( _i  /  3
) )  =  ( 1  /  3 )
22 1lt3 10700 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
23 recgt1 10436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  -> 
( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 ) )
2414, 16, 23mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 )
2522, 24mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  3 )  <  1
2621, 25eqbrtri 4458 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( _i  /  3
) )  <  1
27 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
2827atantayl3 23467 . . . . . 6  |-  ( ( ( _i  /  3
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( _i 
/  3 ) )  <  1 )  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  x.  ( ( ( _i 
/  3 ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  (arctan `  ( _i  /  3 ) ) )
2910, 26, 28mp2an 670 . . . . 5  |-  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  (arctan `  ( _i  /  3
) )
3029a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  x.  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  (arctan `  ( _i  /  3 ) ) )
31 oveq2 6278 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( -u 1 ^ n )  =  ( -u 1 ^ k ) )
32 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
3332oveq1d 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
3433oveq2d 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( _i 
/  3 ) ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
3534, 33oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( _i  / 
3 ) ^ (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
3631, 35oveq12d 6288 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( -u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
37 ovex 6298 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  _V
3836, 27, 37fvmpt 5931 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
394a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  _i  e.  CC )
408a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  3  e.  CC )
419a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  3  =/=  0 )
42 2nn0 10808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
43 nn0mulcl 10828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  k
)  e.  NN0 )
4442, 43mpan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e. 
NN0 )
45 peano2nn0 10832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e. 
NN0 )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e. 
NN0 )
4739, 40, 41, 46expdivd 12306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( _i ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
4847oveq2d 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
49 neg1cn 10635 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  CC
50 expcl 12166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
5149, 50mpan 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ k )  e.  CC )
52 expcl 12166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( _i ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  CC )
534, 46, 52sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
54 3nn 10690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN
55 nnexpcl 12161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  NN )
5654, 46, 55sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  NN )
5756nncnd 10547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
5856nnne0d 10576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =/=  0 )
5951, 53, 57, 58divassd 10351 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
_i ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
60 expp1 12155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( 2  x.  k
)  e.  NN0 )  ->  ( _i ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  =  ( ( _i ^ ( 2  x.  k ) )  x.  _i ) )
614, 44, 60sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( _i ^
( 2  x.  k
) )  x.  _i ) )
62 expmul 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( _i
^ 2 ) ^
k ) )
634, 42, 62mp3an12 1312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i
^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( _i ^
2 ) ^ k
) )
64 i2 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
6564oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i ^ 2 ) ^ k )  =  ( -u 1 ^ k )
6663, 65syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i
^ ( 2  x.  k ) )  =  ( -u 1 ^ k ) )
6766oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i ^ ( 2  x.  k ) )  x.  _i )  =  ( ( -u 1 ^ k )  x.  _i ) )
6861, 67eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ k )  x.  _i ) )
6968oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( -u
1 ^ k )  x.  _i ) ) )
7051, 51, 39mulassd 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  x.  _i )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( -u
1 ^ k )  x.  _i ) ) )
7149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  -u 1  e.  CC )
72 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e. 
NN0 )
7371, 72, 72expaddd 12294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( k  +  k ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( -u 1 ^ k ) ) )
74 expmul 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( -u 1 ^ (
2  x.  k ) )  =  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ k ) )
7549, 42, 74mp3an12 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( -u
1 ^ 2 ) ^ k ) )
76 neg1sqe1 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
7776oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ k )  =  ( 1 ^ k )
7875, 77syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( 1 ^ k ) )
79 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
80792timesd 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  =  ( k  +  k ) )
8180oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( -u 1 ^ ( k  +  k ) ) )
82 nn0z 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
83 1exp 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1 ^ k )  =  1 )
8578, 81, 843eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( k  +  k ) )  =  1 )
8673, 85eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( -u
1 ^ k ) )  =  1 )
8786oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  x.  _i )  =  ( 1  x.  _i ) )
884mulid2i 9588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  x.  _i )  =  _i
8987, 88syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  x.  _i )  =  _i )
9069, 70, 893eqtr2d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  _i )
9190oveq1d 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
_i ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
9248, 59, 913eqtr2d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
9392oveq1d 6285 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( _i 
/  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
94 expcl 12166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  /  3
)  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( _i  / 
3 ) ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  CC )
9510, 46, 94sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
96 nn0p1nn 10831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
9744, 96syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
9897nncnd 10547 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  CC )
9997nnne0d 10576 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =/=  0 )
10051, 95, 98, 99divassd 10351 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
10139, 57, 98, 58, 99divdiv1d 10347 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( _i  /  (
( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
10293, 100, 1013eqtr3d 2503 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
10357, 98mulcomd 9606 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  (
3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
104103oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i 
/  ( ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  /  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
10538, 102, 1043eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k )  =  ( _i  / 
( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  (
3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
10697, 56nnmulcld 10579 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  x.  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  NN )
107106nncnd 10547 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  x.  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
108106nnne0d 10576 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  x.  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =/=  0 )
10939, 107, 108divcld 10316 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i 
/  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  ( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
110105, 109eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
111110adantl 464 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  x.  ( ( ( _i 
/  3 ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
11233oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
113 oveq2 6278 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
9 ^ n )  =  ( 9 ^ k ) )
114112, 113oveq12d 6288 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) )
115114oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  =  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) )
116 log2cnv.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
117 ovex 6298 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) )  e. 
_V
118115, 116, 117fvmpt 5931 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) )
119 expp1 12155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 2  x.  k
)  e.  NN0 )  ->  ( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  =  ( ( 3 ^ ( 2  x.  k ) )  x.  3 ) )
1208, 44, 119sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 3 ^ ( 2  x.  k
) )  x.  3 ) )
121 expmul 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
3 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 3 ^ 2 ) ^
k ) )
1228, 42, 121mp3an12 1312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 3 ^ 2 ) ^ k
) )
123 sq3 12247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 3 ^ 2 )  =  9
124123oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3 ^ 2 ) ^ k )  =  ( 9 ^ k
)
125122, 124syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( 9 ^ k
) )
126125oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3 ^ ( 2  x.  k ) )  x.  3 )  =  ( ( 9 ^ k )  x.  3 ) )
127 9nn 10696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  9  e.  NN
128 nnexpcl 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 9  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ k
)  e.  NN )
129127, 128mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 9 ^ k )  e.  NN )
130129nncnd 10547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 9 ^ k )  e.  CC )
131 mulcom 9567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 9 ^ k
)  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( 9 ^ k )  x.  3 )  =  ( 3  x.  ( 9 ^ k ) ) )
132130, 8, 131sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 9 ^ k )  x.  3 )  =  ( 3  x.  (
9 ^ k ) ) )
133120, 126, 1323eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 3  x.  (
9 ^ k ) ) )
13490, 133oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
_i ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( 3  x.  (
9 ^ k ) ) ) )
13548, 59, 1343eqtr2d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( 3  x.  (
9 ^ k ) ) ) )
136135oveq1d 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( _i 
/  ( 3  x.  ( 9 ^ k
) ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
137 nnmulcl 10554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( 9 ^ k
)  e.  NN )  ->  ( 3  x.  ( 9 ^ k
) )  e.  NN )
13854, 129, 137sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3  x.  ( 9 ^ k ) )  e.  NN )
139138nncnd 10547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3  x.  ( 9 ^ k ) )  e.  CC )
140138nnne0d 10576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3  x.  ( 9 ^ k ) )  =/=  0 )
14139, 139, 98, 140, 99divdiv1d 10347 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  ( 3  x.  ( 9 ^ k ) ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( _i  /  (
( 3  x.  (
9 ^ k ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
142136, 100, 1413eqtr3d 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( ( 3  x.  ( 9 ^ k
) )  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
14340, 130, 98mul32d 9779 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3  x.  ( 9 ^ k ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) )
144143oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i 
/  ( ( 3  x.  ( 9 ^ k ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) )
14538, 142, 1443eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k )  =  ( _i  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) )
146145oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  _i )  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k ) )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) )
147 nnmulcl 10554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  NN )
14854, 97, 147sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  NN )
149148, 129nnmulcld 10579 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) )  e.  NN )
150149nncnd 10547 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) )  e.  CC )
151149nnne0d 10576 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) )  =/=  0 )
15239, 150, 151divcld 10316 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i 
/  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) )  e.  CC )
153 mulcom 9567 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) )  e.  CC  /\  ( 2  /  _i )  e.  CC )  ->  ( ( _i  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) )  x.  (
2  /  _i ) )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) )
154152, 6, 153sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) )  x.  ( 2  /  _i ) )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) )
1553a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
1565a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  _i  =/=  0 )
157155, 39, 150, 156, 151dmdcand 10345 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) )  x.  ( 2  /  _i ) )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) )
158146, 154, 1573eqtr2d 2501 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  _i )  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k ) )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) )
159118, 158eqtr4d 2498 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  x.  ( ( ( _i 
/  3 ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) `  k ) ) )
160159adantl 464 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  x.  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `
 k ) ) )
1611, 2, 7, 30, 111, 160isermulc2 13562 . . 3  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  F )  ~~>  ( ( 2  /  _i )  x.  (arctan `  (
_i  /  3 ) ) ) )
162161trud 1407 . 2  |-  seq 0
(  +  ,  F
)  ~~>  ( ( 2  /  _i )  x.  (arctan `  ( _i  /  3 ) ) )
163 bndatandm 23457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  /  3
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( _i 
/  3 ) )  <  1 )  -> 
( _i  /  3
)  e.  dom arctan )
16410, 26, 163mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( _i 
/  3 )  e. 
dom arctan
165 atanval 23412 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  /  3 )  e.  dom arctan  ->  (arctan `  ( _i  /  3
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( _i  / 
3 ) ) ) ) ) ) )
166164, 165ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (arctan `  ( _i  /  3
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( _i  / 
3 ) ) ) ) ) )
167 df-4 10592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  =  ( 3  +  1 )
168167oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  /  3 )  =  ( ( 3  +  1 )  /  3
)
169 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
1708, 169, 8, 9divdiri 10297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  +  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )
1718, 9dividi 10273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  /  3 )  =  1
172171oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  /  3 )  +  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  3 ) )
173168, 170, 1723eqtri 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  /  3 )  =  ( 1  +  ( 1  /  3 ) )
174169, 8, 9divcli 10282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
175169, 174subnegi 9889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  -u ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  3 ) )
176 divneg 10235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  3 )  =  ( -u 1  /  3 ) )
177169, 8, 9, 176mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
1  /  3 )  =  ( -u 1  /  3 )
178 ixi 10174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
179178oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  x.  _i )  /  3 )  =  ( -u 1  / 
3 )
1804, 4, 8, 9divassi 10296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  x.  _i )  /  3 )  =  ( _i  x.  (
_i  /  3 ) )
181177, 179, 1803eqtr2i 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
1  /  3 )  =  ( _i  x.  ( _i  /  3
) )
182181oveq2i 6281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  -u ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  ( _i  /  3 ) ) )
183173, 175, 1823eqtr2ri 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) )  =  ( 4  /  3
)
184183fveq2i 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( _i  /  3 ) ) ) )  =  ( log `  ( 4  /  3
) )
1858, 9pm3.2i 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
186 divsubdir 10236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 3  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
1878, 169, 185, 186mp3an 1322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
188 3m1e2 10648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  -  1 )  =  2
189188oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( 2  /  3
)
190171oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
191187, 189, 1903eqtr3i 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  3 )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
192169, 174negsubi 9888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  -u ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
193181oveq2i 6281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  -u ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( _i 
/  3 ) ) )
194191, 192, 1933eqtr2ri 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) )  =  ( 2  /  3
)
195194fveq2i 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( _i 
/  3 ) ) ) )  =  ( log `  ( 2  /  3 ) )
196184, 195oveq12i 6282 . . . . . . . 8  |-  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( _i  / 
3 ) ) ) ) )  =  ( ( log `  (
4  /  3 ) )  -  ( log `  ( 2  /  3
) ) )
197 4re 10608 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  RR
198 4pos 10627 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  4
199197, 198elrpii 11224 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR+
20014, 16elrpii 11224 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR+
201 rpdivcl 11244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  (
4  /  3 )  e.  RR+ )
202199, 200, 201mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  /  3 )  e.  RR+
203 2rp 11226 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
204 rpdivcl 11244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  (
2  /  3 )  e.  RR+ )
205203, 200, 204mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  /  3 )  e.  RR+
206 relogdiv 23146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 4  /  3
)  e.  RR+  /\  (
2  /  3 )  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( ( 4  /  3 )  / 
( 2  /  3
) ) )  =  ( ( log `  (
4  /  3 ) )  -  ( log `  ( 2  /  3
) ) ) )
207202, 205, 206mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  ( log `  ( ( 4  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) ) )  =  ( ( log `  (
4  /  3 ) )  -  ( log `  ( 2  /  3
) ) )
208 4cn 10609 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  CC
209 2cnne0 10746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
210 divcan7 10249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 4  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( 4  /  2 ) )
211208, 209, 185, 210mp3an 1322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  /  3 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 4  /  2
)
212 4d2e2 10688 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  /  2 )  =  2
213211, 212eqtri 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  /  3 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  2
214213fveq2i 5851 . . . . . . . 8  |-  ( log `  ( ( 4  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) ) )  =  ( log `  2 )
215196, 207, 2143eqtr2i 2489 . . . . . . 7  |-  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( _i  / 
3 ) ) ) ) )  =  ( log `  2 )
216215oveq2i 6281 . . . . . 6  |-  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( _i  /  3 ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( _i 
/  3 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( log `  2
) )
217166, 216eqtri 2483 . . . . 5  |-  (arctan `  ( _i  /  3
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( log `  2 ) )
218217oveq2i 6281 . . . 4  |-  ( ( 2  /  _i )  x.  (arctan `  (
_i  /  3 ) ) )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( (
_i  /  2 )  x.  ( log `  2
) ) )
219 2ne0 10624 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
2204, 3, 219divcli 10282 . . . . 5  |-  ( _i 
/  2 )  e.  CC
221 logcl 23122 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( log `  2
)  e.  CC )
2223, 219, 221mp2an 670 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  CC
2236, 220, 222mulassi 9594 . . . 4  |-  ( ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  /  2 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( (
_i  /  2 )  x.  ( log `  2
) ) )
224218, 223eqtr4i 2486 . . 3  |-  ( ( 2  /  _i )  x.  (arctan `  (
_i  /  3 ) ) )  =  ( ( ( 2  /  _i )  x.  (
_i  /  2 ) )  x.  ( log `  2 ) )
225 divcan6 10247 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0
) )  ->  (
( 2  /  _i )  x.  ( _i  /  2 ) )  =  1 )
2263, 219, 4, 5, 225mp4an 671 . . . 4  |-  ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  / 
2 ) )  =  1
227226oveq1i 6280 . . 3  |-  ( ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  /  2 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( 1  x.  ( log `  2 ) )
228222mulid2i 9588 . . 3  |-  ( 1  x.  ( log `  2
) )  =  ( log `  2 )
229224, 227, 2283eqtri 2487 . 2  |-  ( ( 2  /  _i )  x.  (arctan `  (
_i  /  3 ) ) )  =  ( log `  2 )
230162, 229breqtri 4462 1  |-  seq 0
(  +  ,  F
)  ~~>  ( log `  2
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   9c9 10588   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   RR+crp 11221    seqcseq 12089   ^cexp 12148   abscabs 13149    ~~> cli 13389   logclog 23108  arctancatan 23392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-tan 13889  df-pi 13890  df-dvds 14071  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-ulm 22938  df-log 23110  df-atan 23395
This theorem is referenced by:  log2tlbnd  23473
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