Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  locfinref Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem locfinref 28742
 Description: A locally finite refinement of an open cover induces a locally finite open cover with the original index set. This is fact 2 of http://at.yorku.ca/p/a/c/a/02.pdf, it is expressed by exposing a function from the original cover , which is taken as the index set. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
locfinref.x
locfinref.1
locfinref.2
locfinref.3
locfinref.4
locfinref.5
Assertion
Ref Expression
locfinref
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem locfinref
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f0 5777 . . . 4
2 simpr 468 . . . . 5
32feq2d 5725 . . . 4
41, 3mpbiri 241 . . 3
5 rn0 5092 . . . . 5
6 0ex 4528 . . . . . 6
7 refref 20605 . . . . . 6
86, 7ax-mp 5 . . . . 5
95, 8eqbrtri 4415 . . . 4
109, 2syl5breqr 4432 . . 3
11 sn0top 20091 . . . . . 6
1211a1i 11 . . . . 5
13 eqidd 2472 . . . . 5
14 ral0 3865 . . . . . 6
1514a1i 11 . . . . 5
166unisn 4205 . . . . . . 7
1716eqcomi 2480 . . . . . 6
185unieqi 4199 . . . . . . 7
19 uni0 4217 . . . . . . 7
2018, 19eqtr2i 2494 . . . . . 6
2117, 20islocfin 20609 . . . . 5
2212, 13, 15, 21syl3anbrc 1214 . . . 4
23 locfinref.2 . . . . . . . . 9
2423adantr 472 . . . . . . . 8
252unieqd 4200 . . . . . . . 8
2624, 25eqtrd 2505 . . . . . . 7
27 locfinref.x . . . . . . 7
2826, 27, 193eqtr3g 2528 . . . . . 6
29 locfinref.5 . . . . . . . 8
30 locfintop 20613 . . . . . . . 8
31 0top 20076 . . . . . . . 8
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . 7
3332adantr 472 . . . . . 6
3428, 33mpbid 215 . . . . 5
3534fveq2d 5883 . . . 4
3622, 35eleqtrrd 2552 . . 3
37 feq1 5720 . . . . 5
38 rneq 5066 . . . . . 6
3938breq1d 4405 . . . . 5
4038eleq1d 2533 . . . . 5
4137, 39, 403anbi123d 1365 . . . 4
426, 41spcev 3127 . . 3
434, 10, 36, 42syl3anc 1292 . 2
44 locfinref.1 . . . . 5
45 locfinref.3 . . . . 5
46 locfinref.4 . . . . 5
4727, 44, 23, 45, 46, 29locfinreflem 28741 . . . 4
49 simpl 464 . . . 4
50 simprl1 1075 . . . . . . . 8
51 fdmrn 5756 . . . . . . . 8
5250, 51sylib 201 . . . . . . 7
53 simprl3 1077 . . . . . . 7
5452, 53fssd 5750 . . . . . 6
55 fconstg 5783 . . . . . . . 8
566, 55mp1i 13 . . . . . . 7
57 0opn 20011 . . . . . . . . . 10
5829, 30, 573syl 18 . . . . . . . . 9
5958ad2antrr 740 . . . . . . . 8
6059snssd 4108 . . . . . . 7
6156, 60fssd 5750 . . . . . 6
62 disjdif 3830 . . . . . . 7
6362a1i 11 . . . . . 6
64 fun2 5759 . . . . . 6
6554, 61, 63, 64syl21anc 1291 . . . . 5
66 simprl2 1076 . . . . . . 7
67 undif 3839 . . . . . . 7
6866, 67sylib 201 . . . . . 6
6968feq2d 5725 . . . . 5
7065, 69mpbid 215 . . . 4
71 simpr 468 . . . . . 6
72 simprrl 782 . . . . . . 7
7372adantr 472 . . . . . 6
7471, 73eqbrtrd 4416 . . . . 5
75 simpr 468 . . . . . 6
7649simprd 470 . . . . . . . 8
77 refun0 20607 . . . . . . . 8
7872, 76, 77syl2anc 673 . . . . . . 7
7978adantr 472 . . . . . 6
8075, 79eqbrtrd 4416 . . . . 5
81 rnxpss 5275 . . . . . . 7
82 sssn 4122 . . . . . . 7
8381, 82mpbi 213 . . . . . 6
84 rnun 5250 . . . . . . . . 9
85 uneq2 3573 . . . . . . . . 9
8684, 85syl5eq 2517 . . . . . . . 8
87 un0 3762 . . . . . . . 8
8886, 87syl6eq 2521 . . . . . . 7
89 uneq2 3573 . . . . . . . 8
9084, 89syl5eq 2517 . . . . . . 7
9188, 90orim12i 525 . . . . . 6
9283, 91mp1i 13 . . . . 5
9374, 80, 92mpjaodan 803 . . . 4
94 simprrr 783 . . . . . . 7
9594adantr 472 . . . . . 6
9671, 95eqeltrd 2549 . . . . 5
9794adantr 472 . . . . . . 7
98 snfi 7668 . . . . . . . 8
9998a1i 11 . . . . . . 7
10059adantr 472 . . . . . . . . 9
101100snssd 4108 . . . . . . . 8
102101unissd 4214 . . . . . . 7
103 lfinun 20617 . . . . . . 7
10497, 99, 102, 103syl3anc 1292 . . . . . 6
10575, 104eqeltrd 2549 . . . . 5
10696, 105, 92mpjaodan 803 . . . 4
107 refrel 20600 . . . . . . . . 9
108107brrelex2i 4881 . . . . . . . 8
109 difexg 4545 . . . . . . . 8
11046, 108, 1093syl 18 . . . . . . 7
111110adantr 472 . . . . . 6
112 p0ex 4588 . . . . . . 7
113 xpexg 6612 . . . . . . 7
114112, 113mpan2 685 . . . . . 6
115 vex 3034 . . . . . . 7
116 unexg 6611 . . . . . . 7
117115, 116mpan 684 . . . . . 6
118 feq1 5720 . . . . . . . 8
119 rneq 5066 . . . . . . . . 9
120119breq1d 4405 . . . . . . . 8
121119eleq1d 2533 . . . . . . . 8
122118, 120, 1213anbi123d 1365 . . . . . . 7
123122spcegv 3121 . . . . . 6
124111, 114, 117, 1234syl 19 . . . . 5
125124imp 436 . . . 4
12649, 70, 93, 106, 125syl13anc 1294 . . 3
12748, 126exlimddv 1789 . 2
12843, 127pm2.61dane 2730 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  csn 3959  cuni 4190   class class class wbr 4395   cxp 4837   cdm 4839   crn 4840   wfun 5583  wf 5585  cfv 5589  cfn 7587  ctop 19994  cref 20594  clocfin 20596 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-r1 8253  df-rank 8254  df-card 8391  df-ac 8565  df-top 19998  df-topon 20000  df-ref 20597  df-locfin 20599 This theorem is referenced by:  pcmplfinf  28762
 Copyright terms: Public domain W3C validator