Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1mul Structured version   Unicode version

Theorem lo1mul 13658
 Description: The product of an eventually upper bounded function and a positive eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1mul.5
Assertion
Ref Expression
lo1mul
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem lo1mul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
3 reeanv 2994 . . . 4
4 o1add2.1 . . . . . . . . . . 11
54ralrimiva 2837 . . . . . . . . . 10
6 dmmptg 5343 . . . . . . . . . 10
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9
8 lo1dm 13550 . . . . . . . . . 10
91, 8syl 17 . . . . . . . . 9
107, 9eqsstr3d 3496 . . . . . . . 8
1110adantr 466 . . . . . . 7
12 rexanre 13377 . . . . . . 7
1311, 12syl 17 . . . . . 6
14 simprl 762 . . . . . . . . 9
15 simprr 764 . . . . . . . . . 10
16 0re 9632 . . . . . . . . . 10
17 ifcl 3948 . . . . . . . . . 10
1815, 16, 17sylancl 666 . . . . . . . . 9
1914, 18remulcld 9660 . . . . . . . 8
20 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . 13
21 max2 11471 . . . . . . . . . . . . 13
2216, 20, 21sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12
23 o1add2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423, 2lo1mptrcl 13652 . . . . . . . . . . . . . 14
2524adantlr 719 . . . . . . . . . . . . 13
2620, 16, 17sylancl 666 . . . . . . . . . . . . 13
27 letr 9716 . . . . . . . . . . . . 13
2825, 20, 26, 27syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12
2922, 28mpan2d 678 . . . . . . . . . . 11
304, 1lo1mptrcl 13652 . . . . . . . . . . . . . 14
3130adantlr 719 . . . . . . . . . . . . 13
32 lo1mul.5 . . . . . . . . . . . . . 14
3332adantlr 719 . . . . . . . . . . . . 13
3431, 33jca 534 . . . . . . . . . . . 12
35 simplrl 768 . . . . . . . . . . . 12
36 max1 11469 . . . . . . . . . . . . . 14
3716, 20, 36sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13
3826, 37jca 534 . . . . . . . . . . . 12
39 lemul12b 10451 . . . . . . . . . . . 12
4034, 35, 25, 38, 39syl22anc 1265 . . . . . . . . . . 11
4129, 40sylan2d 484 . . . . . . . . . 10
4241imim2d 54 . . . . . . . . 9
4342ralimdva 2831 . . . . . . . 8
44 breq2 4421 . . . . . . . . . . 11
4544imbi2d 317 . . . . . . . . . 10
4645ralbidv 2862 . . . . . . . . 9
4746rspcev 3179 . . . . . . . 8
4819, 43, 47syl6an 547 . . . . . . 7
4948reximdv 2897 . . . . . 6
5013, 49sylbird 238 . . . . 5
5150rexlimdvva 2922 . . . 4
523, 51syl5bir 221 . . 3
5310, 30ello1mpt 13552 . . . . 5
54 rexcom 2988 . . . . 5
5553, 54syl6bb 264 . . . 4
5610, 24ello1mpt 13552 . . . . 5
57 rexcom 2988 . . . . 5
5856, 57syl6bb 264 . . . 4
5955, 58anbi12d 715 . . 3
6030, 24remulcld 9660 . . . 4
6110, 60ello1mpt 13552 . . 3
6252, 59, 613imtr4d 271 . 2
631, 2, 62mp2and 683 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1867  wral 2773  wrex 2774   wss 3433  cif 3906   class class class wbr 4417   cmpt 4475   cdm 4845  (class class class)co 6296  cr 9527  cc0 9528   cmul 9533   cle 9665  clo1 13518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7362  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-ico 11630  df-lo1 13522 This theorem is referenced by:  lo1mul2  13659  pntrlog2bndlem4  24307  pntrlog2bndlem5  24308
 Copyright terms: Public domain W3C validator