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Theorem lo1resb 13366
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually upper bounded iff the original is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1resb.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
lo1resb.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
lo1resb.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
lo1resb  |-  ( ph  ->  ( F  e.  <_O(1)  <->  ( F  |`  ( B [,) +oo ) )  e.  <_O(1) ) )

Proof of Theorem lo1resb
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1res 13361 . 2  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( F  |`  ( B [,) +oo ) )  e.  <_O(1) )
2 lo1resb.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
32feqmptd 5911 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
43reseq1d 5262 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,) +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( B [,) +oo ) ) )
5 resmpt3 5314 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( B [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) )
64, 5syl6eq 2500 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) ) )
76eleq1d 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,) +oo )
)  e.  <_O(1)  <->  (
x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  e.  <_O(1) ) )
8 inss1 3703 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  C_  A
9 lo1resb.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
108, 9syl5ss 3500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
C_  RR )
118sseli 3485 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo )
)  ->  x  e.  A )
12 ffvelrn 6014 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )
132, 11, 12syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
1410, 13ello1mpt 13323 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  <_O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( F `  x
)  <_  z )
) )
15 elin 3672 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,) +oo ) ) )
1615imbi1i 325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,) +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z ) ) )
17 impexp 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,) +oo ) )  ->  ( y  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z
) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z
) ) ) )
1816, 17bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z ) )  <-> 
( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( F `  x
)  <_  z )
) ) )
19 impexp 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( B [,) +oo )  /\  y  <_  x )  ->  ( F `  x )  <_  z
)  <->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z
) ) )
20 lo1resb.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
229adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
2322sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
24 elicopnf 11629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x ) ) )
2524baibd 909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  <->  B  <_  x ) )
2621, 23, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  ( B [,) +oo )  <->  B  <_  x ) )
2726anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,) +oo )  /\  y  <_  x )  <-> 
( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
28 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
29 maxle 11400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  <->  ( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
3021, 28, 23, 29syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  <->  ( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
3127, 30bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,) +oo )  /\  y  <_  x )  <-> 
if ( B  <_ 
y ,  y ,  B )  <_  x
) )
3231imbi1d 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  ( B [,) +oo )  /\  y  <_  x
)  ->  ( F `  x )  <_  z
)  <->  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z ) ) )
3319, 32syl5bbr 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( F `  x
)  <_  z )
)  <->  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z ) ) )
3433pm5.74da 687 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z
) ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z ) ) ) )
3518, 34syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  ->  ( y  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z
) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z ) ) ) )
3635ralbidv2 2878 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( F `  x
)  <_  z )  <->  A. x  e.  A  ( if ( B  <_ 
y ,  y ,  B )  <_  x  ->  ( F `  x
)  <_  z )
) )
372adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  F : A --> RR )
38 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
y  e.  RR )
3920adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR )
4038, 39ifcld 3969 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  e.  RR )
41 simprr 757 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
z  e.  RR )
42 ello12r 13319 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z ) )  ->  F  e.  <_O(1) )
43423expia 1199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z )  ->  F  e.  <_O(1) ) )
4437, 22, 40, 41, 43syl22anc 1230 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( F `  x )  <_  z )  ->  F  e.  <_O(1) ) )
4536, 44sylbid 215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( F `  x
)  <_  z )  ->  F  e.  <_O(1) ) )
4645rexlimdvva 2942 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( F `  x
)  <_  z )  ->  F  e.  <_O(1) ) )
4714, 46sylbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  <_O(1)  ->  F  e.  <_O(1) ) )
487, 47sylbid 215 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,) +oo )
)  e.  <_O(1)  ->  F  e.  <_O(1) ) )
491, 48impbid2 204 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  <_O(1)  <->  ( F  |`  ( B [,) +oo ) )  e.  <_O(1) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ifcif 3926   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    |` cres 4991   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   +oocpnf 9628    <_ cle 9632   [,)cico 11540   <_O(1)clo1 13289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-ico 11544  df-lo1 13293
This theorem is referenced by:  lo1eq  13370
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