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Theorem lo1resb 13469
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually upper bounded iff the original is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1resb.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
lo1resb.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
lo1resb.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
lo1resb  |-  ( ph  ->  ( F  e.  <_O(1)  <->  ( F  |`  ( B [,) +oo ) )  e.  <_O(1) ) )

Proof of Theorem lo1resb
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1res 13464 . 2  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( F  |`  ( B [,) +oo ) )  e.  <_O(1) )
2 lo1resb.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
32feqmptd 5901 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
43reseq1d 5261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,) +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( B [,) +oo ) ) )
5 resmpt3 5312 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( B [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) )
64, 5syl6eq 2511 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) ) )
76eleq1d 2523 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,) +oo )
)  e.  <_O(1)  <->  (
x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  e.  <_O(1) ) )
8 inss1 3704 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  C_  A
9 lo1resb.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
108, 9syl5ss 3500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
C_  RR )
118sseli 3485 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo )
)  ->  x  e.  A )
12 ffvelrn 6005 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )
132, 11, 12syl2an 475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
1410, 13ello1mpt 13426 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  <_O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( F `  x
)  <_  z )
) )
15 elin 3673 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,) +oo ) ) )
1615imbi1i 323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,) +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z ) ) )
17 impexp 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,) +oo ) )  ->  ( y  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z
) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z
) ) ) )
1816, 17bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z ) )  <-> 
( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( F `  x
)  <_  z )
) ) )
19 impexp 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( B [,) +oo )  /\  y  <_  x )  ->  ( F `  x )  <_  z
)  <->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z
) ) )
20 lo1resb.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2120ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
229adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
2322sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
24 elicopnf 11623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x ) ) )
2524baibd 907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  <->  B  <_  x ) )
2621, 23, 25syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  ( B [,) +oo )  <->  B  <_  x ) )
2726anbi1d 702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,) +oo )  /\  y  <_  x )  <-> 
( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
28 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
29 maxle 11394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  <->  ( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
3021, 28, 23, 29syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  <->  ( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
3127, 30bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,) +oo )  /\  y  <_  x )  <-> 
if ( B  <_ 
y ,  y ,  B )  <_  x
) )
3231imbi1d 315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  ( B [,) +oo )  /\  y  <_  x
)  ->  ( F `  x )  <_  z
)  <->  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z ) ) )
3319, 32syl5bbr 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( F `  x
)  <_  z )
)  <->  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z ) ) )
3433pm5.74da 685 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z
) ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z ) ) ) )
3518, 34syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  ->  ( y  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z
) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z ) ) ) )
3635ralbidv2 2889 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( F `  x
)  <_  z )  <->  A. x  e.  A  ( if ( B  <_ 
y ,  y ,  B )  <_  x  ->  ( F `  x
)  <_  z )
) )
372adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  F : A --> RR )
38 simprl 754 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
y  e.  RR )
3920adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR )
4038, 39ifcld 3972 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  e.  RR )
41 simprr 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
z  e.  RR )
42 ello12r 13422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z ) )  ->  F  e.  <_O(1) )
43423expia 1196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z )  ->  F  e.  <_O(1) ) )
4437, 22, 40, 41, 43syl22anc 1227 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z )  ->  F  e.  <_O(1) ) )
4536, 44sylbid 215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( F `  x
)  <_  z )  ->  F  e.  <_O(1) ) )
4645rexlimdvva 2953 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( F `  x
)  <_  z )  ->  F  e.  <_O(1) ) )
4714, 46sylbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  <_O(1)  ->  F  e.  <_O(1) ) )
487, 47sylbid 215 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,) +oo )
)  e.  <_O(1)  ->  F  e.  <_O(1) ) )
491, 48impbid2 204 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  <_O(1)  <->  ( F  |`  ( B [,) +oo ) )  e.  <_O(1) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ifcif 3929   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    |` cres 4990   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   +oocpnf 9614    <_ cle 9618   [,)cico 11534   <_O(1)clo1 13392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-ico 11538  df-lo1 13396
This theorem is referenced by:  lo1eq  13473
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