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Theorem locfincmp 28485
Description: For a compact space, the locally finite covers are precisely the finite covers. Sadly, this property does not properly characterize all compact spaces. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
locfincmp.1  |-  X  = 
U. J
locfincmp.2  |-  Y  = 
U. C
Assertion
Ref Expression
locfincmp  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( C  e.  ( LocFin `  J
)  <->  ( C  e. 
Fin  /\  X  =  Y ) ) )

Proof of Theorem locfincmp
Dummy variables  o 
c  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 locfincmp.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
21locfinnei 28483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( LocFin `  J )  /\  x  e.  X )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
32ralrimiva 2797 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( LocFin `  J
)  ->  A. x  e.  X  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
41cmpcov2 18893 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. o  e.  J  (
x  e.  o  /\  { s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  E. c  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. c  /\  A. o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
53, 4sylan2 471 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  E. c  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. c  /\  A. o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
6 elfpw 7609 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  <->  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )
7 simplrr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  C  e.  (
LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  /\  X  =  U. c )  -> 
c  e.  Fin )
8 eldifsn 3997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( C  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  C  /\  x  =/=  (/) ) )
9 elunii 4093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  C )  ->  y  e.  U. C
)
10 locfincmp.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  Y  = 
U. C
119, 10syl6eleqr 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  C )  ->  y  e.  Y )
1211ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  Y )
1312adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  -> 
y  e.  Y )
141, 10locfinbas 28482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( C  e.  ( LocFin `  J
)  ->  X  =  Y )
1514adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  X  =  Y )
1615ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  ->  X  =  Y )
1713, 16eleqtrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  -> 
y  e.  X )
18 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  ->  X  =  U. c
)
1917, 18eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  -> 
y  e.  U. c
)
20 eluni2 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  U. c  <->  E. o  e.  c  y  e.  o )
2119, 20sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  ->  E. o  e.  c 
y  e.  o )
22 simplrl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  /\  ( o  e.  c  /\  y  e.  o ) )  ->  x  e.  C )
23 simplrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  /\  ( o  e.  c  /\  y  e.  o ) )  ->  y  e.  x )
24 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  /\  ( o  e.  c  /\  y  e.  o ) )  ->  y  e.  o )
25 inelcm 3730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  x  /\  y  e.  o )  ->  ( x  i^i  o
)  =/=  (/) )
2623, 24, 25syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  /\  ( o  e.  c  /\  y  e.  o ) )  ->  (
x  i^i  o )  =/=  (/) )
27 ineq1 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  =  x  ->  (
s  i^i  o )  =  ( x  i^i  o ) )
2827neeq1d 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  =  x  ->  (
( s  i^i  o
)  =/=  (/)  <->  ( x  i^i  o )  =/=  (/) ) )
2928elrab 3114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  <->  ( x  e.  C  /\  ( x  i^i  o )  =/=  (/) ) )
3022, 26, 29sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  /\  ( o  e.  c  /\  y  e.  o ) )  ->  x  e.  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } )
3130expr 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  /\  o  e.  c )  ->  ( y  e.  o  ->  x  e.  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) } ) )
3231reximdva 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  -> 
( E. o  e.  c  y  e.  o  ->  E. o  e.  c  x  e.  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } ) )
3321, 32mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  ->  E. o  e.  c  x  e.  { s  e.  C  |  (
s  i^i  o )  =/=  (/) } )
3433expr 612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  x  e.  C )  ->  (
y  e.  x  ->  E. o  e.  c  x  e.  { s  e.  C  |  (
s  i^i  o )  =/=  (/) } ) )
3534exlimdv 1695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  x  e.  C )  ->  ( E. y  y  e.  x  ->  E. o  e.  c  x  e.  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } ) )
36 n0 3643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  x )
37 eliun 4172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  <->  E. o  e.  c  x  e.  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } )
3835, 36, 373imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  x  e.  C )  ->  (
x  =/=  (/)  ->  x  e.  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } ) )
3938expimpd 600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  C  e.  (
LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  /\  X  =  U. c )  -> 
( ( x  e.  C  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  e. 
U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } ) )
408, 39syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  C  e.  (
LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  /\  X  =  U. c )  -> 
( x  e.  ( C  \  { (/) } )  ->  x  e.  U_ o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) } ) )
4140ssrdv 3359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  C  e.  (
LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  /\  X  =  U. c )  -> 
( C  \  { (/)
} )  C_  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  (
s  i^i  o )  =/=  (/) } )
42 iunfi 7595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  Fin  /\  A. o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  (
s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin )
4342ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  Fin  ->  ( A. o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin  ->  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
44 ssfi 7529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin  /\  ( C  \  { (/) } )  C_  U_ o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) } )  ->  ( C  \  { (/) } )  e. 
Fin )
4544expcom 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  \  { (/) } )  C_  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  ->  ( U_ o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin  ->  ( C  \  { (/) } )  e. 
Fin ) )
4643, 45sylan9 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  Fin  /\  ( C  \  { (/) } )  C_  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } )  ->  ( A. o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin  ->  ( C  \  { (/) } )  e. 
Fin ) )
477, 41, 46syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  C  e.  (
LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  /\  X  =  U. c )  -> 
( A. o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin  ->  ( C  \  { (/) } )  e.  Fin )
)
4847expimpd 600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  ->  (
( X  =  U. c  /\  A. o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  ( C  \  { (/)
} )  e.  Fin ) )
496, 48sylan2b 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J ) )  /\  c  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )  ->  ( ( X  =  U. c  /\  A. o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  ( C 
\  { (/) } )  e.  Fin ) )
5049rexlimdva 2839 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  ( E. c  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  =  U. c  /\  A. o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  ( C 
\  { (/) } )  e.  Fin ) )
515, 50mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  ( C  \  { (/) } )  e. 
Fin )
52 snfi 7386 . . . . . 6  |-  { (/) }  e.  Fin
53 unfi 7575 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  \  { (/)
} )  e.  Fin  /\ 
{ (/) }  e.  Fin )  ->  ( ( C 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  Fin )
5451, 52, 53sylancl 657 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  ( ( C  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  Fin )
55 ssun1 3516 . . . . . 6  |-  C  C_  ( C  u.  { (/) } )
56 undif1 3751 . . . . . 6  |-  ( ( C  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  =  ( C  u.  { (/) } )
5755, 56sseqtr4i 3386 . . . . 5  |-  C  C_  ( ( C  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )
58 ssfi 7529 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )  e. 
Fin  /\  C  C_  (
( C  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} ) )  ->  C  e.  Fin )
5954, 57, 58sylancl 657 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  C  e.  Fin )
6059, 15jca 529 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  ( C  e.  Fin  /\  X  =  Y ) )
6160ex 434 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( C  e.  ( LocFin `  J
)  ->  ( C  e.  Fin  /\  X  =  Y ) ) )
62 cmptop 18898 . . 3  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
631, 10finlocfin 28480 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  C  e.  Fin  /\  X  =  Y )  ->  C  e.  ( LocFin `  J )
)
64633expib 1185 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( C  e.  Fin  /\  X  =  Y )  ->  C  e.  (
LocFin `  J ) ) )
6562, 64syl 16 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( ( C  e.  Fin  /\  X  =  Y )  ->  C  e.  ( LocFin `  J ) ) )
6661, 65impbid 191 1  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( C  e.  ( LocFin `  J
)  <->  ( C  e. 
Fin  /\  X  =  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   U.cuni 4088   U_ciun 4168   ` cfv 5415   Fincfn 7306   Topctop 18398   Compccmp 18889   LocFinclocfin 28443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-fin 7310  df-top 18403  df-cmp 18890  df-locfin 28447
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