Theorem locfincmp 20527

Description: For a compact space, the locally finite covers are precisely the finite covers. Sadly, this property does not properly characterize all compact spaces. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
locfincmp.1	|- X = U. J
locfincmp.2	|- Y = U. C

Assertion

Ref	Expression
locfincmp	|- ( J e. Comp -> ( C e. ( LocFin ` J ) <-> ( C e. Fin /\ X = Y ) ) )

Proof of Theorem locfincmp

Dummy variables o c s x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		locfincmp.1	. . . . . . . . . 10 |- X = U. J
2	1	locfinnei 20524	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( LocFin ` J ) /\ x e. X ) -> E. o e. J ( x e. o /\ { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) )
3	2	ralrimiva 2839	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( LocFin ` J ) -> A. x e. X E. o e. J ( x e. o /\ { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) )
4	1	cmpcov2 20391	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Comp /\ A. x e. X E. o e. J ( x e. o /\ { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) ) -> E. c e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. c /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) )
5	3, 4	sylan2 476	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> E. c e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. c /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) )
6		elfpw 7878	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( ~P J i^i Fin ) <-> ( c C_ J /\ c e. Fin ) )
7		simplrr 769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) -> c e. Fin )
8		eldifsn 4122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( C \ { (/) } ) <-> ( x e. C /\ x =/= (/) ) )
9		simplrl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) /\ ( o e. c /\ y e. o ) ) -> x e. C )
10		simplrr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) /\ ( o e. c /\ y e. o ) ) -> y e. x )
11		simprr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) /\ ( o e. c /\ y e. o ) ) -> y e. o )
12		inelcm 3847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. x /\ y e. o ) -> ( x i^i o ) =/= (/) )
13	10, 11, 12	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) /\ ( o e. c /\ y e. o ) ) -> ( x i^i o ) =/= (/) )
14		ineq1 3657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s = x -> ( s i^i o ) = ( x i^i o ) )
15	14	neeq1d 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s = x -> ( ( s i^i o ) =/= (/) <-> ( x i^i o ) =/= (/) ) )
16	15	elrab 3229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } <-> ( x e. C /\ ( x i^i o ) =/= (/) ) )
17	9, 13, 16	sylanbrc 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) /\ ( o e. c /\ y e. o ) ) -> x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } )
18		elunii 4221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y e. x /\ x e. C ) -> y e. U. C )
19		locfincmp.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- Y = U. C
20	18, 19	syl6eleqr 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. x /\ x e. C ) -> y e. Y )
21	20	ancoms 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. C /\ y e. x ) -> y e. Y )
22	21	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> y e. Y )
23	1, 19	locfinbas 20523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( C e. ( LocFin ` J ) -> X = Y )
24	23	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> X = Y )
25	24	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> X = Y )
26	22, 25	eleqtrrd 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> y e. X )
27		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> X = U. c )
28	26, 27	eleqtrd 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> y e. U. c )
29		eluni2 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. U. c <-> E. o e. c y e. o )
30	28, 29	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> E. o e. c y e. o )
31	17, 30	reximddv 2901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ ( x e. C /\ y e. x ) ) -> E. o e. c x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } )
32	31	expr 618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ x e. C ) -> ( y e. x -> E. o e. c x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) )
33	32	exlimdv 1768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ x e. C ) -> ( E. y y e. x -> E. o e. c x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) )
34		n0 3771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x =/= (/) <-> E. y y e. x )
35		eliun 4301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } <-> E. o e. c x e. { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } )
36	33, 34, 35	3imtr4g 273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) /\ x e. C ) -> ( x =/= (/) -> x e. U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) )
37	36	expimpd 606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) -> ( ( x e. C /\ x =/= (/) ) -> x e. U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) )
38	8, 37	syl5bi 220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) -> ( x e. ( C \ { (/) } ) -> x e. U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) )
39	38	ssrdv 3470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) -> ( C \ { (/) } ) C_ U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } )
40		iunfi 7864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. Fin /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) -> U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin )
41	40	ex 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. Fin -> ( A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin -> U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) )
42		ssfi 7794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin /\ ( C \ { (/) } ) C_ U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) -> ( C \ { (/) } ) e. Fin )
43	42	expcom 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C \ { (/) } ) C_ U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } -> ( U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
44	41, 43	sylan9 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. Fin /\ ( C \ { (/) } ) C_ U_ o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } ) -> ( A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
45	7, 39, 44	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) /\ X = U. c ) -> ( A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
46	45	expimpd 606	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ ( c C_ J /\ c e. Fin ) ) -> ( ( X = U. c /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
47	6, 46	sylan2b 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) /\ c e. ( ~P J i^i Fin ) ) -> ( ( X = U. c /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
48	47	rexlimdva 2917	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> ( E. c e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. c /\ A. o e. c { s e. C | ( s i^i o ) =/= (/) } e. Fin ) -> ( C \ { (/) } ) e. Fin ) )
49	5, 48	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> ( C \ { (/) } ) e. Fin )
50		snfi 7653	. . . . . 6 |- { (/) } e. Fin
51		unfi 7840	. . . . . 6 |- ( ( ( C \ { (/) } ) e. Fin /\ { (/) } e. Fin ) -> ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } ) e. Fin )
52	49, 50, 51	sylancl 666	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } ) e. Fin )
53		ssun1 3629	. . . . . 6 |- C C_ ( C u. { (/) } )
54		undif1 3870	. . . . . 6 |- ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } ) = ( C u. { (/) } )
55	53, 54	sseqtr4i 3497	. . . . 5 |- C C_ ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } )
56		ssfi 7794	. . . . 5 |- ( ( ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } ) e. Fin /\ C C_ ( ( C \ { (/) } ) u. { (/) } ) ) -> C e. Fin )
57	52, 55, 56	sylancl 666	. . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> C e. Fin )
58	57, 24	jca 534	. . 3 |- ( ( J e. Comp /\ C e. ( LocFin ` J ) ) -> ( C e. Fin /\ X = Y ) )
59	58	ex 435	. 2 |- ( J e. Comp -> ( C e. ( LocFin ` J ) -> ( C e. Fin /\ X = Y ) ) )
60		cmptop 20396	. . 3 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
61	1, 19	finlocfin 20521	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ C e. Fin /\ X = Y ) -> C e. ( LocFin ` J ) )
62	61	3expib 1208	. . 3 |- ( J e. Top -> ( ( C e. Fin /\ X = Y ) -> C e. ( LocFin ` J ) ) )
63	60, 62	syl 17	. 2 |- ( J e. Comp -> ( ( C e. Fin /\ X = Y ) -> C e. ( LocFin ` J ) ) )
64	59, 63	impbid 193	1 |- ( J e. Comp -> ( C e. ( LocFin ` J ) <-> ( C e. Fin /\ X = Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1868   =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779   \ cdif 3433   u. cun 3434   i^i cin 3435   C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   {csn 3996   U.cuni 4216   U_ciun 4296   ` cfv 5597   Fincfn 7573   Topctop 19903   Compccmp 20387   LocFinclocfin 20505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-fin 7577  df-top 19907  df-cmp 20388  df-locfin 20508

This theorem is referenced by: (None)