MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1le Structured version   Unicode version

Theorem lo1le 13425
Description: Transfer eventual upper boundedness from a larger function to a smaller function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1le.1  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
lo1le.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
lo1le.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
lo1le.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
lo1le.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  ->  C  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lo1le  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_O(1) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem lo1le
Dummy variables  m  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1le.2 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
2 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
3 lo1le.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
5 ifcl 3976 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  e.  RR )
62, 4, 5syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( M  <_  y , 
y ,  M )  e.  RR )
73ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  M  e.  RR )
8 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  y  e.  RR )
9 lo1le.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
109ralrimiva 2873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
11 dmmptg 5497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
13 lo1dm 13293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
141, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
1512, 14eqsstr3d 3534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  A  C_  RR )
17 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
1816, 17sseldd 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  x  e.  RR )
19 maxle 11382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( M  <_  y ,  y ,  M
)  <_  x  <->  ( M  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
207, 8, 18, 19syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  <->  ( M  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
21 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  <_  x  /\  y  <_  x )  -> 
y  <_  x )
2220, 21syl6bi 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  y  <_  x ) )
2322imim1d 75 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( (
y  <_  x  ->  B  <_  m )  -> 
( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
24 lo1le.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  ->  C  <_  B )
2524adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  ->  C  <_  B
)
2625adantrll 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  C  <_  B )
27 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ph )
28 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
)  ->  x  e.  A )
29 lo1le.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
3027, 28, 29syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  C  e.  RR )
319, 1lo1mptrcl 13395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3227, 28, 31syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  B  e.  RR )
33 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  m  e.  RR )
34 letr 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  (
( C  <_  B  /\  B  <_  m )  ->  C  <_  m
) )
3530, 32, 33, 34syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  (
( C  <_  B  /\  B  <_  m )  ->  C  <_  m
) )
3626, 35mpand 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  ( B  <_  m  ->  C  <_  m ) )
3736expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( M  <_  x  ->  ( B  <_  m  ->  C  <_  m ) ) )
3837adantrd 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( ( M  <_  x  /\  y  <_  x )  ->  ( B  <_  m  ->  C  <_  m ) ) )
3920, 38sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  ( B  <_  m  ->  C  <_  m ) ) )
4039a2d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( ( if ( M  <_  y ,  y ,  M
)  <_  x  ->  B  <_  m )  -> 
( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m
) ) )
4123, 40syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( (
y  <_  x  ->  B  <_  m )  -> 
( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m
) ) )
4241anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
y  <_  x  ->  B  <_  m )  -> 
( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m
) ) )
4342ralimdva 2867 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m )  ->  A. x  e.  A  ( if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m )
) )
4443reximdva 2933 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m )
) )
45 breq1 4445 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  if ( M  <_  y ,  y ,  M )  -> 
( z  <_  x  <->  if ( M  <_  y ,  y ,  M
)  <_  x )
)
4645imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( z  =  if ( M  <_  y ,  y ,  M )  -> 
( ( z  <_  x  ->  C  <_  m
)  <->  ( if ( M  <_  y , 
y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m ) ) )
4746rexralbidv 2976 . . . . . 6  |-  ( z  =  if ( M  <_  y ,  y ,  M )  -> 
( E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  C  <_  m
)  <->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m )
) )
4847rspcev 3209 . . . . 5  |-  ( ( if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  e.  RR  /\ 
E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m )
)  ->  E. z  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  C  <_  m
) )
496, 44, 48syl6an 545 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m )  ->  E. z  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
z  <_  x  ->  C  <_  m ) ) )
5049rexlimdva 2950 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
)  ->  E. z  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  C  <_  m
) ) )
5115, 31ello1mpt 13295 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
5215, 29ello1mpt 13295 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_O(1)  <->  E. z  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
z  <_  x  ->  C  <_  m ) ) )
5350, 51, 523imtr4d 268 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_O(1) ) )
541, 53mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810    C_ wss 3471   ifcif 3934   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   dom cdm 4994   RRcr 9482    <_ cle 9620   <_O(1)clo1 13261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-ico 11526  df-lo1 13265
This theorem is referenced by:  o1le  13426  vmalogdivsum2  23446  pntrlog2bndlem1  23485  pntrlog2bndlem5  23489
  Copyright terms: Public domain W3C validator