HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopsubi Structured version   Unicode version

Theorem lnopsubi 25515
Description: Subtraction property for a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopl.1  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopsubi  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  -h  B ) )  =  ( ( T `
 A )  -h  ( T `  B
) ) )

Proof of Theorem lnopsubi
StepHypRef Expression
1 neg1cn 10528 . . 3  |-  -u 1  e.  CC
2 lnopl.1 . . . 4  |-  T  e. 
LinOp
32lnopaddmuli 25514 . . 3  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )  =  ( ( T `
 A )  +h  ( -u 1  .h  ( T `  B
) ) ) )
41, 3mp3an1 1302 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )  =  ( ( T `
 A )  +h  ( -u 1  .h  ( T `  B
) ) ) )
5 hvsubval 24555 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )
65fveq2d 5795 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  -h  B ) )  =  ( T `  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) ) )
72lnopfi 25510 . . . 4  |-  T : ~H
--> ~H
87ffvelrni 5943 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( T `  A )  e.  ~H )
97ffvelrni 5943 . . 3  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( T `  B )  e.  ~H )
10 hvsubval 24555 . . 3  |-  ( ( ( T `  A
)  e.  ~H  /\  ( T `  B )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  A )  -h  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  A )  +h  ( -u 1  .h  ( T `  B
) ) ) )
118, 9, 10syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( T `  A )  -h  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  A )  +h  ( -u 1  .h  ( T `  B
) ) ) )
124, 6, 113eqtr4d 2502 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  -h  B ) )  =  ( ( T `
 A )  -h  ( T `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   1c1 9386   -ucneg 9699   ~Hchil 24458    +h cva 24459    .h csm 24460    -h cmv 24464   LinOpclo 24486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-hilex 24538  ax-hfvadd 24539  ax-hvass 24541  ax-hv0cl 24542  ax-hvaddid 24543  ax-hfvmul 24544  ax-hvmulid 24545  ax-hvdistr2 24548  ax-hvmul0 24549
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-ltxr 9526  df-sub 9700  df-neg 9701  df-hvsub 24510  df-lnop 25382
This theorem is referenced by:  lnopsubmuli  25516  lnopmulsubi  25517  hoddii  25530  lnopeq0lem1  25546  lnophmlem2  25558  lnopconi  25575
  Copyright terms: Public domain W3C validator