Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnr2i Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lnr2i 35969
Description: Given an ideal in a left-Noetherian ring, there is a finite subset which generates it. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lnr2i.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
lnr2i.n  |-  N  =  (RSpan `  R )
Assertion
Ref Expression
lnr2i  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  I  e.  U )  ->  E. g  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) I  =  ( N `  g
) )
Distinct variable groups:    g, I    g, N    R, g    U, g

Proof of Theorem lnr2i
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 lnr2i.u . . . . . 6  |-  U  =  (LIdeal `  R )
3 lnr2i.n . . . . . 6  |-  N  =  (RSpan `  R )
41, 2, 3islnr2 35967 . . . . 5  |-  ( R  e. LNoeR 
<->  ( R  e.  Ring  /\ 
A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P ( Base `  R
)  i^i  Fin )
i  =  ( N `
 g ) ) )
54simprbi 466 . . . 4  |-  ( R  e. LNoeR  ->  A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P ( Base `  R
)  i^i  Fin )
i  =  ( N `
 g ) )
6 eqeq1 2454 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
i  =  ( N `
 g )  <->  I  =  ( N `  g ) ) )
76rexbidv 2900 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( E. g  e.  ( ~P ( Base `  R
)  i^i  Fin )
i  =  ( N `
 g )  <->  E. g  e.  ( ~P ( Base `  R )  i^i  Fin ) I  =  ( N `  g )
) )
87rspcva 3147 . . . 4  |-  ( ( I  e.  U  /\  A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P ( Base `  R )  i^i  Fin ) i  =  ( N `  g
) )  ->  E. g  e.  ( ~P ( Base `  R )  i^i  Fin ) I  =  ( N `  g )
)
95, 8sylan2 477 . . 3  |-  ( ( I  e.  U  /\  R  e. LNoeR )  ->  E. g  e.  ( ~P ( Base `  R
)  i^i  Fin )
I  =  ( N `
 g ) )
109ancoms 455 . 2  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  I  e.  U )  ->  E. g  e.  ( ~P ( Base `  R )  i^i  Fin ) I  =  ( N `  g )
)
11 lnrring 35965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e. LNoeR  ->  R  e.  Ring )
123, 1rspssid 18440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  g  C_  ( Base `  R
) )  ->  g  C_  ( N `  g
) )
1311, 12sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  g  C_  ( Base `  R
) )  ->  g  C_  ( N `  g
) )
1413ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e. LNoeR  ->  ( g  C_  ( Base `  R )  ->  g  C_  ( N `  g ) ) )
15 vex 3047 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
1615elpw 3956 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ~P ( Base `  R )  <->  g  C_  ( Base `  R )
)
1715elpw 3956 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ~P ( N `
 g )  <->  g  C_  ( N `  g ) )
1814, 16, 173imtr4g 274 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e. LNoeR  ->  ( g  e. 
~P ( Base `  R
)  ->  g  e.  ~P ( N `  g
) ) )
1918anim1d 567 . . . . . . . 8  |-  ( R  e. LNoeR  ->  ( ( g  e.  ~P ( Base `  R )  /\  g  e.  Fin )  ->  (
g  e.  ~P ( N `  g )  /\  g  e.  Fin ) ) )
20 elin 3616 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ~P ( Base `  R )  i^i 
Fin )  <->  ( g  e.  ~P ( Base `  R
)  /\  g  e.  Fin ) )
21 elin 3616 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ~P ( N `  g )  i^i  Fin )  <->  ( g  e.  ~P ( N `  g )  /\  g  e.  Fin ) )
2219, 20, 213imtr4g 274 . . . . . . 7  |-  ( R  e. LNoeR  ->  ( g  e.  ( ~P ( Base `  R )  i^i  Fin )  ->  g  e.  ( ~P ( N `  g )  i^i  Fin ) ) )
23 pweq 3953 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  =  ( N `  g )  ->  ~P I  =  ~P ( N `  g )
)
2423ineq1d 3632 . . . . . . . . 9  |-  ( I  =  ( N `  g )  ->  ( ~P I  i^i  Fin )  =  ( ~P ( N `  g )  i^i  Fin ) )
2524eleq2d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  ( N `  g )  ->  (
g  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  <->  g  e.  ( ~P ( N `  g )  i^i  Fin ) ) )
2625imbi2d 318 . . . . . . 7  |-  ( I  =  ( N `  g )  ->  (
( g  e.  ( ~P ( Base `  R
)  i^i  Fin )  ->  g  e.  ( ~P I  i^i  Fin )
)  <->  ( g  e.  ( ~P ( Base `  R )  i^i  Fin )  ->  g  e.  ( ~P ( N `  g )  i^i  Fin ) ) ) )
2722, 26syl5ibrcom 226 . . . . . 6  |-  ( R  e. LNoeR  ->  ( I  =  ( N `  g
)  ->  ( g  e.  ( ~P ( Base `  R )  i^i  Fin )  ->  g  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ) ) )
2827imdistand 697 . . . . 5  |-  ( R  e. LNoeR  ->  ( ( I  =  ( N `  g )  /\  g  e.  ( ~P ( Base `  R )  i^i  Fin ) )  ->  (
I  =  ( N `
 g )  /\  g  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ) ) )
29 ancom 452 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  ( ~P ( Base `  R
)  i^i  Fin )  /\  I  =  ( N `  g )
)  <->  ( I  =  ( N `  g
)  /\  g  e.  ( ~P ( Base `  R
)  i^i  Fin )
) )
30 ancom 452 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  /\  I  =  ( N `  g )
)  <->  ( I  =  ( N `  g
)  /\  g  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ) )
3128, 29, 303imtr4g 274 . . . 4  |-  ( R  e. LNoeR  ->  ( ( g  e.  ( ~P ( Base `  R )  i^i 
Fin )  /\  I  =  ( N `  g ) )  -> 
( g  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  /\  I  =  ( N `  g ) ) ) )
3231reximdv2 2857 . . 3  |-  ( R  e. LNoeR  ->  ( E. g  e.  ( ~P ( Base `  R )  i^i  Fin ) I  =  ( N `  g )  ->  E. g  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) I  =  ( N `  g )
) )
3332adantr 467 . 2  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  I  e.  U )  ->  ( E. g  e.  ( ~P ( Base `  R
)  i^i  Fin )
I  =  ( N `
 g )  ->  E. g  e.  ( ~P I  i^i  Fin )
I  =  ( N `
 g ) ) )
3410, 33mpd 15 1  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  I  e.  U )  ->  E. g  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) I  =  ( N `  g
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3402    C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   ` cfv 5581   Fincfn 7566   Basecbs 15114   Ringcrg 17773  LIdealclidl 18386  RSpancrsp 18387  LNoeRclnr 35962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-0g 15333  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-subg 16807  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-subrg 17999  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-lidl 18390  df-rsp 18391  df-lfig 35920  df-lnm 35928  df-lnr 35963
This theorem is referenced by:  hbtlem6  35982
  Copyright terms: Public domain W3C validator