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Theorem lo1add 13668
Description: The sum of two eventually upper bounded functions is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1add2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
lo1add.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
lo1add.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_O(1) )
Assertion
Ref Expression
lo1add  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  <_O(1) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem lo1add
Dummy variables  m  c  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1add.3 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
2 lo1add.4 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_O(1) )
3 reeanv 3003 . . . 4  |-  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) )  <-> 
( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) )
4 o1add2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
54ralrimiva 2846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
6 dmmptg 5352 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
8 lo1dm 13561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
91, 8syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
107, 9eqsstr3d 3505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1110adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
12 rexanre 13388 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n ) )  <-> 
( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) ) )
14 readdcl 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( m  +  n
)  e.  RR )
1514adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( m  +  n
)  e.  RR )
164, 1lo1mptrcl 13663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
1716adantlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
18 o1add2.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
1918, 2lo1mptrcl 13663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
2019adantlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
21 simplrl 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  m  e.  RR )
22 simplrr 769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  n  e.  RR )
23 le2add 10095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( ( B  <_  m  /\  C  <_  n
)  ->  ( B  +  C )  <_  (
m  +  n ) ) )
2417, 20, 21, 22, 23syl22anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  m  /\  C  <_  n )  ->  ( B  +  C )  <_  (
m  +  n ) ) )
2524imim2d 54 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n ) )  ->  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  (
m  +  n ) ) ) )
2625ralimdva 2840 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  ->  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  (
m  +  n ) ) ) )
27 breq2 4430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  ( m  +  n )  ->  (
( B  +  C
)  <_  p  <->  ( B  +  C )  <_  (
m  +  n ) ) )
2827imbi2d 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  ( m  +  n )  ->  (
( c  <_  x  ->  ( B  +  C
)  <_  p )  <->  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  ( m  +  n ) ) ) )
2928ralbidv 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  ( m  +  n )  ->  ( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C
)  <_  p )  <->  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  ( m  +  n ) ) ) )
3029rspcev 3188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  ( m  +  n ) ) )  ->  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  p ) )
3115, 26, 30syl6an 547 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  ->  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  p
) ) )
3231reximdv 2906 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  p
) ) )
3313, 32sylbird 238 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  p
) ) )
3433rexlimdvva 2931 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  p
) ) )
353, 34syl5bir 221 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  p
) ) )
3610, 16ello1mpt 13563 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
37 rexcom 2997 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  m ) )
3836, 37syl6bb 264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  <->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
3910, 19ello1mpt 13563 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_O(1)  <->  E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) ) )
40 rexcom 2997 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n )  <->  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) )
4139, 40syl6bb 264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_O(1)  <->  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) ) )
4238, 41anbi12d 715 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1)  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_O(1) )  <->  ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) ) )
4316, 19readdcld 9669 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
4410, 43ello1mpt 13563 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e. 
<_O(1)  <->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  p ) ) )
4535, 42, 443imtr4d 271 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1)  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_O(1) )  ->  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e.  <_O(1) ) )
461, 2, 45mp2and 683 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  <_O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854  (class class class)co 6305   RRcr 9537    + caddc 9541    <_ cle 9675   <_O(1)clo1 13529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-ico 11641  df-lo1 13533
This theorem is referenced by:  lo1sub  13672  pntrlog2bndlem4  24281  pntrlog2bndlem5  24282  pntrlog2bndlem6  24284
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