HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopsubi Structured version   Unicode version

Theorem lnopsubi 27030
Description: Subtraction property for a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopl.1  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopsubi  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  -h  B ) )  =  ( ( T `
 A )  -h  ( T `  B
) ) )

Proof of Theorem lnopsubi
StepHypRef Expression
1 neg1cn 10574 . . 3  |-  -u 1  e.  CC
2 lnopl.1 . . . 4  |-  T  e. 
LinOp
32lnopaddmuli 27029 . . 3  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )  =  ( ( T `
 A )  +h  ( -u 1  .h  ( T `  B
) ) ) )
41, 3mp3an1 1309 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )  =  ( ( T `
 A )  +h  ( -u 1  .h  ( T `  B
) ) ) )
5 hvsubval 26071 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )
65fveq2d 5791 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  -h  B ) )  =  ( T `  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) ) )
72lnopfi 27025 . . . 4  |-  T : ~H
--> ~H
87ffvelrni 5945 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( T `  A )  e.  ~H )
97ffvelrni 5945 . . 3  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( T `  B )  e.  ~H )
10 hvsubval 26071 . . 3  |-  ( ( ( T `  A
)  e.  ~H  /\  ( T `  B )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  A )  -h  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  A )  +h  ( -u 1  .h  ( T `  B
) ) ) )
118, 9, 10syl2an 475 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( T `  A )  -h  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  A )  +h  ( -u 1  .h  ( T `  B
) ) ) )
124, 6, 113eqtr4d 2443 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  -h  B ) )  =  ( ( T `
 A )  -h  ( T `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   CCcc 9419   1c1 9422   -ucneg 9737   ~Hchil 25974    +h cva 25975    .h csm 25976    -h cmv 25980   LinOpclo 26002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-hilex 26054  ax-hfvadd 26055  ax-hvass 26057  ax-hv0cl 26058  ax-hvaddid 26059  ax-hfvmul 26060  ax-hvmulid 26061  ax-hvdistr2 26064  ax-hvmul0 26065
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-op 3964  df-uni 4177  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-er 7247  df-map 7358  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-ltxr 9562  df-sub 9738  df-neg 9739  df-hvsub 26026  df-lnop 26897
This theorem is referenced by:  lnopsubmuli  27031  lnopmulsubi  27032  hoddii  27045  lnopeq0lem1  27061  lnophmlem2  27073  lnopconi  27090
  Copyright terms: Public domain W3C validator