Theorem lo1bddrp 13008

Description: Refine o1bdd2 13024 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1bdd2.1	|- ( ph -> A C_ RR )
lo1bdd2.2	|- ( ph -> C e. RR )
lo1bdd2.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
lo1bdd2.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
lo1bdd2.5	|- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
lo1bdd2.6	|- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )

Assertion

Ref	Expression
lo1bddrp	|- ( ph -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m )

Distinct variable groups:   x, m, y, A   B, m, y   x, C, y   ph, x, y   m, M, x

Allowed substitution hints:   ph( m)   B( x)   C( m)   M( y)

Proof of Theorem lo1bddrp

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1bdd2.1	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
2		lo1bdd2.2	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
3		lo1bdd2.3	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
4		lo1bdd2.4	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
5		lo1bdd2.5	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
6		lo1bdd2.6	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lo1bdd2 13007	. 2 |- ( ph -> E. n e. RR A. x e. A B <_ n )
8		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> n e. RR )
9	8	recnd 9417	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> n e. CC )
10	9	abscld 12927	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( abs ` n ) e. RR )
11	9	absge0d 12935	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` n ) )
12	10, 11	ge0p1rpd 11058	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR+ )
13		simplr 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n e. RR )
14	10	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( abs ` n ) e. RR )
15		peano2re 9547	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` n ) e. RR -> ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR )
17	13	leabsd 12906	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n <_ ( abs ` n ) )
18	14	lep1d 10269	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( abs ` n ) <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) )
19	13, 14, 16, 17, 18	letrd 9533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) )
20	3	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
21		letr 9473	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ n e. RR /\ ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
22	20, 13, 16, 21	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
23	19, 22	mpan2d 674	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( B <_ n -> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
24	23	ralimdva 2799	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A B <_ n -> A. x e. A B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
25		breq2 4301	. . . . . 6 |- ( m = ( ( abs ` n ) + 1 ) -> ( B <_ m <-> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
26	25	ralbidv 2740	. . . . 5 |- ( m = ( ( abs ` n ) + 1 ) -> ( A. x e. A B <_ m <-> A. x e. A B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
27	26	rspcev 3078	. . . 4 |- ( ( ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR+ /\ A. x e. A B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m )
28	12, 24, 27	syl6an 545	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A B <_ n -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m ) )
29	28	rexlimdva 2846	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. RR A. x e. A B <_ n -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m ) )
30	7, 29	mpd 15	1 |- ( ph -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   C_ wss 3333   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286   1c1 9288   + caddc 9290   < clt 9423   <_ cle 9424   RR+crp 10996   abscabs 12728   <_O(1)clo1 12970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-ico 11311  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-lo1 12974

This theorem is referenced by:  o1bddrp  13025  chpo1ubb  22735  pntrlog2bnd  22838