Theorem lo1bdd2 13587

Description: If an eventually bounded function is bounded on every interval A i^i ( -oo , y ) by a function M ( y ), then the function is bounded on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1bdd2.1	|- ( ph -> A C_ RR )
lo1bdd2.2	|- ( ph -> C e. RR )
lo1bdd2.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
lo1bdd2.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
lo1bdd2.5	|- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
lo1bdd2.6	|- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )

Assertion

Ref	Expression
lo1bdd2	|- ( ph -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m )

Distinct variable groups:   x, m, y, A   B, m, y   x, C, y   ph, x, y   m, M, x

Allowed substitution hints:   ph( m)   B( x)   C( m)   M( y)

Proof of Theorem lo1bdd2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1bdd2.4	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
2		lo1bdd2.1	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
3		lo1bdd2.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
4		lo1bdd2.2	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
5	2, 3, 4	ello1mpt2 13585	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. ( C [,) +oo ) E. n e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) )
6	1, 5	mpbid 213	. 2 |- ( ph -> E. y e. ( C [,) +oo ) E. n e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) )
7		elicopnf 11737	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. RR -> ( y e. ( C [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ C <_ y ) ) )
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( C [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ C <_ y ) ) )
9	8	biimpa 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> ( y e. RR /\ C <_ y ) )
10		lo1bdd2.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
11	9, 10	syldan 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> M e. RR )
12	11	ad2antrr 730	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) /\ n <_ M ) -> M e. RR )
13		simplrl 768	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) /\ -. n <_ M ) -> n e. RR )
14	12, 13	ifclda 3943	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) -> if ( n <_ M , M , n ) e. RR )
15	2	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) -> A C_ RR )
16	15	sselda 3464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
17	9	simpld 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> y e. RR )
18	17	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
19	16, 18	ltnled 9789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( x < y <-> -. y <_ x ) )
20		lo1bdd2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )
21	20	expr 618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> ( x < y -> B <_ M ) )
22	21	an32s 811	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) /\ x e. A ) -> ( x < y -> B <_ M ) )
23	22	ex 435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> ( x e. A -> ( x < y -> B <_ M ) ) )
24	9, 23	syldan 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> ( x e. A -> ( x < y -> B <_ M ) ) )
25	24	imp 430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( x < y -> B <_ M ) )
26	25	adantlr 719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( x < y -> B <_ M ) )
27		simplr 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n e. RR )
28	11	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> M e. RR )
29		max2 11489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. RR /\ M e. RR ) -> M <_ if ( n <_ M , M , n ) )
30	27, 28, 29	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> M <_ if ( n <_ M , M , n ) )
31		simpll 758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) -> ph )
32	31, 3	sylan 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
33	11	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) /\ n <_ M ) -> M e. RR )
34		simpllr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) /\ -. n <_ M ) -> n e. RR )
35	33, 34	ifclda 3943	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> if ( n <_ M , M , n ) e. RR )
36		letr 9734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ M e. RR /\ if ( n <_ M , M , n ) e. RR ) -> ( ( B <_ M /\ M <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
37	32, 28, 35, 36	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ M /\ M <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
38	30, 37	mpan2d 678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( B <_ M -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
39	26, 38	syld 45	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( x < y -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
40	19, 39	sylbird 238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( -. y <_ x -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
41		max1 11487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. RR /\ M e. RR ) -> n <_ if ( n <_ M , M , n ) )
42	27, 28, 41	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n <_ if ( n <_ M , M , n ) )
43		letr 9734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR /\ n e. RR /\ if ( n <_ M , M , n ) e. RR ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
44	32, 27, 35, 43	syl3anc 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
45	42, 44	mpan2d 678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( B <_ n -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
46	40, 45	jad 165	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( y <_ x -> B <_ n ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
47	46	ralimdva 2830	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) -> A. x e. A B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
48	47	impr 623	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) -> A. x e. A B <_ if ( n <_ M , M , n ) )
49		breq2 4427	. . . . . . . 8 |- ( m = if ( n <_ M , M , n ) -> ( B <_ m <-> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
50	49	ralbidv 2861	. . . . . . 7 |- ( m = if ( n <_ M , M , n ) -> ( A. x e. A B <_ m <-> A. x e. A B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
51	50	rspcev 3182	. . . . . 6 |- ( ( if ( n <_ M , M , n ) e. RR /\ A. x e. A B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m )
52	14, 48, 51	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m )
53	52	expr 618	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m ) )
54	53	rexlimdva 2914	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> ( E. n e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m ) )
55	54	rexlimdva 2914	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. ( C [,) +oo ) E. n e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m ) )
56	6, 55	mpd 15	1 |- ( ph -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   C_ wss 3436   ifcif 3911   class class class wbr 4423   |-> cmpt 4482  (class class class)co 6305   RRcr 9545   +oocpnf 9679   < clt 9682   <_ cle 9683   [,)cico 11644   <_O(1)clo1 13550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-ico 11648  df-lo1 13554

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  13588  o1bdd2  13604