MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1bddrp Structured version   Unicode version

Theorem lo1bddrp 13008
Description: Refine o1bdd2 13024 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1bdd2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
lo1bdd2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lo1bdd2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
lo1bdd2.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
lo1bdd2.5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
lo1bdd2.6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
Assertion
Ref Expression
lo1bddrp  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y   
x, C, y    ph, x, y    m, M, x
Allowed substitution hints:    ph( m)    B( x)    C( m)    M( y)

Proof of Theorem lo1bddrp
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1bdd2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 lo1bdd2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
3 lo1bdd2.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4 lo1bdd2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
5 lo1bdd2.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
6 lo1bdd2.6 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
71, 2, 3, 4, 5, 6lo1bdd2 13007 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  n )
8 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  n  e.  RR )
98recnd 9417 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  n  e.  CC )
109abscld 12927 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  ( abs `  n )  e.  RR )
119absge0d 12935 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  0  <_ 
( abs `  n
) )
1210, 11ge0p1rpd 11058 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( abs `  n )  +  1 )  e.  RR+ )
13 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  n  e.  RR )
1410adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  n )  e.  RR )
15 peano2re 9547 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  n )  e.  RR  ->  (
( abs `  n
)  +  1 )  e.  RR )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  n
)  +  1 )  e.  RR )
1713leabsd 12906 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  n  <_  ( abs `  n
) )
1814lep1d 10269 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  n )  <_ 
( ( abs `  n
)  +  1 ) )
1913, 14, 16, 17, 18letrd 9533 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  n  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) )
203adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
21 letr 9473 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
( abs `  n
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( B  <_  n  /\  n  <_  (
( abs `  n
)  +  1 ) )  ->  B  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) ) )
2220, 13, 16, 21syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  n  /\  n  <_  ( ( abs `  n )  +  1 ) )  ->  B  <_  (
( abs `  n
)  +  1 ) ) )
2319, 22mpan2d 674 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  n  ->  B  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) ) )
2423ralimdva 2799 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  n  ->  A. x  e.  A  B  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) ) )
25 breq2 4301 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( ( abs `  n )  +  1 )  ->  ( B  <_  m  <->  B  <_  ( ( abs `  n )  +  1 ) ) )
2625ralbidv 2740 . . . . 5  |-  ( m  =  ( ( abs `  n )  +  1 )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  m  <->  A. x  e.  A  B  <_  ( ( abs `  n )  +  1 ) ) )
2726rspcev 3078 . . . 4  |-  ( ( ( ( abs `  n
)  +  1 )  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  B  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) )  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m
)
2812, 24, 27syl6an 545 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  n  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m
) )
2928rexlimdva 2846 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  n  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m ) )
307, 29mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721    C_ wss 3333   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286   1c1 9288    + caddc 9290    < clt 9423    <_ cle 9424   RR+crp 10996   abscabs 12728   <_O(1)clo1 12970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-ico 11311  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-lo1 12974
This theorem is referenced by:  o1bddrp  13025  chpo1ubb  22735  pntrlog2bnd  22838
  Copyright terms: Public domain W3C validator