MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1o1 Structured version   Unicode version

Theorem lo1o1 13022
Description: A function is eventually bounded iff its absolute value is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lo1o1  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e.  O(1)  <->  ( abs  o.  F )  e.  <_O(1) ) )

Proof of Theorem lo1o1
Dummy variables  x  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1dm 13020 . . 3  |-  ( F  e.  O(1)  ->  dom  F  C_  RR )
2 fdm 5575 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
32sseq1d 3395 . . 3  |-  ( F : A --> CC  ->  ( dom  F  C_  RR  <->  A 
C_  RR ) )
41, 3syl5ib 219 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e.  O(1)  ->  A  C_  RR ) )
5 lo1dm 13009 . . 3  |-  ( ( abs  o.  F )  e.  <_O(1)  ->  dom  ( abs 
o.  F )  C_  RR )
6 absf 12837 . . . . . 6  |-  abs : CC
--> RR
7 fco 5580 . . . . . 6  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  F : A --> CC )  ->  ( abs  o.  F ) : A --> RR )
86, 7mpan 670 . . . . 5  |-  ( F : A --> CC  ->  ( abs  o.  F ) : A --> RR )
9 fdm 5575 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  F ) : A --> RR  ->  dom  ( abs  o.  F
)  =  A )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  dom  ( abs  o.  F
)  =  A )
1110sseq1d 3395 . . 3  |-  ( F : A --> CC  ->  ( dom  ( abs  o.  F )  C_  RR  <->  A 
C_  RR ) )
125, 11syl5ib 219 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( abs  o.  F
)  e.  <_O(1)  ->  A  C_  RR ) )
13 fvco3 5780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  y  e.  A )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y
)  =  ( abs `  ( F `  y
) ) )
1413adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
1514breq1d 4314 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
( abs  o.  F
) `  y )  <_  m  <->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
)
1615imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
x  <_  y  ->  ( ( abs  o.  F
) `  y )  <_  m )  <->  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
1716ralbidva 2743 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  <_  m
)  <->  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
) )
18172rexbidv 2770 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  <_  m
)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) ) )
19 ello12 13006 . . . . 5  |-  ( ( ( abs  o.  F
) : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( abs  o.  F )  e.  <_O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  <_  m
) ) )
208, 19sylan 471 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( abs  o.  F )  e.  <_O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  <_  m
) ) )
21 elo12 13017 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
2218, 20, 213bitr4rd 286 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O(1)  <->  ( abs  o.  F )  e. 
<_O(1) ) )
2322ex 434 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( A  C_  RR  ->  ( F  e.  O(1)  <->  ( abs  o.  F )  e.  <_O(1) ) ) )
244, 12, 23pm5.21ndd 354 1  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e.  O(1)  <->  ( abs  o.  F )  e.  <_O(1) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728    C_ wss 3340   class class class wbr 4304   dom cdm 4852    o. ccom 4856   -->wf 5426   ` cfv 5430   CCcc 9292   RRcr 9293    <_ cle 9431   abscabs 12735   O(1)co1 12976   <_O(1)clo1 12977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-pm 7229  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-ico 11318  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-o1 12980  df-lo1 12981
This theorem is referenced by:  lo1o12  13023  o1res  13050
  Copyright terms: Public domain W3C validator