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Theorem lnopmi 26791
Description: The scalar product of a linear operator is a linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopm.1  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopmi  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .op  T )  e. 
LinOp )

Proof of Theorem lnopmi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopm.1 . . . 4  |-  T  e. 
LinOp
21lnopfi 26760 . . 3  |-  T : ~H
--> ~H
3 homulcl 26550 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A  .op  T
) : ~H --> ~H )
42, 3mpan2 671 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .op  T ) : ~H --> ~H )
5 hvmulcl 25802 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
6 hvaddcl 25801 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
75, 6sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
8 homval 26532 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( A  .h  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
92, 8mp3an2 1313 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( A  .h  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
107, 9sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( A  .h  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
11 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
122ffvelrni 6015 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
13 hvmulcl 25802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
1412, 13sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
152ffvelrni 6015 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
16 ax-hvdistr1 25797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H )  -> 
( A  .h  (
( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) )  =  ( ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y ) ) )  +h  ( A  .h  ( T `  z ) ) ) )
1711, 14, 15, 16syl3an 1271 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A  .h  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
) )  =  ( ( A  .h  (
x  .h  ( T `
 y ) ) )  +h  ( A  .h  ( T `  z ) ) ) )
18173expb 1198 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( A  .h  (
( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) )  =  ( ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y ) ) )  +h  ( A  .h  ( T `  z ) ) ) )
191lnopli 26759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )
20193expa 1197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) )
2120oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A  .h  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( A  .h  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
2221adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( A  .h  ( T `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( A  .h  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
23 homval 26532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  y )  =  ( A  .h  ( T `  y ) ) )
242, 23mp3an2 1313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  y )  =  ( A  .h  ( T `  y ) ) )
2524adantrl 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  .op  T ) `  y )  =  ( A  .h  ( T `
 y ) ) )
2625oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( ( A  .op  T ) `  y ) )  =  ( x  .h  ( A  .h  ( T `  y ) ) ) )
27 hvmulcom 25832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  ->  ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y
) ) )  =  ( x  .h  ( A  .h  ( T `  y ) ) ) )
2812, 27syl3an3 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y
) ) )  =  ( x  .h  ( A  .h  ( T `  y ) ) ) )
29283expb 1198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y )
) )  =  ( x  .h  ( A  .h  ( T `  y ) ) ) )
3026, 29eqtr4d 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( ( A  .op  T ) `  y ) )  =  ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y
) ) ) )
31 homval 26532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  z )  =  ( A  .h  ( T `  z ) ) )
322, 31mp3an2 1313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  z )  =  ( A  .h  ( T `  z ) ) )
3330, 32oveqan12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  ( A  e.  CC  /\  z  e. 
~H ) )  -> 
( ( x  .h  ( ( A  .op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `
 z ) )  =  ( ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y
) ) )  +h  ( A  .h  ( T `  z )
) ) )
3433anandis 830 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .h  ( ( A  .op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `
 z ) )  =  ( ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y
) ) )  +h  ( A  .h  ( T `  z )
) ) )
3518, 22, 343eqtr4rd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .h  ( ( A  .op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `
 z ) )  =  ( A  .h  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
3610, 35eqtr4d 2487 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( A 
.op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `  z ) ) )
3736exp32 605 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( z  e.  ~H  ->  ( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( A 
.op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `  z ) ) ) ) )
3837ralrimdv 2859 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  A. z  e.  ~H  ( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( A 
.op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `  z ) ) ) )
3938ralrimivv 2863 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( A 
.op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `  z ) ) )
40 ellnop 26649 . 2  |-  ( ( A  .op  T )  e.  LinOp 
<->  ( ( A  .op  T ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( A 
.op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  (
( A  .op  T
) `  y )
)  +h  ( ( A  .op  T ) `
 z ) ) ) )
414, 39, 40sylanbrc 664 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .op  T )  e. 
LinOp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   ~Hchil 25708    +h cva 25709    .h csm 25710    .op chot 25728   LinOpclo 25736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-mulcom 9559  ax-hilex 25788  ax-hfvadd 25789  ax-hfvmul 25794  ax-hvmulass 25796  ax-hvdistr1 25797
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-map 7424  df-homul 26522  df-lnop 26632
This theorem is referenced by:  lnophdi  26793  bdophmi  26823
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