Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1add Structured version   Unicode version

 Description: The sum of two eventually upper bounded functions is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
3 reeanv 3003 . . . 4
4 o1add2.1 . . . . . . . . . . 11
54ralrimiva 2846 . . . . . . . . . 10
6 dmmptg 5352 . . . . . . . . . 10
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9
8 lo1dm 13561 . . . . . . . . . 10
91, 8syl 17 . . . . . . . . 9
107, 9eqsstr3d 3505 . . . . . . . 8
1110adantr 466 . . . . . . 7
12 rexanre 13388 . . . . . . 7
1311, 12syl 17 . . . . . 6
14 readdcl 9621 . . . . . . . . 9
1514adantl 467 . . . . . . . 8
164, 1lo1mptrcl 13663 . . . . . . . . . . . 12
1716adantlr 719 . . . . . . . . . . 11
18 o1add2.2 . . . . . . . . . . . . 13
1918, 2lo1mptrcl 13663 . . . . . . . . . . . 12
2019adantlr 719 . . . . . . . . . . 11
21 simplrl 768 . . . . . . . . . . 11
22 simplrr 769 . . . . . . . . . . 11
23 le2add 10095 . . . . . . . . . . 11
2417, 20, 21, 22, 23syl22anc 1265 . . . . . . . . . 10
2524imim2d 54 . . . . . . . . 9
2625ralimdva 2840 . . . . . . . 8
27 breq2 4430 . . . . . . . . . . 11
2827imbi2d 317 . . . . . . . . . 10
2928ralbidv 2871 . . . . . . . . 9
3029rspcev 3188 . . . . . . . 8
3115, 26, 30syl6an 547 . . . . . . 7
3231reximdv 2906 . . . . . 6
3313, 32sylbird 238 . . . . 5
3433rexlimdvva 2931 . . . 4
353, 34syl5bir 221 . . 3
3610, 16ello1mpt 13563 . . . . 5
37 rexcom 2997 . . . . 5
3836, 37syl6bb 264 . . . 4
3910, 19ello1mpt 13563 . . . . 5
40 rexcom 2997 . . . . 5
4139, 40syl6bb 264 . . . 4
4238, 41anbi12d 715 . . 3
4316, 19readdcld 9669 . . . 4
4410, 43ello1mpt 13563 . . 3
4535, 42, 443imtr4d 271 . 2
461, 2, 45mp2and 683 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  wrex 2783   wss 3442   class class class wbr 4426   cmpt 4484   cdm 4854  (class class class)co 6305  cr 9537   caddc 9541   cle 9675  clo1 13529 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-ico 11641  df-lo1 13533 This theorem is referenced by:  lo1sub  13672  pntrlog2bndlem4  24281  pntrlog2bndlem5  24282  pntrlog2bndlem6  24284
 Copyright terms: Public domain W3C validator