Theorem lo1bddrp 13307

Description: Refine o1bdd2 13323 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1bdd2.1	|- ( ph -> A C_ RR )
lo1bdd2.2	|- ( ph -> C e. RR )
lo1bdd2.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
lo1bdd2.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
lo1bdd2.5	|- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
lo1bdd2.6	|- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )

Assertion

Ref	Expression
lo1bddrp	|- ( ph -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m )

Distinct variable groups:   x, m, y, A   B, m, y   x, C, y   ph, x, y   m, M, x

Allowed substitution hints:   ph( m)   B( x)   C( m)   M( y)

Proof of Theorem lo1bddrp

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1bdd2.1	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
2		lo1bdd2.2	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
3		lo1bdd2.3	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
4		lo1bdd2.4	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
5		lo1bdd2.5	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
6		lo1bdd2.6	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lo1bdd2 13306	. 2 |- ( ph -> E. n e. RR A. x e. A B <_ n )
8		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> n e. RR )
9	8	recnd 9618	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> n e. CC )
10	9	abscld 13226	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( abs ` n ) e. RR )
11	9	absge0d 13234	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` n ) )
12	10, 11	ge0p1rpd 11278	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR+ )
13		simplr 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n e. RR )
14	10	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( abs ` n ) e. RR )
15		peano2re 9748	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` n ) e. RR -> ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR )
17	13	leabsd 13205	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n <_ ( abs ` n ) )
18	14	lep1d 10473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( abs ` n ) <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) )
19	13, 14, 16, 17, 18	letrd 9734	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) )
20	3	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
21		letr 9674	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ n e. RR /\ ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
22	20, 13, 16, 21	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
23	19, 22	mpan2d 674	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( B <_ n -> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
24	23	ralimdva 2872	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A B <_ n -> A. x e. A B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
25		breq2 4451	. . . . . 6 |- ( m = ( ( abs ` n ) + 1 ) -> ( B <_ m <-> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
26	25	ralbidv 2903	. . . . 5 |- ( m = ( ( abs ` n ) + 1 ) -> ( A. x e. A B <_ m <-> A. x e. A B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
27	26	rspcev 3214	. . . 4 |- ( ( ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR+ /\ A. x e. A B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m )
28	12, 24, 27	syl6an 545	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A B <_ n -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m ) )
29	28	rexlimdva 2955	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. RR A. x e. A B <_ n -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m ) )
30	7, 29	mpd 15	1 |- ( ph -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   1c1 9489   + caddc 9491   < clt 9624   <_ cle 9625   RR+crp 11216   abscabs 13026   <_O(1)clo1 13269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-ico 11531  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-lo1 13273

This theorem is referenced by:  o1bddrp  13324  chpo1ubb  23394  pntrlog2bnd  23497