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Theorem locfincmp 19895
Description: For a compact space, the locally finite covers are precisely the finite covers. Sadly, this property does not properly characterize all compact spaces. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
locfincmp.1  |-  X  = 
U. J
locfincmp.2  |-  Y  = 
U. C
Assertion
Ref Expression
locfincmp  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( C  e.  ( LocFin `  J
)  <->  ( C  e. 
Fin  /\  X  =  Y ) ) )

Proof of Theorem locfincmp
Dummy variables  o 
c  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 locfincmp.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
21locfinnei 19892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( LocFin `  J )  /\  x  e.  X )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
32ralrimiva 2881 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( LocFin `  J
)  ->  A. x  e.  X  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
41cmpcov2 19758 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. o  e.  J  (
x  e.  o  /\  { s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  E. c  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. c  /\  A. o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
53, 4sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  E. c  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. c  /\  A. o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
6 elfpw 7834 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  <->  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )
7 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  C  e.  (
LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  /\  X  =  U. c )  -> 
c  e.  Fin )
8 eldifsn 4158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( C  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  C  /\  x  =/=  (/) ) )
9 elunii 4256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  C )  ->  y  e.  U. C
)
10 locfincmp.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  Y  = 
U. C
119, 10syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  C )  ->  y  e.  Y )
1211ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  Y )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  -> 
y  e.  Y )
141, 10locfinbas 19891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( C  e.  ( LocFin `  J
)  ->  X  =  Y )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  X  =  Y )
1615ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  ->  X  =  Y )
1713, 16eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  -> 
y  e.  X )
18 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  ->  X  =  U. c
)
1917, 18eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  -> 
y  e.  U. c
)
20 eluni2 4255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  U. c  <->  E. o  e.  c  y  e.  o )
2119, 20sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  ->  E. o  e.  c 
y  e.  o )
22 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  /\  ( o  e.  c  /\  y  e.  o ) )  ->  x  e.  C )
23 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  /\  ( o  e.  c  /\  y  e.  o ) )  ->  y  e.  x )
24 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  /\  ( o  e.  c  /\  y  e.  o ) )  ->  y  e.  o )
25 inelcm 3886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  x  /\  y  e.  o )  ->  ( x  i^i  o
)  =/=  (/) )
2623, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  /\  ( o  e.  c  /\  y  e.  o ) )  ->  (
x  i^i  o )  =/=  (/) )
27 ineq1 3698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  =  x  ->  (
s  i^i  o )  =  ( x  i^i  o ) )
2827neeq1d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  =  x  ->  (
( s  i^i  o
)  =/=  (/)  <->  ( x  i^i  o )  =/=  (/) ) )
2928elrab 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  <->  ( x  e.  C  /\  ( x  i^i  o )  =/=  (/) ) )
3022, 26, 29sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  /\  ( o  e.  c  /\  y  e.  o ) )  ->  x  e.  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } )
3130expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  /\  o  e.  c )  ->  ( y  e.  o  ->  x  e.  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) } ) )
3231reximdva 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  -> 
( E. o  e.  c  y  e.  o  ->  E. o  e.  c  x  e.  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } ) )
3321, 32mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  ->  E. o  e.  c  x  e.  { s  e.  C  |  (
s  i^i  o )  =/=  (/) } )
3433expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  x  e.  C )  ->  (
y  e.  x  ->  E. o  e.  c  x  e.  { s  e.  C  |  (
s  i^i  o )  =/=  (/) } ) )
3534exlimdv 1700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  x  e.  C )  ->  ( E. y  y  e.  x  ->  E. o  e.  c  x  e.  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } ) )
36 n0 3799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  x )
37 eliun 4336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  <->  E. o  e.  c  x  e.  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } )
3835, 36, 373imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  x  e.  C )  ->  (
x  =/=  (/)  ->  x  e.  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } ) )
3938expimpd 603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  C  e.  (
LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  /\  X  =  U. c )  -> 
( ( x  e.  C  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  e. 
U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } ) )
408, 39syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  C  e.  (
LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  /\  X  =  U. c )  -> 
( x  e.  ( C  \  { (/) } )  ->  x  e.  U_ o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) } ) )
4140ssrdv 3515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  C  e.  (
LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  /\  X  =  U. c )  -> 
( C  \  { (/)
} )  C_  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  (
s  i^i  o )  =/=  (/) } )
42 iunfi 7820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  Fin  /\  A. o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  (
s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin )
4342ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  Fin  ->  ( A. o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin  ->  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
44 ssfi 7752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin  /\  ( C  \  { (/) } )  C_  U_ o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) } )  ->  ( C  \  { (/) } )  e. 
Fin )
4544expcom 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  \  { (/) } )  C_  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  ->  ( U_ o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin  ->  ( C  \  { (/) } )  e. 
Fin ) )
4643, 45sylan9 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  Fin  /\  ( C  \  { (/) } )  C_  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } )  ->  ( A. o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin  ->  ( C  \  { (/) } )  e. 
Fin ) )
477, 41, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  C  e.  (
LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  /\  X  =  U. c )  -> 
( A. o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin  ->  ( C  \  { (/) } )  e.  Fin )
)
4847expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  ->  (
( X  =  U. c  /\  A. o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  ( C  \  { (/)
} )  e.  Fin ) )
496, 48sylan2b 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J ) )  /\  c  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )  ->  ( ( X  =  U. c  /\  A. o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  ( C 
\  { (/) } )  e.  Fin ) )
5049rexlimdva 2959 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  ( E. c  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  =  U. c  /\  A. o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  ( C 
\  { (/) } )  e.  Fin ) )
515, 50mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  ( C  \  { (/) } )  e. 
Fin )
52 snfi 7608 . . . . . 6  |-  { (/) }  e.  Fin
53 unfi 7799 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  \  { (/)
} )  e.  Fin  /\ 
{ (/) }  e.  Fin )  ->  ( ( C 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  Fin )
5451, 52, 53sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  ( ( C  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  Fin )
55 ssun1 3672 . . . . . 6  |-  C  C_  ( C  u.  { (/) } )
56 undif1 3908 . . . . . 6  |-  ( ( C  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  =  ( C  u.  { (/) } )
5755, 56sseqtr4i 3542 . . . . 5  |-  C  C_  ( ( C  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )
58 ssfi 7752 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )  e. 
Fin  /\  C  C_  (
( C  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} ) )  ->  C  e.  Fin )
5954, 57, 58sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  C  e.  Fin )
6059, 15jca 532 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  ( C  e.  Fin  /\  X  =  Y ) )
6160ex 434 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( C  e.  ( LocFin `  J
)  ->  ( C  e.  Fin  /\  X  =  Y ) ) )
62 cmptop 19763 . . 3  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
631, 10finlocfin 19889 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  C  e.  Fin  /\  X  =  Y )  ->  C  e.  ( LocFin `  J )
)
64633expib 1199 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( C  e.  Fin  /\  X  =  Y )  ->  C  e.  (
LocFin `  J ) ) )
6562, 64syl 16 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( ( C  e.  Fin  /\  X  =  Y )  ->  C  e.  ( LocFin `  J ) ) )
6661, 65impbid 191 1  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( C  e.  ( LocFin `  J
)  <->  ( C  e. 
Fin  /\  X  =  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821    \ cdif 3478    u. cun 3479    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   {csn 4033   U.cuni 4251   U_ciun 4331   ` cfv 5594   Fincfn 7528   Topctop 19263   Compccmp 19754   LocFinclocfin 19873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-fin 7532  df-top 19268  df-cmp 19755  df-locfin 19876
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