Theorem lo1bdd2 13298

Description: If an eventually bounded function is bounded on every interval A i^i ( -oo , y ) by a function M ( y ), then the function is bounded on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1bdd2.1	|- ( ph -> A C_ RR )
lo1bdd2.2	|- ( ph -> C e. RR )
lo1bdd2.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
lo1bdd2.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
lo1bdd2.5	|- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
lo1bdd2.6	|- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )

Assertion

Ref	Expression
lo1bdd2	|- ( ph -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m )

Distinct variable groups:   x, m, y, A   B, m, y   x, C, y   ph, x, y   m, M, x

Allowed substitution hints:   ph( m)   B( x)   C( m)   M( y)

Proof of Theorem lo1bdd2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1bdd2.4	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
2		lo1bdd2.1	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
3		lo1bdd2.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
4		lo1bdd2.2	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
5	2, 3, 4	ello1mpt2 13296	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. ( C [,) +oo ) E. n e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) )
6	1, 5	mpbid 210	. 2 |- ( ph -> E. y e. ( C [,) +oo ) E. n e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) )
7		elicopnf 11611	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. RR -> ( y e. ( C [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ C <_ y ) ) )
8	4, 7	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( C [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ C <_ y ) ) )
9	8	biimpa 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> ( y e. RR /\ C <_ y ) )
10		lo1bdd2.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
11	9, 10	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> M e. RR )
12	11	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) /\ n <_ M ) -> M e. RR )
13		simplrl 759	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) /\ -. n <_ M ) -> n e. RR )
14	12, 13	ifclda 3966	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) -> if ( n <_ M , M , n ) e. RR )
15	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) -> A C_ RR )
16	15	sselda 3499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
17	9	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> y e. RR )
18	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
19	16, 18	ltnled 9722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( x < y <-> -. y <_ x ) )
20		lo1bdd2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )
21	20	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> ( x < y -> B <_ M ) )
22	21	an32s 802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) /\ x e. A ) -> ( x < y -> B <_ M ) )
23	22	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> ( x e. A -> ( x < y -> B <_ M ) ) )
24	9, 23	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> ( x e. A -> ( x < y -> B <_ M ) ) )
25	24	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( x < y -> B <_ M ) )
26	25	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( x < y -> B <_ M ) )
27		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n e. RR )
28	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> M e. RR )
29		max2 11379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. RR /\ M e. RR ) -> M <_ if ( n <_ M , M , n ) )
30	27, 28, 29	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> M <_ if ( n <_ M , M , n ) )
31		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) -> ph )
32	31, 3	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
33	11	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) /\ n <_ M ) -> M e. RR )
34		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) /\ -. n <_ M ) -> n e. RR )
35	33, 34	ifclda 3966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> if ( n <_ M , M , n ) e. RR )
36		letr 9669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ M e. RR /\ if ( n <_ M , M , n ) e. RR ) -> ( ( B <_ M /\ M <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
37	32, 28, 35, 36	syl3anc 1223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ M /\ M <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
38	30, 37	mpan2d 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( B <_ M -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
39	26, 38	syld 44	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( x < y -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
40	19, 39	sylbird 235	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( -. y <_ x -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
41		max1 11377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. RR /\ M e. RR ) -> n <_ if ( n <_ M , M , n ) )
42	27, 28, 41	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n <_ if ( n <_ M , M , n ) )
43		letr 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR /\ n e. RR /\ if ( n <_ M , M , n ) e. RR ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
44	32, 27, 35, 43	syl3anc 1223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
45	42, 44	mpan2d 674	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( B <_ n -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
46	40, 45	jad 162	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( y <_ x -> B <_ n ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
47	46	ralimdva 2867	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) -> A. x e. A B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
48	47	impr 619	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) -> A. x e. A B <_ if ( n <_ M , M , n ) )
49		breq2 4446	. . . . . . . 8 |- ( m = if ( n <_ M , M , n ) -> ( B <_ m <-> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
50	49	ralbidv 2898	. . . . . . 7 |- ( m = if ( n <_ M , M , n ) -> ( A. x e. A B <_ m <-> A. x e. A B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
51	50	rspcev 3209	. . . . . 6 |- ( ( if ( n <_ M , M , n ) e. RR /\ A. x e. A B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m )
52	14, 48, 51	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m )
53	52	expr 615	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m ) )
54	53	rexlimdva 2950	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> ( E. n e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m ) )
55	54	rexlimdva 2950	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. ( C [,) +oo ) E. n e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m ) )
56	6, 55	mpd 15	1 |- ( ph -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   C_ wss 3471   ifcif 3934   class class class wbr 4442   |-> cmpt 4500  (class class class)co 6277   RRcr 9482   +oocpnf 9616   < clt 9619   <_ cle 9620   [,)cico 11522   <_O(1)clo1 13261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-ico 11526  df-lo1 13265

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  13299  o1bdd2  13315