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Theorem lo1bdd2 13498
Description: If an eventually bounded function is bounded on every interval  A  i^i  ( -oo ,  y ) by a function  M ( y ), then the function is bounded on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1bdd2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
lo1bdd2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lo1bdd2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
lo1bdd2.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
lo1bdd2.5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
lo1bdd2.6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
Assertion
Ref Expression
lo1bdd2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y   
x, C, y    ph, x, y    m, M, x
Allowed substitution hints:    ph( m)    B( x)    C( m)    M( y)

Proof of Theorem lo1bdd2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1bdd2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
2 lo1bdd2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 lo1bdd2.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4 lo1bdd2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4ello1mpt2 13496 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. y  e.  ( C [,) +oo ) E. n  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )
61, 5mpbid 212 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( C [,) +oo ) E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) )
7 elicopnf 11676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  RR  ->  (
y  e.  ( C [,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) ) )
84, 7syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C [,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  C  <_  y ) ) )
98biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo )
)  ->  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )
10 lo1bdd2.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
119, 10syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo )
)  ->  M  e.  RR )
1211ad2antrr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  ( n  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )
) )  /\  n  <_  M )  ->  M  e.  RR )
13 simplrl 764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  ( n  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )
) )  /\  -.  n  <_  M )  ->  n  e.  RR )
1412, 13ifclda 3919 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )  ->  if (
n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )
152ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1615sselda 3444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
179simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo )
)  ->  y  e.  RR )
1817ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
1916, 18ltnled 9766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
20 lo1bdd2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
2120expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  C  <_  y ) )  ->  ( x  < 
y  ->  B  <_  M ) )
2221an32s 807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  C  <_  y ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M ) )
2322ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  -> 
( x  e.  A  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M )
) )
249, 23syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo )
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M ) ) )
2524imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  <  y  ->  B  <_  M ) )
2625adantlr 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M ) )
27 simplr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  n  e.  RR )
2811ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  M  e.  RR )
29 max2 11443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  M  <_  if (
n  <_  M ,  M ,  n )
)
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  M  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )
31 simpll 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  ph )
3231, 3sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
3311ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  n  <_  M )  ->  M  e.  RR )
34 simpllr 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  -.  n  <_  M )  ->  n  e.  RR )
3533, 34ifclda 3919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  if (
n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )
36 letr 9711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )  ->  (
( B  <_  M  /\  M  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n )
)  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
3732, 28, 35, 36syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( B  <_  M  /\  M  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
3830, 37mpan2d 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <_  M  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
3926, 38syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4019, 39sylbird 237 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -.  y  <_  x  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
41 max1 11441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  n  <_  if (
n  <_  M ,  M ,  n )
)
4227, 28, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  n  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )
43 letr 9711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )  ->  (
( B  <_  n  /\  n  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n )
)  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4432, 27, 35, 43syl3anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( B  <_  n  /\  n  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4542, 44mpan2d 674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <_  n  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4640, 45jad 164 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4746ralimdva 2814 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4847impr 619 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )  ->  A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )
49 breq2 4401 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  ->  ( B  <_  m  <->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
5049ralbidv 2845 . . . . . . 7  |-  ( m  =  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  m  <->  A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
5150rspcev 3162 . . . . . 6  |-  ( ( if ( n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m )
5214, 48, 51syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m
)
5352expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m ) )
5453rexlimdva 2898 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,) +oo )
)  ->  ( E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m
) )
5554rexlimdva 2898 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( C [,) +oo ) E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m ) )
566, 55mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3416   ifcif 3887   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455  (class class class)co 6280   RRcr 9523   +oocpnf 9657    < clt 9660    <_ cle 9661   [,)cico 11586   <_O(1)clo1 13461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-er 7350  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-ico 11590  df-lo1 13465
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  13499  o1bdd2  13515
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