MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1res2 Structured version   Unicode version

Theorem lo1res2 13334
Description: The restriction of a function is eventually bounded if the original is. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimres2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
lo1res2.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  <_O(1) )
Assertion
Ref Expression
lo1res2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_O(1) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)

Proof of Theorem lo1res2
StepHypRef Expression
1 rlimres2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
2 resmpt 5314 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
4 lo1res2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  <_O(1) )
5 lo1res 13331 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  <_O(1)  -> 
( ( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  e.  <_O(1) )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  e.  <_O(1) )
73, 6eqeltrrd 2549 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3469    |-> cmpt 4498    |` cres 4994   <_O(1)clo1 13259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-ico 11524  df-lo1 13263
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator