MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1res2 Structured version   Unicode version

Theorem lo1res2 13532
Description: The restriction of a function is eventually bounded if the original is. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimres2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
lo1res2.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  <_O(1) )
Assertion
Ref Expression
lo1res2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_O(1) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)

Proof of Theorem lo1res2
StepHypRef Expression
1 rlimres2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
21resmptd 5144 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
3 lo1res2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  <_O(1) )
4 lo1res 13529 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  <_O(1)  -> 
( ( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  e.  <_O(1) )
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  e.  <_O(1) )
62, 5eqeltrrd 2491 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1842    C_ wss 3413    |-> cmpt 4452    |` cres 4824   <_O(1)clo1 13457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-ico 11587  df-lo1 13461
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator