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Theorem lo1bdd2 13104
Description: If an eventually bounded function is bounded on every interval  A  i^i  ( -oo ,  y ) by a function  M ( y ), then the function is bounded on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1bdd2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
lo1bdd2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lo1bdd2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
lo1bdd2.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
lo1bdd2.5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
lo1bdd2.6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
Assertion
Ref Expression
lo1bdd2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y   
x, C, y    ph, x, y    m, M, x
Allowed substitution hints:    ph( m)    B( x)    C( m)    M( y)

Proof of Theorem lo1bdd2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1bdd2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
2 lo1bdd2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 lo1bdd2.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4 lo1bdd2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4ello1mpt2 13102 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. y  e.  ( C [,) +oo ) E. n  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )
61, 5mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( C [,) +oo ) E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) )
7 elicopnf 11486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  RR  ->  (
y  e.  ( C [,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) ) )
84, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C [,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  C  <_  y ) ) )
98biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo )
)  ->  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )
10 lo1bdd2.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
119, 10syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo )
)  ->  M  e.  RR )
1211ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  ( n  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )
) )  /\  n  <_  M )  ->  M  e.  RR )
13 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  ( n  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )
) )  /\  -.  n  <_  M )  ->  n  e.  RR )
1412, 13ifclda 3919 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )  ->  if (
n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )
152ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1615sselda 3454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
179simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo )
)  ->  y  e.  RR )
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
1916, 18ltnled 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
20 lo1bdd2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
2120expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  C  <_  y ) )  ->  ( x  < 
y  ->  B  <_  M ) )
2221an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  C  <_  y ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M ) )
2322ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  -> 
( x  e.  A  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M )
) )
249, 23syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo )
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M ) ) )
2524imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  <  y  ->  B  <_  M ) )
2625adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M ) )
27 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  n  e.  RR )
2811ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  M  e.  RR )
29 max2 11260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  M  <_  if (
n  <_  M ,  M ,  n )
)
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  M  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )
31 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  ph )
3231, 3sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
3311ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  n  <_  M )  ->  M  e.  RR )
34 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  -.  n  <_  M )  ->  n  e.  RR )
3533, 34ifclda 3919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  if (
n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )
36 letr 9569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )  ->  (
( B  <_  M  /\  M  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n )
)  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
3732, 28, 35, 36syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( B  <_  M  /\  M  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
3830, 37mpan2d 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <_  M  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
3926, 38syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4019, 39sylbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -.  y  <_  x  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
41 max1 11258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  n  <_  if (
n  <_  M ,  M ,  n )
)
4227, 28, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  n  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )
43 letr 9569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )  ->  (
( B  <_  n  /\  n  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n )
)  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4432, 27, 35, 43syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( B  <_  n  /\  n  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4542, 44mpan2d 674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <_  n  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4640, 45jad 162 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4746ralimdva 2824 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4847impr 619 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )  ->  A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )
49 breq2 4394 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  ->  ( B  <_  m  <->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
5049ralbidv 2839 . . . . . . 7  |-  ( m  =  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  m  <->  A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
5150rspcev 3169 . . . . . 6  |-  ( ( if ( n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m )
5214, 48, 51syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m
)
5352expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m ) )
5453rexlimdva 2937 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo )
)  ->  ( E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m
) )
5554rexlimdva 2937 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( C [,) +oo ) E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m ) )
566, 55mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796    C_ wss 3426   ifcif 3889   class class class wbr 4390    |-> cmpt 4448  (class class class)co 6190   RRcr 9382   +oocpnf 9516    < clt 9519    <_ cle 9520   [,)cico 11403   <_O(1)clo1 13067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-er 7201  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-ico 11407  df-lo1 13071
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  13105  o1bdd2  13121
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