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Theorem lo1res 13361
Description: The restriction of an eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
lo1res  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( F  |`  A )  e.  <_O(1) )

Proof of Theorem lo1res
Dummy variables  x  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1f 13320 . . . 4  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  F : dom  F --> RR )
2 lo1bdd 13322 . . . 4  |-  ( ( F  e.  <_O(1)  /\  F : dom  F --> RR )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e. 
dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) )
31, 2mpdan 668 . . 3  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e. 
dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) )
4 inss1 3723 . . . . . . 7  |-  ( dom 
F  i^i  A )  C_ 
dom  F
5 ssralv 3569 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  F  i^i  A
)  C_  dom  F  -> 
( A. y  e. 
dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_  y  ->  ( F `  y
)  <_  m )
)
7 inss2 3724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
F  i^i  A )  C_  A
87sseli 3505 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  A )  ->  y  e.  A )
9 fvres 5886 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  A )  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
1110breq1d 4463 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  A )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  m  <->  ( F `  y )  <_  m
) )
1211imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  A )  ->  (
( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  m )  <->  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) ) )
1312ralbiia 2897 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `
 y )  <_  m )  <->  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( F `  y )  <_  m
) )
146, 13sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  m )
)
1514reximi 2935 . . . 4  |-  ( E. m  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom 
F  i^i  A )
( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  m )
)
1615reximi 2935 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y )  <_  m
) )
173, 16syl 16 . 2  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y )  <_  m
) )
18 fssres 5757 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F --> RR  /\  ( dom  F  i^i  A )  C_  dom  F )  ->  ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) ) : ( dom  F  i^i  A
) --> RR )
191, 4, 18sylancl 662 . . . 4  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) ) : ( dom  F  i^i  A
) --> RR )
20 resres 5292 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  dom  F )  |`  A )  =  ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) )
21 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( F : dom  F --> RR  ->  F  Fn  dom  F )
22 fnresdm 5696 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( F  |`  dom  F
)  =  F )
231, 21, 223syl 20 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( F  |` 
dom  F )  =  F )
2423reseq1d 5278 . . . . . 6  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( ( F  |`  dom  F )  |`  A )  =  ( F  |`  A )
)
2520, 24syl5eqr 2522 . . . . 5  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) )  =  ( F  |`  A )
)
2625feq1d 5723 . . . 4  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) ) : ( dom  F  i^i  A ) --> RR  <->  ( F  |`  A ) : ( dom  F  i^i  A
) --> RR ) )
2719, 26mpbid 210 . . 3  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( F  |`  A ) : ( dom  F  i^i  A
) --> RR )
28 lo1dm 13321 . . . 4  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  dom  F  C_  RR )
294, 28syl5ss 3520 . . 3  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( dom  F  i^i  A )  C_  RR )
30 ello12 13318 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  A ) : ( dom  F  i^i  A ) --> RR  /\  ( dom  F  i^i  A
)  C_  RR )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  <_O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y )  <_  m
) ) )
3127, 29, 30syl2anc 661 . 2  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( ( F  |`  A )  e. 
<_O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `
 y )  <_  m ) ) )
3217, 31mpbird 232 1  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( F  |`  A )  e.  <_O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818    i^i cin 3480    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   dom cdm 5005    |` cres 5007    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594   RRcr 9503    <_ cle 9641   <_O(1)clo1 13289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-ico 11547  df-lo1 13293
This theorem is referenced by:  o1res  13362  lo1res2  13364  lo1resb  13366
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