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Theorem locfincmp 20527
Description: For a compact space, the locally finite covers are precisely the finite covers. Sadly, this property does not properly characterize all compact spaces. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
locfincmp.1  |-  X  = 
U. J
locfincmp.2  |-  Y  = 
U. C
Assertion
Ref Expression
locfincmp  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( C  e.  ( LocFin `  J
)  <->  ( C  e. 
Fin  /\  X  =  Y ) ) )

Proof of Theorem locfincmp
Dummy variables  o 
c  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 locfincmp.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
21locfinnei 20524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( LocFin `  J )  /\  x  e.  X )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
32ralrimiva 2839 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( LocFin `  J
)  ->  A. x  e.  X  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
41cmpcov2 20391 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. o  e.  J  (
x  e.  o  /\  { s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  E. c  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. c  /\  A. o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
53, 4sylan2 476 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  E. c  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. c  /\  A. o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
6 elfpw 7878 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  <->  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )
7 simplrr 769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  C  e.  (
LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  /\  X  =  U. c )  -> 
c  e.  Fin )
8 eldifsn 4122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( C  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  C  /\  x  =/=  (/) ) )
9 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  /\  ( o  e.  c  /\  y  e.  o ) )  ->  x  e.  C )
10 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  /\  ( o  e.  c  /\  y  e.  o ) )  ->  y  e.  x )
11 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  /\  ( o  e.  c  /\  y  e.  o ) )  ->  y  e.  o )
12 inelcm 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  x  /\  y  e.  o )  ->  ( x  i^i  o
)  =/=  (/) )
1310, 11, 12syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  /\  ( o  e.  c  /\  y  e.  o ) )  ->  (
x  i^i  o )  =/=  (/) )
14 ineq1 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  x  ->  (
s  i^i  o )  =  ( x  i^i  o ) )
1514neeq1d 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  x  ->  (
( s  i^i  o
)  =/=  (/)  <->  ( x  i^i  o )  =/=  (/) ) )
1615elrab 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  <->  ( x  e.  C  /\  ( x  i^i  o )  =/=  (/) ) )
179, 13, 16sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  /\  ( o  e.  c  /\  y  e.  o ) )  ->  x  e.  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } )
18 elunii 4221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  C )  ->  y  e.  U. C
)
19 locfincmp.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  Y  = 
U. C
2018, 19syl6eleqr 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  C )  ->  y  e.  Y )
2120ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  Y )
2221adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  -> 
y  e.  Y )
231, 19locfinbas 20523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( C  e.  ( LocFin `  J
)  ->  X  =  Y )
2423adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  X  =  Y )
2524ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  ->  X  =  Y )
2622, 25eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  -> 
y  e.  X )
27 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  ->  X  =  U. c
)
2826, 27eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  -> 
y  e.  U. c
)
29 eluni2 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  U. c  <->  E. o  e.  c  y  e.  o )
3028, 29sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  ->  E. o  e.  c 
y  e.  o )
3117, 30reximddv 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  x ) )  ->  E. o  e.  c  x  e.  { s  e.  C  |  (
s  i^i  o )  =/=  (/) } )
3231expr 618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  x  e.  C )  ->  (
y  e.  x  ->  E. o  e.  c  x  e.  { s  e.  C  |  (
s  i^i  o )  =/=  (/) } ) )
3332exlimdv 1768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  x  e.  C )  ->  ( E. y  y  e.  x  ->  E. o  e.  c  x  e.  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } ) )
34 n0 3771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  x )
35 eliun 4301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  <->  E. o  e.  c  x  e.  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } )
3633, 34, 353imtr4g 273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  /\  ( c  C_  J  /\  c  e. 
Fin ) )  /\  X  =  U. c
)  /\  x  e.  C )  ->  (
x  =/=  (/)  ->  x  e.  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } ) )
3736expimpd 606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  C  e.  (
LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  /\  X  =  U. c )  -> 
( ( x  e.  C  /\  x  =/=  (/) )  ->  x  e. 
U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } ) )
388, 37syl5bi 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  C  e.  (
LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  /\  X  =  U. c )  -> 
( x  e.  ( C  \  { (/) } )  ->  x  e.  U_ o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) } ) )
3938ssrdv 3470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  C  e.  (
LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  /\  X  =  U. c )  -> 
( C  \  { (/)
} )  C_  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  (
s  i^i  o )  =/=  (/) } )
40 iunfi 7864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  Fin  /\  A. o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  (
s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin )
4140ex 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  Fin  ->  ( A. o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin  ->  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
42 ssfi 7794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin  /\  ( C  \  { (/) } )  C_  U_ o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) } )  ->  ( C  \  { (/) } )  e. 
Fin )
4342expcom 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  \  { (/) } )  C_  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  ->  ( U_ o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin  ->  ( C  \  { (/) } )  e. 
Fin ) )
4441, 43sylan9 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  Fin  /\  ( C  \  { (/) } )  C_  U_ o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) } )  ->  ( A. o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin  ->  ( C  \  { (/) } )  e. 
Fin ) )
457, 39, 44syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  C  e.  (
LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  /\  X  =  U. c )  -> 
( A. o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin  ->  ( C  \  { (/) } )  e.  Fin )
)
4645expimpd 606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J ) )  /\  ( c  C_  J  /\  c  e.  Fin ) )  ->  (
( X  =  U. c  /\  A. o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  ( C  \  { (/)
} )  e.  Fin ) )
476, 46sylan2b 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J ) )  /\  c  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )  ->  ( ( X  =  U. c  /\  A. o  e.  c  {
s  e.  C  | 
( s  i^i  o
)  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  ( C 
\  { (/) } )  e.  Fin ) )
4847rexlimdva 2917 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  ( E. c  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  =  U. c  /\  A. o  e.  c  { s  e.  C  |  ( s  i^i  o )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  ( C 
\  { (/) } )  e.  Fin ) )
495, 48mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  ( C  \  { (/) } )  e. 
Fin )
50 snfi 7653 . . . . . 6  |-  { (/) }  e.  Fin
51 unfi 7840 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  \  { (/)
} )  e.  Fin  /\ 
{ (/) }  e.  Fin )  ->  ( ( C 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  Fin )
5249, 50, 51sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  ( ( C  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  Fin )
53 ssun1 3629 . . . . . 6  |-  C  C_  ( C  u.  { (/) } )
54 undif1 3870 . . . . . 6  |-  ( ( C  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  =  ( C  u.  { (/) } )
5553, 54sseqtr4i 3497 . . . . 5  |-  C  C_  ( ( C  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )
56 ssfi 7794 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )  e. 
Fin  /\  C  C_  (
( C  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} ) )  ->  C  e.  Fin )
5752, 55, 56sylancl 666 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  C  e.  Fin )
5857, 24jca 534 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  C  e.  ( LocFin `  J )
)  ->  ( C  e.  Fin  /\  X  =  Y ) )
5958ex 435 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( C  e.  ( LocFin `  J
)  ->  ( C  e.  Fin  /\  X  =  Y ) ) )
60 cmptop 20396 . . 3  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
611, 19finlocfin 20521 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  C  e.  Fin  /\  X  =  Y )  ->  C  e.  ( LocFin `  J )
)
62613expib 1208 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( C  e.  Fin  /\  X  =  Y )  ->  C  e.  (
LocFin `  J ) ) )
6360, 62syl 17 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( ( C  e.  Fin  /\  X  =  Y )  ->  C  e.  ( LocFin `  J ) ) )
6459, 63impbid 193 1  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( C  e.  ( LocFin `  J
)  <->  ( C  e. 
Fin  /\  X  =  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   {csn 3996   U.cuni 4216   U_ciun 4296   ` cfv 5597   Fincfn 7573   Topctop 19903   Compccmp 20387   LocFinclocfin 20505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-fin 7577  df-top 19907  df-cmp 20388  df-locfin 20508
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