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Theorem lo1mul 13126
Description: The product of an eventually upper bounded function and a positive eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1add2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
lo1add.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
lo1add.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_O(1) )
lo1mul.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lo1mul  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  e.  <_O(1) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem lo1mul
Dummy variables  m  c  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1add.3 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
2 lo1add.4 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_O(1) )
3 reeanv 2909 . . . 4  |-  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) )  <-> 
( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) )
4 o1add2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
54ralrimiva 2820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
6 dmmptg 5356 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
8 lo1dm 13018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
91, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
107, 9eqsstr3d 3412 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
12 rexanre 12855 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n ) )  <-> 
( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) ) )
14 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  m  e.  RR )
15 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  n  e.  RR )
16 0re 9407 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
17 ifcl 3852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 )  e.  RR )
1815, 16, 17sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 )  e.  RR )
1914, 18remulcld 9435 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) )  e.  RR )
20 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  n  e.  RR )
21 max2 11180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  n  <_  if (
0  <_  n ,  n ,  0 ) )
2216, 20, 21sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  n  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )
23 o1add2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
2423, 2lo1mptrcl 13120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
2524adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
2620, 16, 17sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 )  e.  RR )
27 letr 9489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 )  e.  RR )  -> 
( ( C  <_  n  /\  n  <_  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) )  ->  C  <_  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) )
2825, 20, 26, 27syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( C  <_  n  /\  n  <_  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) )  ->  C  <_  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) )
2922, 28mpan2d 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <_  n  ->  C  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) )
304, 1lo1mptrcl 13120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3130adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32 lo1mul.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
3332adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
3431, 33jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
35 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  m  e.  RR )
36 max1 11178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  n ,  n ,  0 ) )
3716, 20, 36sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )
3826, 37jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  n ,  n ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) )
39 lemul12b 10207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  m  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( if ( 0  <_  n ,  n ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) ) )  ->  ( ( B  <_  m  /\  C  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )  -> 
( B  x.  C
)  <_  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) ) )
4034, 35, 25, 38, 39syl22anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  m  /\  C  <_  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) )  ->  ( B  x.  C )  <_  (
m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) ) )
4129, 40sylan2d 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  m  /\  C  <_  n )  ->  ( B  x.  C )  <_  (
m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) ) )
4241imim2d 52 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n ) )  ->  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  (
m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) ) ) )
4342ralimdva 2815 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  ->  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  (
m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) ) ) )
44 breq2 4317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )  -> 
( ( B  x.  C )  <_  p  <->  ( B  x.  C )  <_  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) ) )
4544imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )  -> 
( ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
)  <->  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  (
m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) ) ) )
4645ralbidv 2756 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
)  <->  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C
)  <_  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) ) ) )
4746rspcev 3094 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) )  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) ) )  ->  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) )
4819, 43, 47syl6an 545 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  ->  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) ) )
4948reximdv 2848 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) ) )
5013, 49sylbird 235 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) ) )
5150rexlimdvva 2869 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) ) )
523, 51syl5bir 218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) ) )
5310, 30ello1mpt 13020 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
54 rexcom 2903 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  m ) )
5553, 54syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
5610, 24ello1mpt 13020 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_O(1)  <->  E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) ) )
57 rexcom 2903 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n )  <->  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) )
5856, 57syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_O(1)  <->  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) ) )
5955, 58anbi12d 710 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1)  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_O(1) )  <->  ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) ) )
6030, 24remulcld 9435 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  RR )
6110, 60ello1mpt 13020 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  e. 
<_O(1)  <->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p ) ) )
6252, 59, 613imtr4d 268 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1)  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_O(1) )  ->  (
x  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  e.  <_O(1) ) )
631, 2, 62mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  e.  <_O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737    C_ wss 3349   ifcif 3812   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   dom cdm 4861  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303    x. cmul 9308    <_ cle 9440   <_O(1)clo1 12986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-ico 11327  df-lo1 12990
This theorem is referenced by:  lo1mul2  13127  pntrlog2bndlem4  22851  pntrlog2bndlem5  22852
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