Theorem lnopmi 11562

Description: The scalar product of a linear operator is a linear operator.

Hypothesis

Ref	Expression
lnopm.1	|- T e. LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopmi	|- (A e. CC -> (A .op T) e. LinOp)

Proof of Theorem lnopmi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellnop 11421	. 2 |- ((A .op T) e. LinOp <-> ((A .op T):~H-->~H /\ A.x e. CC A.y e. ~H A.z e. ~H ((A .op T)` ((x .h y) +h z)) = ((x .h ((A .op T)` y)) +h ((A .op T)` z))))
2		lnopm.1	. . . 4 |- T e. LinOp
3	2	lnopfi 11530	. . 3 |- T:~H-->~H
4		homulcl 11322	. . 3 |- ((A e. CC /\ T:~H-->~H) -> (A .op T):~H-->~H)
5	3, 4	mpan2 760	. 2 |- (A e. CC -> (A .op T):~H-->~H)
6	2	lnopli 11529	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. CC /\ y e. ~H /\ z e. ~H) -> (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z)))
7	6	3expa 1067	. . . . . . . . 9 |- (((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H) -> (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z)))
8	7	opreq2d 4898	. . . . . . . 8 |- (((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H) -> (A .h (T` ((x .h y) +h z))) = (A .h ((x .h (T` y)) +h (T` z))))
9	8	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> (A .h (T` ((x .h y) +h z))) = (A .h ((x .h (T` y)) +h (T` z))))
10		ax-hvdistr1 10510	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (x .h (T` y)) e. ~H /\ (T` z) e. ~H) -> (A .h ((x .h (T` y)) +h (T` z))) = ((A .h (x .h (T` y))) +h (A .h (T` z))))
11		id 73	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> A e. CC)
12		hvmulcl 10515	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. CC /\ (T` y) e. ~H) -> (x .h (T` y)) e. ~H)
13	3	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . 10 |- (y e. ~H -> (T` y) e. ~H)
14	12, 13	sylan2 500	. . . . . . . . 9 |- ((x e. CC /\ y e. ~H) -> (x .h (T` y)) e. ~H)
15	3	ffvelrni 4788	. . . . . . . . 9 |- (z e. ~H -> (T` z) e. ~H)
16	10, 11, 14, 15	syl3an 1139	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ (x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H) -> (A .h ((x .h (T` y)) +h (T` z))) = ((A .h (x .h (T` y))) +h (A .h (T` z))))
17	16	3expb 1068	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> (A .h ((x .h (T` y)) +h (T` z))) = ((A .h (x .h (T` y))) +h (A .h (T` z))))
18	9, 17	eqtrd 1925	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> (A .h (T` ((x .h y) +h z))) = ((A .h (x .h (T` y))) +h (A .h (T` z))))
19		homval 11151	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ ((x .h y) +h z) e. ~H) -> ((A .op T)` ((x .h y) +h z)) = (A .h (T` ((x .h y) +h z))))
20	3, 19	mp3an2 1179	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ ((x .h y) +h z) e. ~H) -> ((A .op T)` ((x .h y) +h z)) = (A .h (T` ((x .h y) +h z))))
21		hvaddcl 10514	. . . . . . . 8 |- (((x .h y) e. ~H /\ z e. ~H) -> ((x .h y) +h z) e. ~H)
22		hvmulcl 10515	. . . . . . . 8 |- ((x e. CC /\ y e. ~H) -> (x .h y) e. ~H)
23	21, 22	sylan 497	. . . . . . 7 |- (((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H) -> ((x .h y) +h z) e. ~H)
24	20, 23	sylan2 500	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> ((A .op T)` ((x .h y) +h z)) = (A .h (T` ((x .h y) +h z))))
25		homval 11151	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ y e. ~H) -> ((A .op T)` y) = (A .h (T` y)))
26	3, 25	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ y e. ~H) -> ((A .op T)` y) = (A .h (T` y)))
27	26	adantrl 430	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> ((A .op T)` y) = (A .h (T` y)))
28	27	opreq2d 4898	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> (x .h ((A .op T)` y)) = (x .h (A .h (T` y))))
29		hvmulcom 10544	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ x e. CC /\ (T` y) e. ~H) -> (A .h (x .h (T` y))) = (x .h (A .h (T` y))))
30	29, 13	syl3an3 1132	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ x e. CC /\ y e. ~H) -> (A .h (x .h (T` y))) = (x .h (A .h (T` y))))
31	30	3expb 1068	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> (A .h (x .h (T` y))) = (x .h (A .h (T` y))))
32	28, 31	eqtr4d 1928	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> (x .h ((A .op T)` y)) = (A .h (x .h (T` y))))
33		homval 11151	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ z e. ~H) -> ((A .op T)` z) = (A .h (T` z)))
34	3, 33	mp3an2 1179	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ z e. ~H) -> ((A .op T)` z) = (A .h (T` z)))
35	32, 34	opreqan12d 4902	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ (A e. CC /\ z e. ~H)) -> ((x .h ((A .op T)` y)) +h ((A .op T)` z)) = ((A .h (x .h (T` y))) +h (A .h (T` z))))
36	35	anandis 570	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> ((x .h ((A .op T)` y)) +h ((A .op T)` z)) = ((A .h (x .h (T` y))) +h (A .h (T` z))))
37	18, 24, 36	3eqtr4d 1937	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> ((A .op T)` ((x .h y) +h z)) = ((x .h ((A .op T)` y)) +h ((A .op T)` z)))
38	37	exp32 408	. . . 4 |- (A e. CC -> ((x e. CC /\ y e. ~H) -> (z e. ~H -> ((A .op T)` ((x .h y) +h z)) = ((x .h ((A .op T)` y)) +h ((A .op T)` z)))))
39	38	r19.21adv 2181	. . 3 |- (A e. CC -> ((x e. CC /\ y e. ~H) -> A.z e. ~H ((A .op T)` ((x .h y) +h z)) = ((x .h ((A .op T)` y)) +h ((A .op T)` z))))
40	39	r19.21aivv 2183	. 2 |- (A e. CC -> A.x e. CC A.y e. ~H A.z e. ~H ((A .op T)` ((x .h y) +h z)) = ((x .h ((A .op T)` y)) +h ((A .op T)` z)))
41	1, 5, 40	sylanbrc 527	1 |- (A e. CC -> (A .op T) e. LinOp)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422   .op chot 10440  LinOpclo 10448

This theorem is referenced by:  lnophdi 11564  bdophmi 11599

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-c 6392  df-mul 6398  df-homul 11140  df-lnop 11404

Copyright terms: Public domain