MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1bddrp Unicode version

Theorem lo1bddrp 12274
Description: Refine o1bdd2 12290 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1bdd2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
lo1bdd2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lo1bdd2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
lo1bdd2.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
lo1bdd2.5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
lo1bdd2.6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
Assertion
Ref Expression
lo1bddrp  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y   
x, C, y    ph, x, y    m, M, x
Allowed substitution hints:    ph( m)    B( x)    C( m)    M( y)

Proof of Theorem lo1bddrp
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1bdd2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 lo1bdd2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
3 lo1bdd2.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4 lo1bdd2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
5 lo1bdd2.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
6 lo1bdd2.6 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
71, 2, 3, 4, 5, 6lo1bdd2 12273 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  n )
8 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  n  e.  RR )
98recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  n  e.  CC )
109abscld 12193 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  ( abs `  n )  e.  RR )
119absge0d 12201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  0  <_ 
( abs `  n
) )
1210, 11ge0p1rpd 10630 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( abs `  n )  +  1 )  e.  RR+ )
13 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  n  e.  RR )
1410adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  n )  e.  RR )
15 peano2re 9195 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  n )  e.  RR  ->  (
( abs `  n
)  +  1 )  e.  RR )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  n
)  +  1 )  e.  RR )
1713leabsd 12172 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  n  <_  ( abs `  n
) )
1814lep1d 9898 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  n )  <_ 
( ( abs `  n
)  +  1 ) )
1913, 14, 16, 17, 18letrd 9183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  n  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) )
203adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
21 letr 9123 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
( abs `  n
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( B  <_  n  /\  n  <_  (
( abs `  n
)  +  1 ) )  ->  B  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) ) )
2220, 13, 16, 21syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  n  /\  n  <_  ( ( abs `  n )  +  1 ) )  ->  B  <_  (
( abs `  n
)  +  1 ) ) )
2319, 22mpan2d 656 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  n  ->  B  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) ) )
2423ralimdva 2744 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  n  ->  A. x  e.  A  B  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) ) )
25 breq2 4176 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( ( abs `  n )  +  1 )  ->  ( B  <_  m  <->  B  <_  ( ( abs `  n )  +  1 ) ) )
2625ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( m  =  ( ( abs `  n )  +  1 )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  m  <->  A. x  e.  A  B  <_  ( ( abs `  n )  +  1 ) ) )
2726rspcev 3012 . . . 4  |-  ( ( ( ( abs `  n
)  +  1 )  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  B  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) )  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m
)
2812, 24, 27ee12an 1369 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  n  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m
) )
2928rexlimdva 2790 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  n  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m ) )
307, 29mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077   RR+crp 10568   abscabs 11994   <_ O ( 1 )clo1 12236
This theorem is referenced by:  o1bddrp  12291  chpo1ubb  21128  pntrlog2bnd  21231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-lo1 12240
  Copyright terms: Public domain W3C validator