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Theorem lo1le 12400
Description: Transfer eventual upper boundedness from a larger function to a smaller function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1le.1  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
lo1le.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
lo1le.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
lo1le.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
lo1le.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  ->  C  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lo1le  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem lo1le
Dummy variables  m  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1le.2 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
2 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
3 lo1le.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
43adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
5 ifcl 3735 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  e.  RR )
62, 4, 5syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( M  <_  y , 
y ,  M )  e.  RR )
73ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  M  e.  RR )
8 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  y  e.  RR )
9 lo1le.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
109ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
11 dmmptg 5326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
13 lo1dm 12268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O
( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
141, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
1512, 14eqsstr3d 3343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1615ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  A  C_  RR )
17 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
1816, 17sseldd 3309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  x  e.  RR )
19 maxle 10734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( M  <_  y ,  y ,  M
)  <_  x  <->  ( M  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
207, 8, 18, 19syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  <->  ( M  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
21 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  <_  x  /\  y  <_  x )  -> 
y  <_  x )
2220, 21syl6bi 220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  y  <_  x ) )
2322imim1d 71 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( (
y  <_  x  ->  B  <_  m )  -> 
( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
24 lo1le.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  ->  C  <_  B )
2524adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  ->  C  <_  B
)
2625adantrll 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  C  <_  B )
27 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ph )
28 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
)  ->  x  e.  A )
29 lo1le.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
3027, 28, 29syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  C  e.  RR )
319, 1lo1mptrcl 12370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3227, 28, 31syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  B  e.  RR )
33 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  m  e.  RR )
34 letr 9123 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  (
( C  <_  B  /\  B  <_  m )  ->  C  <_  m
) )
3530, 32, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  (
( C  <_  B  /\  B  <_  m )  ->  C  <_  m
) )
3626, 35mpand 657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  ( B  <_  m  ->  C  <_  m ) )
3736expr 599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( M  <_  x  ->  ( B  <_  m  ->  C  <_  m ) ) )
3837adantrd 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( ( M  <_  x  /\  y  <_  x )  ->  ( B  <_  m  ->  C  <_  m ) ) )
3920, 38sylbid 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  ( B  <_  m  ->  C  <_  m ) ) )
4039a2d 24 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( ( if ( M  <_  y ,  y ,  M
)  <_  x  ->  B  <_  m )  -> 
( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m
) ) )
4123, 40syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( (
y  <_  x  ->  B  <_  m )  -> 
( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m
) ) )
4241anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
y  <_  x  ->  B  <_  m )  -> 
( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m
) ) )
4342ralimdva 2744 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m )  ->  A. x  e.  A  ( if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m )
) )
4443reximdva 2778 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m )
) )
45 breq1 4175 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  if ( M  <_  y ,  y ,  M )  -> 
( z  <_  x  <->  if ( M  <_  y ,  y ,  M
)  <_  x )
)
4645imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( z  =  if ( M  <_  y ,  y ,  M )  -> 
( ( z  <_  x  ->  C  <_  m
)  <->  ( if ( M  <_  y , 
y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m ) ) )
4746rexralbidv 2710 . . . . . 6  |-  ( z  =  if ( M  <_  y ,  y ,  M )  -> 
( E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  C  <_  m
)  <->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m )
) )
4847rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  e.  RR  /\ 
E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m )
)  ->  E. z  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  C  <_  m
) )
496, 44, 48ee12an 1369 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m )  ->  E. z  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
z  <_  x  ->  C  <_  m ) ) )
5049rexlimdva 2790 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
)  ->  E. z  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  C  <_  m
) ) )
5115, 31ello1mpt 12270 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
5215, 29ello1mpt 12270 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. z  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
z  <_  x  ->  C  <_  m ) ) )
5350, 51, 523imtr4d 260 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_ O ( 1 ) ) )
541, 53mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   RRcr 8945    <_ cle 9077   <_ O ( 1 )clo1 12236
This theorem is referenced by:  o1le  12401  vmalogdivsum2  21185  pntrlog2bndlem1  21224  pntrlog2bndlem5  21228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-ico 10878  df-lo1 12240
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