Theorem locfincmp 20596

Description: For a compact space, the locally finite covers are precisely the finite covers. Sadly, this property does not properly characterize all compact spaces. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
locfincmp.1	|- X = U. J
locfincmp.2	|- Y = U. C

Assertion

Ref	Expression
locfincmp	|- ( J e. Comp -> ( C e. ( LocFin ` J ) <-> ( C e. Fin /\ X = Y ) ) )

Proof of Theorem locfincmp

Dummy variables o c s x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		locfincmp.1	. . . . . . . . . 10 |- X = U. J
2	1	locfinnei 20593	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( LocFin ` J ) /\ x e. X ) -> E. o e. J ( x e. o /\ { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) )
3	2	ralrimiva 2814	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( LocFin ` J ) -> A. x e. X E. o e. J ( x e. o /\ { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) )
4	1	cmpcov2 20460	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Comp /\ A. x e. X E. o e. J ( x e. o /\ { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) ) -> E. c e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. c /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) )
5	3, 4	sylan2 481	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> E. c e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. c /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) )
6		elfpw 7907	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( ~P J i^i Fin ) <-> ( c C_ J /\ c e. Fin ) )
7		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) -> c e. Fin )
8		eldifsn 4110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( C \ { (/) } ) <-> ( x e. C /\ x =/= (/) ) )
9		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) /\ ( o e. c /\ y e. o ) ) -> x e. C )
10		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) /\ ( o e. c /\ y e. o ) ) -> y e. x )
11		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) /\ ( o e. c /\ y e. o ) ) -> y e. o )
12		inelcm 3831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. x /\ y e. o ) -> ( x i^i o ) =/= (/) )
13	10, 11, 12	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) /\ ( o e. c /\ y e. o ) ) -> ( x i^i o ) =/= (/) )
14		ineq1 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s = x -> ( s i^i o ) = ( x i^i o ) )
15	14	neeq1d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s = x -> ( ( s i^i o ) =/= (/) <-> ( x i^i o ) =/= (/) ) )
16	15	elrab 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } <-> ( x e. C /\ ( x i^i o ) =/= (/) ) )
17	9, 13, 16	sylanbrc 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) /\ ( o e. c /\ y e. o ) ) -> x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } )
18		elunii 4217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y e. x /\ x e. C ) -> y e. U. C )
19		locfincmp.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- Y = U. C
20	18, 19	syl6eleqr 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. x /\ x e. C ) -> y e. Y )
21	20	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. C /\ y e. x ) -> y e. Y )
22	21	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> y e. Y )
23	1, 19	locfinbas 20592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( C e. ( LocFin ` J ) -> X = Y )
24	23	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> X = Y )
25	24	ad3antrrr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> X = Y )
26	22, 25	eleqtrrd 2543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> y e. X )
27		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> X = U. c )
28	26, 27	eleqtrd 2542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> y e. U. c )
29		eluni2 4216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. U. c <-> E. o e. c y e. o )
30	28, 29	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> E. o e. c y e. o )
31	17, 30	reximddv 2875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> E. o e. c x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } )
32	31	expr 624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ x e. C ) -> ( y e. x -> E. o e. c x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) )
33	32	exlimdv 1790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ x e. C ) -> ( E. y y e. x -> E. o e. c x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) )
34		n0 3753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x =/= (/) <-> E. y y e. x )
35		eliun 4297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } <-> E. o e. c x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } )
36	33, 34, 35	3imtr4g 278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ x e. C ) -> ( x =/= (/) -> x e. U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) )
37	36	expimpd 612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) -> ( ( x e. C /\ x =/= (/) ) -> x e. U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) )
38	8, 37	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) -> ( x e. ( C \ { (/) } ) -> x e. U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) )
39	38	ssrdv 3450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) -> ( C \ { (/) } ) C_ U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } )
40		iunfi 7893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. Fin /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) -> U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin )
41	40	ex 440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. Fin -> ( A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin -> U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) )
42		ssfi 7823	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin /\ ( C \ { (/) } ) C_ U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) -> ( C \ { (/) } ) e. Fin )
43	42	expcom 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C \ { (/) } ) C_ U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } -> ( U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
44	41, 43	sylan9 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. Fin /\ ( C \ { (/) } ) C_ U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) -> ( A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
45	7, 39, 44	syl2anc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) -> ( A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
46	45	expimpd 612	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) -> ( ( X = U. c /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
47	6, 46	sylan2b 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ c e. ( ~P J i^i Fin ) ) -> ( ( X = U. c /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
48	47	rexlimdva 2891	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> ( E. c e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. c /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
49	5, 48	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> ( C \ { (/) } ) e. Fin )
50		snfi 7681	. . . . . 6 |- { (/) } e. Fin
51		unfi 7869	. . . . . 6 |- ( ( ( C \ { (/) } ) e. Fin /\ { (/) } e. Fin ) -> ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } ) e. Fin )
52	49, 50, 51	sylancl 673	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } ) e. Fin )
53		ssun1 3609	. . . . . 6 |- C C_ ( C u. { (/) } )
54		undif1 3854	. . . . . 6 |- ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } ) = ( C u. { (/) } )
55	53, 54	sseqtr4i 3477	. . . . 5 |- C C_ ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } )
56		ssfi 7823	. . . . 5 |- ( ( ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } ) e. Fin /\ C C_ ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } ) ) -> C e. Fin )
57	52, 55, 56	sylancl 673	. . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> C e. Fin )
58	57, 24	jca 539	. . 3 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> ( C e. Fin /\ X = Y ) )
59	58	ex 440	. 2 |- ( J e. Comp -> ( C e. ( LocFin ` J ) -> ( C e. Fin /\ X = Y ) ) )
60		cmptop 20465	. . 3 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
61	1, 19	finlocfin 20590	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ C e. Fin /\ X = Y ) -> C e. ( LocFin ` J ) )
62	61	3expib 1218	. . 3 |- ( J e. Top -> ( ( C e. Fin /\ X = Y ) -> C e. ( LocFin ` J ) ) )
63	60, 62	syl 17	. 2 |- ( J e. Comp -> ( ( C e. Fin /\ X = Y ) -> C e. ( LocFin ` J ) ) )
64	59, 63	impbid 195	1 |- ( J e. Comp -> ( C e. ( LocFin ` J ) <-> ( C e. Fin /\ X = Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   E.wex 1674   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753   \ cdif 3413   u. cun 3414   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   {csn 3980   U.cuni 4212   U_ciun 4292   ` cfv 5605   Fincfn 7600   Topctop 19972   Compccmp 20456   LocFinclocfin 20574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-en 7601  df-fin 7604  df-top 19976  df-cmp 20457  df-locfin 20577

This theorem is referenced by: (None)