Theorem lo1bdd2 13104

Description: If an eventually bounded function is bounded on every interval A i^i ( -oo , y ) by a function M ( y ), then the function is bounded on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1bdd2.1	|- ( ph -> A C_ RR )
lo1bdd2.2	|- ( ph -> C e. RR )
lo1bdd2.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
lo1bdd2.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
lo1bdd2.5	|- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
lo1bdd2.6	|- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )

Assertion

Ref	Expression
lo1bdd2	|- ( ph -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m )

Distinct variable groups:   x, m, y, A   B, m, y   x, C, y   ph, x, y   m, M, x

Allowed substitution hints:   ph( m)   B( x)   C( m)   M( y)

Proof of Theorem lo1bdd2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1bdd2.4	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
2		lo1bdd2.1	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
3		lo1bdd2.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
4		lo1bdd2.2	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
5	2, 3, 4	ello1mpt2 13102	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. ( C [,) +oo ) E. n e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) )
6	1, 5	mpbid 210	. 2 |- ( ph -> E. y e. ( C [,) +oo ) E. n e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) )
7		elicopnf 11486	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. RR -> ( y e. ( C [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ C <_ y ) ) )
8	4, 7	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( C [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ C <_ y ) ) )
9	8	biimpa 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> ( y e. RR /\ C <_ y ) )
10		lo1bdd2.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> M e. RR )
11	9, 10	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> M e. RR )
12	11	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) /\ n <_ M ) -> M e. RR )
13		simplrl 759	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) /\ -. n <_ M ) -> n e. RR )
14	12, 13	ifclda 3919	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) -> if ( n <_ M , M , n ) e. RR )
15	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) -> A C_ RR )
16	15	sselda 3454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
17	9	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> y e. RR )
18	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
19	16, 18	ltnled 9622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( x < y <-> -. y <_ x ) )
20		lo1bdd2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( ( y e. RR /\ C <_ y ) /\ x < y ) ) -> B <_ M )
21	20	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> ( x < y -> B <_ M ) )
22	21	an32s 802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) /\ x e. A ) -> ( x < y -> B <_ M ) )
23	22	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ C <_ y ) ) -> ( x e. A -> ( x < y -> B <_ M ) ) )
24	9, 23	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> ( x e. A -> ( x < y -> B <_ M ) ) )
25	24	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( x < y -> B <_ M ) )
26	25	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( x < y -> B <_ M ) )
27		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n e. RR )
28	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> M e. RR )
29		max2 11260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. RR /\ M e. RR ) -> M <_ if ( n <_ M , M , n ) )
30	27, 28, 29	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> M <_ if ( n <_ M , M , n ) )
31		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) -> ph )
32	31, 3	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
33	11	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) /\ n <_ M ) -> M e. RR )
34		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) /\ -. n <_ M ) -> n e. RR )
35	33, 34	ifclda 3919	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> if ( n <_ M , M , n ) e. RR )
36		letr 9569	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ M e. RR /\ if ( n <_ M , M , n ) e. RR ) -> ( ( B <_ M /\ M <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
37	32, 28, 35, 36	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ M /\ M <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
38	30, 37	mpan2d 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( B <_ M -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
39	26, 38	syld 44	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( x < y -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
40	19, 39	sylbird 235	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( -. y <_ x -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
41		max1 11258	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. RR /\ M e. RR ) -> n <_ if ( n <_ M , M , n ) )
42	27, 28, 41	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> n <_ if ( n <_ M , M , n ) )
43		letr 9569	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR /\ n e. RR /\ if ( n <_ M , M , n ) e. RR ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
44	32, 27, 35, 43	syl3anc 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
45	42, 44	mpan2d 674	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( B <_ n -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
46	40, 45	jad 162	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( y <_ x -> B <_ n ) -> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
47	46	ralimdva 2824	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) -> A. x e. A B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
48	47	impr 619	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) -> A. x e. A B <_ if ( n <_ M , M , n ) )
49		breq2 4394	. . . . . . . 8 |- ( m = if ( n <_ M , M , n ) -> ( B <_ m <-> B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
50	49	ralbidv 2839	. . . . . . 7 |- ( m = if ( n <_ M , M , n ) -> ( A. x e. A B <_ m <-> A. x e. A B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) )
51	50	rspcev 3169	. . . . . 6 |- ( ( if ( n <_ M , M , n ) e. RR /\ A. x e. A B <_ if ( n <_ M , M , n ) ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m )
52	14, 48, 51	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ ( n e. RR /\ A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) ) ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m )
53	52	expr 615	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) /\ n e. RR ) -> ( A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m ) )
54	53	rexlimdva 2937	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( C [,) +oo ) ) -> ( E. n e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m ) )
55	54	rexlimdva 2937	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. ( C [,) +oo ) E. n e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ n ) -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m ) )
56	6, 55	mpd 15	1 |- ( ph -> E. m e. RR A. x e. A B <_ m )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   C_ wss 3426   ifcif 3889   class class class wbr 4390   |-> cmpt 4448  (class class class)co 6190   RRcr 9382   +oocpnf 9516   < clt 9519   <_ cle 9520   [,)cico 11403   <_O(1)clo1 13067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-er 7201  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-ico 11407  df-lo1 13071

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  13105  o1bdd2  13121