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Theorem lo1bdd2 13298
Description: If an eventually bounded function is bounded on every interval  A  i^i  ( -oo ,  y ) by a function  M ( y ), then the function is bounded on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1bdd2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
lo1bdd2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lo1bdd2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
lo1bdd2.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
lo1bdd2.5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
lo1bdd2.6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
Assertion
Ref Expression
lo1bdd2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y   
x, C, y    ph, x, y    m, M, x
Allowed substitution hints:    ph( m)    B( x)    C( m)    M( y)

Proof of Theorem lo1bdd2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1bdd2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
2 lo1bdd2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 lo1bdd2.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4 lo1bdd2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4ello1mpt2 13296 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. y  e.  ( C [,) +oo ) E. n  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )
61, 5mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( C [,) +oo ) E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) )
7 elicopnf 11611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  RR  ->  (
y  e.  ( C [,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) ) )
84, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C [,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  C  <_  y ) ) )
98biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo )
)  ->  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )
10 lo1bdd2.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
119, 10syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo )
)  ->  M  e.  RR )
1211ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  ( n  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )
) )  /\  n  <_  M )  ->  M  e.  RR )
13 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  ( n  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )
) )  /\  -.  n  <_  M )  ->  n  e.  RR )
1412, 13ifclda 3966 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )  ->  if (
n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )
152ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1615sselda 3499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
179simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo )
)  ->  y  e.  RR )
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
1916, 18ltnled 9722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
20 lo1bdd2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
2120expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  C  <_  y ) )  ->  ( x  < 
y  ->  B  <_  M ) )
2221an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  C  <_  y ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M ) )
2322ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  -> 
( x  e.  A  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M )
) )
249, 23syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo )
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M ) ) )
2524imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  <  y  ->  B  <_  M ) )
2625adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M ) )
27 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  n  e.  RR )
2811ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  M  e.  RR )
29 max2 11379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  M  <_  if (
n  <_  M ,  M ,  n )
)
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  M  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )
31 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  ph )
3231, 3sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
3311ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  n  <_  M )  ->  M  e.  RR )
34 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  -.  n  <_  M )  ->  n  e.  RR )
3533, 34ifclda 3966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  if (
n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )
36 letr 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )  ->  (
( B  <_  M  /\  M  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n )
)  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
3732, 28, 35, 36syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( B  <_  M  /\  M  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
3830, 37mpan2d 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <_  M  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
3926, 38syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4019, 39sylbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -.  y  <_  x  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
41 max1 11377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  n  <_  if (
n  <_  M ,  M ,  n )
)
4227, 28, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  n  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )
43 letr 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )  ->  (
( B  <_  n  /\  n  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n )
)  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4432, 27, 35, 43syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( B  <_  n  /\  n  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4542, 44mpan2d 674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <_  n  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4640, 45jad 162 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4746ralimdva 2867 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4847impr 619 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )  ->  A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )
49 breq2 4446 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  ->  ( B  <_  m  <->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
5049ralbidv 2898 . . . . . . 7  |-  ( m  =  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  m  <->  A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
5150rspcev 3209 . . . . . 6  |-  ( ( if ( n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m )
5214, 48, 51syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m
)
5352expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m ) )
5453rexlimdva 2950 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo )
)  ->  ( E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m
) )
5554rexlimdva 2950 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( C [,) +oo ) E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m ) )
566, 55mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810    C_ wss 3471   ifcif 3934   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500  (class class class)co 6277   RRcr 9482   +oocpnf 9616    < clt 9619    <_ cle 9620   [,)cico 11522   <_O(1)clo1 13261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-ico 11526  df-lo1 13265
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  13299  o1bdd2  13315
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