MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1bddrp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lo1bddrp 13589
Description: Refine o1bdd2 13605 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1bdd2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
lo1bdd2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lo1bdd2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
lo1bdd2.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
lo1bdd2.5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
lo1bdd2.6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
Assertion
Ref Expression
lo1bddrp  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y   
x, C, y    ph, x, y    m, M, x
Allowed substitution hints:    ph( m)    B( x)    C( m)    M( y)

Proof of Theorem lo1bddrp
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1bdd2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 lo1bdd2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
3 lo1bdd2.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4 lo1bdd2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
5 lo1bdd2.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
6 lo1bdd2.6 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
71, 2, 3, 4, 5, 6lo1bdd2 13588 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  n )
8 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  n  e.  RR )
98recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  n  e.  CC )
109abscld 13498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  ( abs `  n )  e.  RR )
119absge0d 13506 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  0  <_ 
( abs `  n
) )
1210, 11ge0p1rpd 11368 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( abs `  n )  +  1 )  e.  RR+ )
13 simplr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  n  e.  RR )
1410adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  n )  e.  RR )
15 peano2re 9806 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  n )  e.  RR  ->  (
( abs `  n
)  +  1 )  e.  RR )
1614, 15syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  n
)  +  1 )  e.  RR )
1713leabsd 13476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  n  <_  ( abs `  n
) )
1814lep1d 10538 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  n )  <_ 
( ( abs `  n
)  +  1 ) )
1913, 14, 16, 17, 18letrd 9792 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  n  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) )
203adantlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
21 letr 9727 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
( abs `  n
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( B  <_  n  /\  n  <_  (
( abs `  n
)  +  1 ) )  ->  B  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) ) )
2220, 13, 16, 21syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  n  /\  n  <_  ( ( abs `  n )  +  1 ) )  ->  B  <_  (
( abs `  n
)  +  1 ) ) )
2319, 22mpan2d 680 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  n  ->  B  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) ) )
2423ralimdva 2796 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  n  ->  A. x  e.  A  B  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) ) )
25 breq2 4406 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( ( abs `  n )  +  1 )  ->  ( B  <_  m  <->  B  <_  ( ( abs `  n )  +  1 ) ) )
2625ralbidv 2827 . . . . 5  |-  ( m  =  ( ( abs `  n )  +  1 )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  m  <->  A. x  e.  A  B  <_  ( ( abs `  n )  +  1 ) ) )
2726rspcev 3150 . . . 4  |-  ( ( ( ( abs `  n
)  +  1 )  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  B  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) )  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m
)
2812, 24, 27syl6an 548 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  n  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m
) )
2928rexlimdva 2879 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  n  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m ) )
307, 29mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738    C_ wss 3404   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676   RR+crp 11302   abscabs 13297   <_O(1)clo1 13551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-lo1 13555
This theorem is referenced by:  o1bddrp  13606  chpo1ubb  24319  pntrlog2bnd  24422
  Copyright terms: Public domain W3C validator