Theorem lo1bddrp 13404

Description: Refine o1bdd2 13420 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1bdd2.1	|- ( ph -> A C_ RR )
lo1bdd2.2	|- ( ph -> C e. RR )
lo1bdd2.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
lo1bdd2.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
lo1bdd2.5	|- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
lo1bdd2.6	|- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )

Assertion

Ref	Expression
lo1bddrp	|- ( ph -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m )

Distinct variable groups:   x, m, y, A   B, m, y   x, C, y   ph, x, y   m, M, x

Allowed substitution hints:   ph( m)   B( x)   C( m)   M( y)

Proof of Theorem lo1bddrp

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1bdd2.1	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
2		lo1bdd2.2	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
3		lo1bdd2.3	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
4		lo1bdd2.4	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
5		lo1bdd2.5	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
6		lo1bdd2.6	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lo1bdd2 13403	. 2 |- ( ph -> E. n e. RR A. x e. A B <_ n )
8		simpr 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> n e. RR )
9	8	recnd 9572	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> n e. CC )
10	9	abscld 13323	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( abs ` n ) e. RR )
11	9	absge0d 13331	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` n ) )
12	10, 11	ge0p1rpd 11248	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR+ )
13		simplr 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n e. RR )
14	10	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( abs ` n ) e. RR )
15		peano2re 9707	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` n ) e. RR -> ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR )
17	13	leabsd 13302	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n <_ ( abs ` n ) )
18	14	lep1d 10437	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( abs ` n ) <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) )
19	13, 14, 16, 17, 18	letrd 9693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) )
20	3	adantlr 713	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
21		letr 9629	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ n e. RR /\ ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
22	20, 13, 16, 21	syl3anc 1230	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
23	19, 22	mpan2d 672	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( B <_ n -> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
24	23	ralimdva 2811	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A B <_ n -> A. x e. A B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
25		breq2 4398	. . . . . 6 |- ( m = ( ( abs ` n ) + 1 ) -> ( B <_ m <-> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
26	25	ralbidv 2842	. . . . 5 |- ( m = ( ( abs ` n ) + 1 ) -> ( A. x e. A B <_ m <-> A. x e. A B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
27	26	rspcev 3159	. . . 4 |- ( ( ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR+ /\ A. x e. A B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m )
28	12, 24, 27	syl6an 543	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A B <_ n -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m ) )
29	28	rexlimdva 2895	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. RR A. x e. A B <_ n -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m ) )
30	7, 29	mpd 15	1 |- ( ph -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   C_ wss 3413   class class class wbr 4394   |-> cmpt 4452   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   RRcr 9441   1c1 9443   + caddc 9445   < clt 9578   <_ cle 9579   RR+crp 11183   abscabs 13123   <_O(1)clo1 13366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-pm 7380  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-ico 11506  df-seq 12062  df-exp 12121  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-lo1 13370

This theorem is referenced by:  o1bddrp  13421  chpo1ubb  23939  pntrlog2bnd  24042