Theorem locfincmp 20153

Description: For a compact space, the locally finite covers are precisely the finite covers. Sadly, this property does not properly characterize all compact spaces. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
locfincmp.1	|- X = U. J
locfincmp.2	|- Y = U. C

Assertion

Ref	Expression
locfincmp	|- ( J e. Comp -> ( C e. ( LocFin ` J ) <-> ( C e. Fin /\ X = Y ) ) )

Proof of Theorem locfincmp

Dummy variables o c s x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		locfincmp.1	. . . . . . . . . 10 |- X = U. J
2	1	locfinnei 20150	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( LocFin ` J ) /\ x e. X ) -> E. o e. J ( x e. o /\ { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) )
3	2	ralrimiva 2871	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( LocFin ` J ) -> A. x e. X E. o e. J ( x e. o /\ { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) )
4	1	cmpcov2 20017	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Comp /\ A. x e. X E. o e. J ( x e. o /\ { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) ) -> E. c e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. c /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) )
5	3, 4	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> E. c e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. c /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) )
6		elfpw 7840	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( ~P J i^i Fin ) <-> ( c C_ J /\ c e. Fin ) )
7		simplrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) -> c e. Fin )
8		eldifsn 4157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( C \ { (/) } ) <-> ( x e. C /\ x =/= (/) ) )
9		simplrl 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) /\ ( o e. c /\ y e. o ) ) -> x e. C )
10		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) /\ ( o e. c /\ y e. o ) ) -> y e. x )
11		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) /\ ( o e. c /\ y e. o ) ) -> y e. o )
12		inelcm 3884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. x /\ y e. o ) -> ( x i^i o ) =/= (/) )
13	10, 11, 12	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) /\ ( o e. c /\ y e. o ) ) -> ( x i^i o ) =/= (/) )
14		ineq1 3689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s = x -> ( s i^i o ) = ( x i^i o ) )
15	14	neeq1d 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s = x -> ( ( s i^i o ) =/= (/) <-> ( x i^i o ) =/= (/) ) )
16	15	elrab 3257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } <-> ( x e. C /\ ( x i^i o ) =/= (/) ) )
17	9, 13, 16	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) /\ ( o e. c /\ y e. o ) ) -> x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } )
18		elunii 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y e. x /\ x e. C ) -> y e. U. C )
19		locfincmp.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- Y = U. C
20	18, 19	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. x /\ x e. C ) -> y e. Y )
21	20	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. C /\ y e. x ) -> y e. Y )
22	21	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> y e. Y )
23	1, 19	locfinbas 20149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( C e. ( LocFin ` J ) -> X = Y )
24	23	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> X = Y )
25	24	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> X = Y )
26	22, 25	eleqtrrd 2548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> y e. X )
27		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> X = U. c )
28	26, 27	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> y e. U. c )
29		eluni2 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. U. c <-> E. o e. c y e. o )
30	28, 29	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> E. o e. c y e. o )
31	17, 30	reximddv 2933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> E. o e. c x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } )
32	31	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ x e. C ) -> ( y e. x -> E. o e. c x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) )
33	32	exlimdv 1725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ x e. C ) -> ( E. y y e. x -> E. o e. c x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) )
34		n0 3803	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x =/= (/) <-> E. y y e. x )
35		eliun 4337	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } <-> E. o e. c x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } )
36	33, 34, 35	3imtr4g 270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ x e. C ) -> ( x =/= (/) -> x e. U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) )
37	36	expimpd 603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) -> ( ( x e. C /\ x =/= (/) ) -> x e. U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) )
38	8, 37	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) -> ( x e. ( C \ { (/) } ) -> x e. U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) )
39	38	ssrdv 3505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) -> ( C \ { (/) } ) C_ U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } )
40		iunfi 7826	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. Fin /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) -> U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin )
41	40	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. Fin -> ( A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin -> U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) )
42		ssfi 7759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin /\ ( C \ { (/) } ) C_ U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) -> ( C \ { (/) } ) e. Fin )
43	42	expcom 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C \ { (/) } ) C_ U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } -> ( U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
44	41, 43	sylan9 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. Fin /\ ( C \ { (/) } ) C_ U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) -> ( A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
45	7, 39, 44	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) -> ( A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
46	45	expimpd 603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) -> ( ( X = U. c /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
47	6, 46	sylan2b 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ c e. ( ~P J i^i Fin ) ) -> ( ( X = U. c /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
48	47	rexlimdva 2949	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> ( E. c e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. c /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
49	5, 48	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> ( C \ { (/) } ) e. Fin )
50		snfi 7615	. . . . . 6 |- { (/) } e. Fin
51		unfi 7805	. . . . . 6 |- ( ( ( C \ { (/) } ) e. Fin /\ { (/) } e. Fin ) -> ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } ) e. Fin )
52	49, 50, 51	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } ) e. Fin )
53		ssun1 3663	. . . . . 6 |- C C_ ( C u. { (/) } )
54		undif1 3906	. . . . . 6 |- ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } ) = ( C u. { (/) } )
55	53, 54	sseqtr4i 3532	. . . . 5 |- C C_ ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } )
56		ssfi 7759	. . . . 5 |- ( ( ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } ) e. Fin /\ C C_ ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } ) ) -> C e. Fin )
57	52, 55, 56	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> C e. Fin )
58	57, 24	jca 532	. . 3 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> ( C e. Fin /\ X = Y ) )
59	58	ex 434	. 2 |- ( J e. Comp -> ( C e. ( LocFin ` J ) -> ( C e. Fin /\ X = Y ) ) )
60		cmptop 20022	. . 3 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
61	1, 19	finlocfin 20147	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ C e. Fin /\ X = Y ) -> C e. ( LocFin ` J ) )
62	61	3expib 1199	. . 3 |- ( J e. Top -> ( ( C e. Fin /\ X = Y ) -> C e. ( LocFin ` J ) ) )
63	60, 62	syl 16	. 2 |- ( J e. Comp -> ( ( C e. Fin /\ X = Y ) -> C e. ( LocFin ` J ) ) )
64	59, 63	impbid 191	1 |- ( J e. Comp -> ( C e. ( LocFin ` J ) <-> ( C e. Fin /\ X = Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   \ cdif 3468   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251   U_ciun 4332   ` cfv 5594   Fincfn 7535   Topctop 19521   Compccmp 20013   LocFinclocfin 20131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-top 19526  df-cmp 20014  df-locfin 20134

This theorem is referenced by: (None)