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Theorem lo1res 13058
Description: The restriction of an eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
lo1res  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( F  |`  A )  e.  <_O(1) )

Proof of Theorem lo1res
Dummy variables  x  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1f 13017 . . . 4  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  F : dom  F --> RR )
2 lo1bdd 13019 . . . 4  |-  ( ( F  e.  <_O(1)  /\  F : dom  F --> RR )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e. 
dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) )
31, 2mpdan 668 . . 3  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e. 
dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) )
4 inss1 3591 . . . . . . 7  |-  ( dom 
F  i^i  A )  C_ 
dom  F
5 ssralv 3437 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  F  i^i  A
)  C_  dom  F  -> 
( A. y  e. 
dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_  y  ->  ( F `  y
)  <_  m )
)
7 inss2 3592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
F  i^i  A )  C_  A
87sseli 3373 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  A )  ->  y  e.  A )
9 fvres 5725 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  A )  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
1110breq1d 4323 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  A )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  m  <->  ( F `  y )  <_  m
) )
1211imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  A )  ->  (
( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  m )  <->  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) ) )
1312ralbiia 2768 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `
 y )  <_  m )  <->  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( F `  y )  <_  m
) )
146, 13sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  m )
)
1514reximi 2844 . . . 4  |-  ( E. m  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom 
F  i^i  A )
( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  m )
)
1615reximi 2844 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y )  <_  m
) )
173, 16syl 16 . 2  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y )  <_  m
) )
18 fssres 5599 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F --> RR  /\  ( dom  F  i^i  A )  C_  dom  F )  ->  ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) ) : ( dom  F  i^i  A
) --> RR )
191, 4, 18sylancl 662 . . . 4  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) ) : ( dom  F  i^i  A
) --> RR )
20 resres 5144 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  dom  F )  |`  A )  =  ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) )
21 ffn 5580 . . . . . . . 8  |-  ( F : dom  F --> RR  ->  F  Fn  dom  F )
22 fnresdm 5541 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( F  |`  dom  F
)  =  F )
231, 21, 223syl 20 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( F  |` 
dom  F )  =  F )
2423reseq1d 5130 . . . . . 6  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( ( F  |`  dom  F )  |`  A )  =  ( F  |`  A )
)
2520, 24syl5eqr 2489 . . . . 5  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) )  =  ( F  |`  A )
)
2625feq1d 5567 . . . 4  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) ) : ( dom  F  i^i  A ) --> RR  <->  ( F  |`  A ) : ( dom  F  i^i  A
) --> RR ) )
2719, 26mpbid 210 . . 3  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( F  |`  A ) : ( dom  F  i^i  A
) --> RR )
28 lo1dm 13018 . . . 4  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  dom  F  C_  RR )
294, 28syl5ss 3388 . . 3  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( dom  F  i^i  A )  C_  RR )
30 ello12 13015 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  A ) : ( dom  F  i^i  A ) --> RR  /\  ( dom  F  i^i  A
)  C_  RR )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  <_O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y )  <_  m
) ) )
3127, 29, 30syl2anc 661 . 2  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( ( F  |`  A )  e. 
<_O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `
 y )  <_  m ) ) )
3217, 31mpbird 232 1  |-  ( F  e.  <_O(1)  ->  ( F  |`  A )  e.  <_O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3348    C_ wss 3349   class class class wbr 4313   dom cdm 4861    |` cres 4863    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439   RRcr 9302    <_ cle 9440   <_O(1)clo1 12986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-ico 11327  df-lo1 12990
This theorem is referenced by:  o1res  13059  lo1res2  13061  lo1resb  13063
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