Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnoval Structured version   Unicode version

Theorem lnoval 26081
 Description: The set of linear operators between two normed complex vector spaces. (Contributed by NM, 6-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnoval.1
lnoval.2
lnoval.3
lnoval.4
lnoval.5
lnoval.6
lnoval.7
Assertion
Ref Expression
lnoval
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem lnoval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnoval.7 . 2
2 fveq2 5849 . . . . . 6
3 lnoval.1 . . . . . 6
42, 3syl6eqr 2461 . . . . 5
54oveq2d 6294 . . . 4
6 fveq2 5849 . . . . . . . . . . 11
7 lnoval.3 . . . . . . . . . . 11
86, 7syl6eqr 2461 . . . . . . . . . 10
9 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12
10 lnoval.5 . . . . . . . . . . . 12
119, 10syl6eqr 2461 . . . . . . . . . . 11
1211oveqd 6295 . . . . . . . . . 10
13 eqidd 2403 . . . . . . . . . 10
148, 12, 13oveq123d 6299 . . . . . . . . 9
1514fveq2d 5853 . . . . . . . 8
1615eqeq1d 2404 . . . . . . 7
174, 16raleqbidv 3018 . . . . . 6
184, 17raleqbidv 3018 . . . . 5
1918ralbidv 2843 . . . 4
205, 19rabeqbidv 3054 . . 3
21 fveq2 5849 . . . . . 6
22 lnoval.2 . . . . . 6
2321, 22syl6eqr 2461 . . . . 5
2423oveq1d 6293 . . . 4
25 fveq2 5849 . . . . . . . . 9
26 lnoval.4 . . . . . . . . 9
2725, 26syl6eqr 2461 . . . . . . . 8
28 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10
29 lnoval.6 . . . . . . . . . 10
3028, 29syl6eqr 2461 . . . . . . . . 9
3130oveqd 6295 . . . . . . . 8
32 eqidd 2403 . . . . . . . 8
3327, 31, 32oveq123d 6299 . . . . . . 7
3433eqeq2d 2416 . . . . . 6
35342ralbidv 2848 . . . . 5
3635ralbidv 2843 . . . 4
3724, 36rabeqbidv 3054 . . 3
38 df-lno 26073 . . 3
39 ovex 6306 . . . 4
4039rabex 4545 . . 3
4120, 37, 38, 40ovmpt2 6419 . 2
421, 41syl5eq 2455 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754  crab 2758  cfv 5569  (class class class)co 6278   cmap 7457  cc 9520  cnv 25891  cpv 25892  cba 25893  cns 25894   clno 26069 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-lno 26073 This theorem is referenced by:  islno  26082  hhlnoi  27232
 Copyright terms: Public domain W3C validator