Theorem locfinbas 20315

Description: A locally finite cover must cover the base set of its corresponding topological space. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
locfinbas.1	|- X = U. J
locfinbas.2	|- Y = U. A

Assertion

Ref	Expression
locfinbas	|- ( A e. ( LocFin ` J ) -> X = Y )

Proof of Theorem locfinbas

Dummy variables n s x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		locfinbas.1	. . 3 |- X = U. J
2		locfinbas.2	. . 3 |- Y = U. A
3	1, 2	islocfin 20310	. 2 |- ( A e. ( LocFin ` J ) <-> ( J e. Top /\ X = Y /\ A. s e. X E. n e. J ( s e. n /\ { x e. A | ( x i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) ) )
4	3	simp2bi 1013	1 |- ( A e. ( LocFin ` J ) -> X = Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   {crab 2758   i^i cin 3413   (/)c0 3738   U.cuni 4191   ` cfv 5569   Fincfn 7554   Topctop 19686   LocFinclocfin 20297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-top 19691  df-locfin 20300

This theorem is referenced by:  lfinpfin  20317  lfinun  20318  locfincmp  20319  locfindis  20323  locfincf  20324