Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnrfg Structured version   Unicode version

Theorem lnrfg 35445
 Description: Finitely-generated modules over a Noetherian ring, being homomorphic images of free modules, are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lnrfg.s Scalar
Assertion
Ref Expression
lnrfg LFinGen LNoeR LNoeM

Proof of Theorem lnrfg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . 4 freeLMod freeLMod
2 eqid 2404 . . . 4 freeLMod freeLMod
3 eqid 2404 . . . 4
4 eqid 2404 . . . 4
5 eqid 2404 . . . 4 freeLMod g freeLMod g
6 fglmod 35394 . . . . 5 LFinGen
76ad3antrrr 730 . . . 4 LFinGen LNoeR
8 vex 3064 . . . . 5
98a1i 11 . . . 4 LFinGen LNoeR
10 lnrfg.s . . . . 5 Scalar
1110a1i 11 . . . 4 LFinGen LNoeR Scalar
12 f1oi 5836 . . . . . . 7
13 f1of 5801 . . . . . . 7
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6
15 elpwi 3966 . . . . . 6
16 fss 5724 . . . . . 6
1714, 15, 16sylancr 663 . . . . 5
1817ad2antlr 727 . . . 4 LFinGen LNoeR
191, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 18frlmup1 19127 . . 3 LFinGen LNoeR freeLMod g freeLMod LMHom
20 simpllr 763 . . . 4 LFinGen LNoeR LNoeR
21 simprl 758 . . . 4 LFinGen LNoeR
221lnrfrlm 35444 . . . 4 LNoeR freeLMod LNoeM
2320, 21, 22syl2anc 661 . . 3 LFinGen LNoeR freeLMod LNoeM
24 eqid 2404 . . . . 5
251, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 18, 24frlmup3 19129 . . . 4 LFinGen LNoeR freeLMod g
26 rnresi 5172 . . . . . 6
2726fveq2i 5854 . . . . 5
28 simprr 760 . . . . 5 LFinGen LNoeR
2927, 28syl5eq 2457 . . . 4 LFinGen LNoeR
3025, 29eqtrd 2445 . . 3 LFinGen LNoeR freeLMod g
313lnmepi 35406 . . 3 freeLMod g freeLMod LMHom freeLMod LNoeM freeLMod g LNoeM
3219, 23, 30, 31syl3anc 1232 . 2 LFinGen LNoeR LNoeM
333, 24islmodfg 35390 . . . . 5 LFinGen
346, 33syl 17 . . . 4 LFinGen LFinGen
3534ibi 243 . . 3 LFinGen
3635adantr 465 . 2 LFinGen LNoeR
3732, 36r19.29a 2951 1 LFinGen LNoeR LNoeM
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 186   wa 369   wceq 1407   wcel 1844  wrex 2757  cvv 3061   wss 3416  cpw 3957   cmpt 4455   cid 4735   crn 4826   cres 4827  wf 5567  wf1o 5570  cfv 5571  (class class class)co 6280   cof 6521  cfn 7556  cbs 14843  Scalarcsca 14914  cvsca 14915   g cgsu 15057  clmod 17834  clspn 17939   LMHom clmhm 17987   freeLMod cfrlm 19077  LFinGenclfig 35388  LNoeMclnm 35396  LNoeRclnr 35435 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-seq 12154  df-hash 12455  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-hom 14935  df-cco 14936  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-prds 15064  df-pws 15066  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-mulg 16386  df-subg 16524  df-ghm 16591  df-cntz 16681  df-lsm 16982  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-subrg 17749  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-lsp 17940  df-lmhm 17990  df-lmim 17991  df-lmic 17992  df-lbs 18043  df-sra 18140  df-rgmod 18141  df-nzr 18228  df-dsmm 19063  df-frlm 19078  df-uvc 19112  df-lfig 35389  df-lnm 35397  df-lnr 35436 This theorem is referenced by:  lnrfgtr  35446
 Copyright terms: Public domain W3C validator