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Theorem log2cnv 23031
Description: Using the Taylor series for arctan ( _i  / 
3 ), produce a rapidly convergent series for  log 2. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
log2cnv.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
log2cnv  |-  seq 0
(  +  ,  F
)  ~~>  ( log `  2
)

Proof of Theorem log2cnv
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11116 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 10876 . . . 4  |-  ( T. 
->  0  e.  ZZ )
3 2cn 10606 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
4 ax-icn 9551 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
5 ine0 9992 . . . . . 6  |-  _i  =/=  0
63, 4, 5divcli 10286 . . . . 5  |-  ( 2  /  _i )  e.  CC
76a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 2  /  _i )  e.  CC )
8 3cn 10610 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
9 3ne0 10630 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
104, 8, 9divcli 10286 . . . . . 6  |-  ( _i 
/  3 )  e.  CC
11 absdiv 13091 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( _i  / 
3 ) )  =  ( ( abs `  _i )  /  ( abs `  3
) ) )
124, 8, 9, 11mp3an 1324 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( _i  /  3
) )  =  ( ( abs `  _i )  /  ( abs `  3
) )
13 absi 13082 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  _i )  =  1
14 3re 10609 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
15 0re 9596 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
16 3pos 10629 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  3
1715, 14, 16ltleii 9707 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  3
18 absid 13092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <_  3 )  -> 
( abs `  3
)  =  3 )
1914, 17, 18mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  3 )  =  3
2013, 19oveq12i 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  _i )  /  ( abs `  3
) )  =  ( 1  /  3 )
2112, 20eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( _i  /  3
) )  =  ( 1  /  3 )
22 1lt3 10704 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
23 recgt1 10441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  -> 
( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 ) )
2414, 16, 23mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 )
2522, 24mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  3 )  <  1
2621, 25eqbrtri 4466 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( _i  /  3
) )  <  1
27 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
2827atantayl3 23026 . . . . . 6  |-  ( ( ( _i  /  3
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( _i 
/  3 ) )  <  1 )  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  x.  ( ( ( _i 
/  3 ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  (arctan `  ( _i  /  3 ) ) )
2910, 26, 28mp2an 672 . . . . 5  |-  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  (arctan `  ( _i  /  3
) )
3029a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  x.  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  (arctan `  ( _i  /  3 ) ) )
31 oveq2 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( -u 1 ^ n )  =  ( -u 1 ^ k ) )
32 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
3332oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
3433oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( _i 
/  3 ) ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
3534, 33oveq12d 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( _i  / 
3 ) ^ (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
3631, 35oveq12d 6302 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( -u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
37 ovex 6309 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  _V
3836, 27, 37fvmpt 5950 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
394a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  _i  e.  CC )
408a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  3  e.  CC )
419a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  3  =/=  0 )
42 2nn0 10812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
43 nn0mulcl 10832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  k
)  e.  NN0 )
4442, 43mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e. 
NN0 )
45 peano2nn0 10836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e. 
NN0 )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e. 
NN0 )
4739, 40, 41, 46expdivd 12292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( _i ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
4847oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
49 neg1cn 10639 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  CC
50 expcl 12152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
5149, 50mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ k )  e.  CC )
52 expcl 12152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( _i ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  CC )
534, 46, 52sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
54 3nn 10694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN
55 nnexpcl 12147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  NN )
5654, 46, 55sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  NN )
5756nncnd 10552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
5856nnne0d 10580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =/=  0 )
5951, 53, 57, 58divassd 10355 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
_i ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
60 expp1 12141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( 2  x.  k
)  e.  NN0 )  ->  ( _i ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  =  ( ( _i ^ ( 2  x.  k ) )  x.  _i ) )
614, 44, 60sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( _i ^
( 2  x.  k
) )  x.  _i ) )
62 expmul 12179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( _i
^ 2 ) ^
k ) )
634, 42, 62mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i
^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( _i ^
2 ) ^ k
) )
64 i2 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
6564oveq1i 6294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i ^ 2 ) ^ k )  =  ( -u 1 ^ k )
6663, 65syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i
^ ( 2  x.  k ) )  =  ( -u 1 ^ k ) )
6766oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i ^ ( 2  x.  k ) )  x.  _i )  =  ( ( -u 1 ^ k )  x.  _i ) )
6861, 67eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ k )  x.  _i ) )
6968oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( -u
1 ^ k )  x.  _i ) ) )
7051, 51, 39mulassd 9619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  x.  _i )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( -u
1 ^ k )  x.  _i ) ) )
7149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  -u 1  e.  CC )
72 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e. 
NN0 )
7371, 72, 72expaddd 12280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( k  +  k ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( -u 1 ^ k ) ) )
74 expmul 12179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( -u 1 ^ (
2  x.  k ) )  =  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ k ) )
7549, 42, 74mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( -u
1 ^ 2 ) ^ k ) )
76 neg1sqe1 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
7776oveq1i 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ k )  =  ( 1 ^ k )
7875, 77syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( 1 ^ k ) )
79 nn0cn 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
80792timesd 10781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  =  ( k  +  k ) )
8180oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( -u 1 ^ ( k  +  k ) ) )
82 nn0z 10887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
83 1exp 12163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1 ^ k )  =  1 )
8578, 81, 843eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( k  +  k ) )  =  1 )
8673, 85eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( -u
1 ^ k ) )  =  1 )
8786oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  x.  _i )  =  ( 1  x.  _i ) )
884mulid2i 9599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  x.  _i )  =  _i
8987, 88syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  x.  _i )  =  _i )
9069, 70, 893eqtr2d 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  _i )
9190oveq1d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
_i ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
9248, 59, 913eqtr2d 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
9392oveq1d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( _i 
/  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
94 expcl 12152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  /  3
)  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( _i  / 
3 ) ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  CC )
9510, 46, 94sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
96 nn0p1nn 10835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
9744, 96syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
9897nncnd 10552 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  CC )
9997nnne0d 10580 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =/=  0 )
10051, 95, 98, 99divassd 10355 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
10139, 57, 98, 58, 99divdiv1d 10351 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( _i  /  (
( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
10293, 100, 1013eqtr3d 2516 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
10357, 98mulcomd 9617 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  (
3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
104103oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i 
/  ( ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  /  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
10538, 102, 1043eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k )  =  ( _i  / 
( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  (
3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
10697, 56nnmulcld 10583 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  x.  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  NN )
107106nncnd 10552 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  x.  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
108106nnne0d 10580 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  x.  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =/=  0 )
10939, 107, 108divcld 10320 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i 
/  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  ( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
110105, 109eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
111110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  x.  ( ( ( _i 
/  3 ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
11233oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
113 oveq2 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
9 ^ n )  =  ( 9 ^ k ) )
114112, 113oveq12d 6302 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) )
115114oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  =  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) )
116 log2cnv.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
117 ovex 6309 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) )  e. 
_V
118115, 116, 117fvmpt 5950 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) )
119 expp1 12141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 2  x.  k
)  e.  NN0 )  ->  ( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  =  ( ( 3 ^ ( 2  x.  k ) )  x.  3 ) )
1208, 44, 119sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 3 ^ ( 2  x.  k
) )  x.  3 ) )
121 expmul 12179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
3 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 3 ^ 2 ) ^
k ) )
1228, 42, 121mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 3 ^ 2 ) ^ k
) )
123 sq3 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 3 ^ 2 )  =  9
124123oveq1i 6294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3 ^ 2 ) ^ k )  =  ( 9 ^ k
)
125122, 124syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( 9 ^ k
) )
126125oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3 ^ ( 2  x.  k ) )  x.  3 )  =  ( ( 9 ^ k )  x.  3 ) )
127 9nn 10700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  9  e.  NN
128 nnexpcl 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 9  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ k
)  e.  NN )
129127, 128mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 9 ^ k )  e.  NN )
130129nncnd 10552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 9 ^ k )  e.  CC )
131 mulcom 9578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 9 ^ k
)  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( 9 ^ k )  x.  3 )  =  ( 3  x.  ( 9 ^ k ) ) )
132130, 8, 131sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 9 ^ k )  x.  3 )  =  ( 3  x.  (
9 ^ k ) ) )
133120, 126, 1323eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 3  x.  (
9 ^ k ) ) )
13490, 133oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
_i ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( 3  x.  (
9 ^ k ) ) ) )
13548, 59, 1343eqtr2d 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( 3  x.  (
9 ^ k ) ) ) )
136135oveq1d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( _i 
/  ( 3  x.  ( 9 ^ k
) ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
137 nnmulcl 10559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( 9 ^ k
)  e.  NN )  ->  ( 3  x.  ( 9 ^ k
) )  e.  NN )
13854, 129, 137sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3  x.  ( 9 ^ k ) )  e.  NN )
139138nncnd 10552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3  x.  ( 9 ^ k ) )  e.  CC )
140138nnne0d 10580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3  x.  ( 9 ^ k ) )  =/=  0 )
14139, 139, 98, 140, 99divdiv1d 10351 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  ( 3  x.  ( 9 ^ k ) ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( _i  /  (
( 3  x.  (
9 ^ k ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
142136, 100, 1413eqtr3d 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( ( 3  x.  ( 9 ^ k
) )  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
14340, 130, 98mul32d 9789 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3  x.  ( 9 ^ k ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) )
144143oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i 
/  ( ( 3  x.  ( 9 ^ k ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) )
14538, 142, 1443eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k )  =  ( _i  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) )
146145oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  _i )  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k ) )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) )
147 nnmulcl 10559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  NN )
14854, 97, 147sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  NN )
149148, 129nnmulcld 10583 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) )  e.  NN )
150149nncnd 10552 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) )  e.  CC )
151149nnne0d 10580 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) )  =/=  0 )
15239, 150, 151divcld 10320 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i 
/  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) )  e.  CC )
153 mulcom 9578 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) )  e.  CC  /\  ( 2  /  _i )  e.  CC )  ->  ( ( _i  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) )  x.  (
2  /  _i ) )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) )
154152, 6, 153sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) )  x.  ( 2  /  _i ) )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) )
1553a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
1565a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  _i  =/=  0 )
157155, 39, 150, 156, 151dmdcand 10349 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) )  x.  ( 2  /  _i ) )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) )
158146, 154, 1573eqtr2d 2514 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  _i )  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k ) )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) )
159118, 158eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  x.  ( ( ( _i 
/  3 ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) `  k ) ) )
160159adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  x.  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `
 k ) ) )
1611, 2, 7, 30, 111, 160isermulc2 13443 . . 3  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  F )  ~~>  ( ( 2  /  _i )  x.  (arctan `  (
_i  /  3 ) ) ) )
162161trud 1388 . 2  |-  seq 0
(  +  ,  F
)  ~~>  ( ( 2  /  _i )  x.  (arctan `  ( _i  /  3 ) ) )
163 bndatandm 23016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  /  3
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( _i 
/  3 ) )  <  1 )  -> 
( _i  /  3
)  e.  dom arctan )
16410, 26, 163mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( _i 
/  3 )  e. 
dom arctan
165 atanval 22971 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  /  3 )  e.  dom arctan  ->  (arctan `  ( _i  /  3
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( _i  / 
3 ) ) ) ) ) ) )
166164, 165ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (arctan `  ( _i  /  3
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( _i  / 
3 ) ) ) ) ) )
167 df-4 10596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  =  ( 3  +  1 )
168167oveq1i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  /  3 )  =  ( ( 3  +  1 )  /  3
)
169 ax-1cn 9550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
1708, 169, 8, 9divdiri 10301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  +  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )
1718, 9dividi 10277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  /  3 )  =  1
172171oveq1i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  /  3 )  +  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  3 ) )
173168, 170, 1723eqtri 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  /  3 )  =  ( 1  +  ( 1  /  3 ) )
174169, 8, 9divcli 10286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
175169, 174subnegi 9898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  -u ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  3 ) )
176 divneg 10239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  3 )  =  ( -u 1  /  3 ) )
177169, 8, 9, 176mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
1  /  3 )  =  ( -u 1  /  3 )
178 ixi 10178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
179178oveq1i 6294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  x.  _i )  /  3 )  =  ( -u 1  / 
3 )
1804, 4, 8, 9divassi 10300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  x.  _i )  /  3 )  =  ( _i  x.  (
_i  /  3 ) )
181177, 179, 1803eqtr2i 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
1  /  3 )  =  ( _i  x.  ( _i  /  3
) )
182181oveq2i 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  -u ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  ( _i  /  3 ) ) )
183173, 175, 1823eqtr2ri 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) )  =  ( 4  /  3
)
184183fveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( _i  /  3 ) ) ) )  =  ( log `  ( 4  /  3
) )
1858, 9pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
186 divsubdir 10240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 3  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
1878, 169, 185, 186mp3an 1324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
188 3m1e2 10652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  -  1 )  =  2
189188oveq1i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( 2  /  3
)
190171oveq1i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
191187, 189, 1903eqtr3i 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  3 )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
192169, 174negsubi 9897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  -u ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
193181oveq2i 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  -u ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( _i 
/  3 ) ) )
194191, 192, 1933eqtr2ri 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) )  =  ( 2  /  3
)
195194fveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( _i 
/  3 ) ) ) )  =  ( log `  ( 2  /  3 ) )
196184, 195oveq12i 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( _i  / 
3 ) ) ) ) )  =  ( ( log `  (
4  /  3 ) )  -  ( log `  ( 2  /  3
) ) )
197 4re 10612 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  RR
198 4pos 10631 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  4
199197, 198elrpii 11223 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR+
20014, 16elrpii 11223 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR+
201 rpdivcl 11242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  (
4  /  3 )  e.  RR+ )
202199, 200, 201mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  /  3 )  e.  RR+
203 2rp 11225 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
204 rpdivcl 11242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  (
2  /  3 )  e.  RR+ )
205203, 200, 204mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  /  3 )  e.  RR+
206 relogdiv 22733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 4  /  3
)  e.  RR+  /\  (
2  /  3 )  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( ( 4  /  3 )  / 
( 2  /  3
) ) )  =  ( ( log `  (
4  /  3 ) )  -  ( log `  ( 2  /  3
) ) ) )
207202, 205, 206mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( log `  ( ( 4  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) ) )  =  ( ( log `  (
4  /  3 ) )  -  ( log `  ( 2  /  3
) ) )
208 4cn 10613 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  CC
209 2cnne0 10750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
210 divcan7 10253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 4  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( 4  /  2 ) )
211208, 209, 185, 210mp3an 1324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  /  3 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 4  /  2
)
212 4d2e2 10692 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  /  2 )  =  2
213211, 212eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  /  3 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  2
214213fveq2i 5869 . . . . . . . 8  |-  ( log `  ( ( 4  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) ) )  =  ( log `  2 )
215196, 207, 2143eqtr2i 2502 . . . . . . 7  |-  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( _i  / 
3 ) ) ) ) )  =  ( log `  2 )
216215oveq2i 6295 . . . . . 6  |-  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( _i  /  3 ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( _i 
/  3 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( log `  2
) )
217166, 216eqtri 2496 . . . . 5  |-  (arctan `  ( _i  /  3
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( log `  2 ) )
218217oveq2i 6295 . . . 4  |-  ( ( 2  /  _i )  x.  (arctan `  (
_i  /  3 ) ) )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( (
_i  /  2 )  x.  ( log `  2
) ) )
219 2ne0 10628 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
2204, 3, 219divcli 10286 . . . . 5  |-  ( _i 
/  2 )  e.  CC
221 logcl 22712 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( log `  2
)  e.  CC )
2223, 219, 221mp2an 672 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  CC
2236, 220, 222mulassi 9605 . . . 4  |-  ( ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  /  2 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( (
_i  /  2 )  x.  ( log `  2
) ) )
224218, 223eqtr4i 2499 . . 3  |-  ( ( 2  /  _i )  x.  (arctan `  (
_i  /  3 ) ) )  =  ( ( ( 2  /  _i )  x.  (
_i  /  2 ) )  x.  ( log `  2 ) )
225 divcan6 10251 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0
) )  ->  (
( 2  /  _i )  x.  ( _i  /  2 ) )  =  1 )
2263, 219, 4, 5, 225mp4an 673 . . . 4  |-  ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  / 
2 ) )  =  1
227226oveq1i 6294 . . 3  |-  ( ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  /  2 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( 1  x.  ( log `  2 ) )
228222mulid2i 9599 . . 3  |-  ( 1  x.  ( log `  2
) )  =  ( log `  2 )
229224, 227, 2283eqtri 2500 . 2  |-  ( ( 2  /  _i )  x.  (arctan `  (
_i  /  3 ) ) )  =  ( log `  2 )
230162, 229breqtri 4470 1  |-  seq 0
(  +  ,  F
)  ~~>  ( log `  2
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   _ici 9494    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   -ucneg 9806    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   3c3 10586   4c4 10587   9c9 10592   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   RR+crp 11220    seqcseq 12075   ^cexp 12134   abscabs 13030    ~~> cli 13270   logclog 22698  arctancatan 22951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-sin 13667  df-cos 13668  df-tan 13669  df-pi 13670  df-dvds 13848  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-cmp 19681  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-ulm 22534  df-log 22700  df-atan 22954
This theorem is referenced by:  log2tlbnd  23032
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