Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopmi Structured version   Unicode version

Theorem lnopmi 26791
 Description: The scalar product of a linear operator is a linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopm.1
Assertion
Ref Expression
lnopmi

Proof of Theorem lnopmi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopm.1 . . . 4
21lnopfi 26760 . . 3
3 homulcl 26550 . . 3
42, 3mpan2 671 . 2
5 hvmulcl 25802 . . . . . . . 8
6 hvaddcl 25801 . . . . . . . 8
75, 6sylan 471 . . . . . . 7
8 homval 26532 . . . . . . . 8
92, 8mp3an2 1313 . . . . . . 7
107, 9sylan2 474 . . . . . 6
11 id 22 . . . . . . . . 9
122ffvelrni 6015 . . . . . . . . . 10
13 hvmulcl 25802 . . . . . . . . . 10
1412, 13sylan2 474 . . . . . . . . 9
152ffvelrni 6015 . . . . . . . . 9
16 ax-hvdistr1 25797 . . . . . . . . 9
1711, 14, 15, 16syl3an 1271 . . . . . . . 8
18173expb 1198 . . . . . . 7
191lnopli 26759 . . . . . . . . . 10
20193expa 1197 . . . . . . . . 9
2120oveq2d 6297 . . . . . . . 8
2221adantl 466 . . . . . . 7
23 homval 26532 . . . . . . . . . . . . 13
242, 23mp3an2 1313 . . . . . . . . . . . 12
2524adantrl 715 . . . . . . . . . . 11
2625oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10
27 hvmulcom 25832 . . . . . . . . . . . 12
2812, 27syl3an3 1264 . . . . . . . . . . 11
29283expb 1198 . . . . . . . . . 10
3026, 29eqtr4d 2487 . . . . . . . . 9
31 homval 26532 . . . . . . . . . 10
322, 31mp3an2 1313 . . . . . . . . 9
3330, 32oveqan12d 6300 . . . . . . . 8
3433anandis 830 . . . . . . 7
3518, 22, 343eqtr4rd 2495 . . . . . 6
3610, 35eqtr4d 2487 . . . . 5
3736exp32 605 . . . 4
3837ralrimdv 2859 . . 3
3938ralrimivv 2863 . 2
40 ellnop 26649 . 2
414, 39, 40sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  cc 9493  chil 25708   cva 25709   csm 25710   chot 25728  clo 25736 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-mulcom 9559  ax-hilex 25788  ax-hfvadd 25789  ax-hfvmul 25794  ax-hvmulass 25796  ax-hvdistr1 25797 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-map 7424  df-homul 26522  df-lnop 26632 This theorem is referenced by:  lnophdi  26793  bdophmi  26823
 Copyright terms: Public domain W3C validator