Theorem lo1bddrp 12274

Description: Refine o1bdd2 12290 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1bdd2.1	|- ( ph -> A C_ RR )
lo1bdd2.2	|- ( ph -> C e. RR )
lo1bdd2.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
lo1bdd2.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_ O ( 1 ) )
lo1bdd2.5	|- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
lo1bdd2.6	|- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )

Assertion

Ref	Expression
lo1bddrp	|- ( ph -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m )

Distinct variable groups:   x, m, y, A   B, m, y   x, C, y   ph, x, y   m, M, x

Allowed substitution hints:   ph( m)   B( x)   C( m)   M( y)

Proof of Theorem lo1bddrp

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1bdd2.1	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
2		lo1bdd2.2	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
3		lo1bdd2.3	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
4		lo1bdd2.4	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_ O ( 1 ) )
5		lo1bdd2.5	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
6		lo1bdd2.6	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lo1bdd2 12273	. 2 |- ( ph -> E. n e. RR A. x e. A B <_ n )
8		simpr 448	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> n e. RR )
9	8	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> n e. CC )
10	9	abscld 12193	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( abs ` n ) e. RR )
11	9	absge0d 12201	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` n ) )
12	10, 11	ge0p1rpd 10630	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR+ )
13		simplr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n e. RR )
14	10	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( abs ` n ) e. RR )
15		peano2re 9195	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` n ) e. RR -> ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR )
17	13	leabsd 12172	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n <_ ( abs ` n ) )
18	14	lep1d 9898	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( abs ` n ) <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) )
19	13, 14, 16, 17, 18	letrd 9183	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) )
20	3	adantlr 696	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
21		letr 9123	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ n e. RR /\ ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
22	20, 13, 16, 21	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
23	19, 22	mpan2d 656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( B <_ n -> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
24	23	ralimdva 2744	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A B <_ n -> A. x e. A B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
25		breq2 4176	. . . . . 6 |- ( m = ( ( abs ` n ) + 1 ) -> ( B <_ m <-> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
26	25	ralbidv 2686	. . . . 5 |- ( m = ( ( abs ` n ) + 1 ) -> ( A. x e. A B <_ m <-> A. x e. A B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
27	26	rspcev 3012	. . . 4 |- ( ( ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR+ /\ A. x e. A B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m )
28	12, 24, 27	ee12an 1369	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A B <_ n -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m ) )
29	28	rexlimdva 2790	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. RR A. x e. A B <_ n -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m ) )
30	7, 29	mpd 15	1 |- ( ph -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   1c1 8947   + caddc 8949   < clt 9076   <_ cle 9077   RR+crp 10568   abscabs 11994   <_ O ( 1 )clo1 12236

This theorem is referenced by:  o1bddrp  12291  chpo1ubb  21128  pntrlog2bnd  21231

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-lo1 12240