Theorem lnopunilem2 11573

Description: Lemma for lnopunii 11574.

Hypotheses

Ref	Expression
lnopunilem.1	|- T e. LinOp
lnopunilem.2	|- A.x e. ~H (normh` (T` x)) = (normh` x)
lnopunilem.3	|- A e. ~H
lnopunilem.4	|- B e. ~H

Assertion

Ref	Expression
lnopunilem2	|- ((T` A) .ih (T` B)) = (A .ih B)

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem lnopunilem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (y = if(y e. CC, y, 0) -> (y x. ((T` A) .ih (T` B))) = (if(y e. CC, y, 0) x. ((T` A) .ih (T` B))))
2	1	fveq2d 4685	. . . . 5 |- (y = if(y e. CC, y, 0) -> (Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. ((T` A) .ih (T` B)))))
3		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (y = if(y e. CC, y, 0) -> (y x. (A .ih B)) = (if(y e. CC, y, 0) x. (A .ih B)))
4	3	fveq2d 4685	. . . . 5 |- (y = if(y e. CC, y, 0) -> (Re` (y x. (A .ih B))) = (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. (A .ih B))))
5	2, 4	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (y = if(y e. CC, y, 0) -> ((Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (y x. (A .ih B))) <-> (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. (A .ih B)))))
6		lnopunilem.1	. . . . 5 |- T e. LinOp
7		lnopunilem.2	. . . . 5 |- A.x e. ~H (normh` (T` x)) = (normh` x)
8		lnopunilem.3	. . . . 5 |- A e. ~H
9		lnopunilem.4	. . . . 5 |- B e. ~H
10		0cn 6481	. . . . . 6 |- 0 e. CC
11	10	elimel 3025	. . . . 5 |- if(y e. CC, y, 0) e. CC
12	6, 7, 8, 9, 11	lnopunilem1 11572	. . . 4 |- (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. (A .ih B)))
13	5, 12	dedth 3011	. . 3 |- (y e. CC -> (Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (y x. (A .ih B))))
14	13	rgen 2159	. 2 |- A.y e. CC (Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (y x. (A .ih B)))
15	6	lnopfi 11530	. . . . . 6 |- T:~H-->~H
16	15	ffvelrni 4788	. . . . 5 |- (A e. ~H -> (T` A) e. ~H)
17	8, 16	ax-mp 7	. . . 4 |- (T` A) e. ~H
18	15	ffvelrni 4788	. . . . 5 |- (B e. ~H -> (T` B) e. ~H)
19	9, 18	ax-mp 7	. . . 4 |- (T` B) e. ~H
20	17, 19	hicli 10581	. . 3 |- ((T` A) .ih (T` B)) e. CC
21	8, 9	hicli 10581	. . 3 |- (A .ih B) e. CC
22		recan 8157	. . 3 |- ((((T` A) .ih (T` B)) e. CC /\ (A .ih B) e. CC) -> (A.y e. CC (Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (y x. (A .ih B))) <-> ((T` A) .ih (T` B)) = (A .ih B)))
23	20, 21, 22	mp2an 761	. 2 |- (A.y e. CC (Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (y x. (A .ih B))) <-> ((T` A) .ih (T` B)) = (A .ih B))
24	14, 23	mpbi 206	1 |- ((T` A) .ih (T` B)) = (A .ih B)

Syntax hints:   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  ifcif 2982  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   x. cmul 6391  Recre 7997  ~Hchil 10420   .ih csp 10425  normhcno 10426  LinOpclo 10448

This theorem is referenced by:  lnopunii 11574

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hv0cl 10505  ax-hfvmul 10507  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-hnorm 10469  df-lnop 11404

Copyright terms: Public domain