Theorem lo1bddrp 13589

Description: Refine o1bdd2 13605 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1bdd2.1	|- ( ph -> A C_ RR )
lo1bdd2.2	|- ( ph -> C e. RR )
lo1bdd2.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
lo1bdd2.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
lo1bdd2.5	|- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
lo1bdd2.6	|- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )

Assertion

Ref	Expression
lo1bddrp	|- ( ph -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m )

Distinct variable groups:   x, m, y, A   B, m, y   x, C, y   ph, x, y   m, M, x

Allowed substitution hints:   ph( m)   B( x)   C( m)   M( y)

Proof of Theorem lo1bddrp

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1bdd2.1	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
2		lo1bdd2.2	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
3		lo1bdd2.3	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
4		lo1bdd2.4	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
5		lo1bdd2.5	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
6		lo1bdd2.6	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lo1bdd2 13588	. 2 |- ( ph -> E. n e. RR A. x e. A B <_ n )
8		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> n e. RR )
9	8	recnd 9669	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> n e. CC )
10	9	abscld 13498	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( abs ` n ) e. RR )
11	9	absge0d 13506	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` n ) )
12	10, 11	ge0p1rpd 11368	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR+ )
13		simplr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n e. RR )
14	10	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( abs ` n ) e. RR )
15		peano2re 9806	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` n ) e. RR -> ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR )
17	13	leabsd 13476	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n <_ ( abs ` n ) )
18	14	lep1d 10538	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( abs ` n ) <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) )
19	13, 14, 16, 17, 18	letrd 9792	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) )
20	3	adantlr 721	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
21		letr 9727	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ n e. RR /\ ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
22	20, 13, 16, 21	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
23	19, 22	mpan2d 680	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( B <_ n -> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
24	23	ralimdva 2796	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A B <_ n -> A. x e. A B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
25		breq2 4406	. . . . . 6 |- ( m = ( ( abs ` n ) + 1 ) -> ( B <_ m <-> B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
26	25	ralbidv 2827	. . . . 5 |- ( m = ( ( abs ` n ) + 1 ) -> ( A. x e. A B <_ m <-> A. x e. A B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) )
27	26	rspcev 3150	. . . 4 |- ( ( ( ( abs ` n ) + 1 ) e. RR+ /\ A. x e. A B <_ ( ( abs ` n ) + 1 ) ) -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m )
28	12, 24, 27	syl6an 548	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A B <_ n -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m ) )
29	28	rexlimdva 2879	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. RR A. x e. A B <_ n -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m ) )
30	7, 29	mpd 15	1 |- ( ph -> E. m e. RR+ A. x e. A B <_ m )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   C_ wss 3404   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540   + caddc 9542   < clt 9675   <_ cle 9676   RR+crp 11302   abscabs 13297   <_O(1)clo1 13551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-lo1 13555

This theorem is referenced by:  o1bddrp  13606  chpo1ubb  24319  pntrlog2bnd  24422