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Theorem lnophsi 26792
Description: The sum of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1  |-  S  e. 
LinOp
lnopco.2  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnophsi  |-  ( S 
+op  T )  e. 
LinOp

Proof of Theorem lnophsi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4  |-  S  e. 
LinOp
21lnopfi 26760 . . 3  |-  S : ~H
--> ~H
3 lnopco.2 . . . 4  |-  T  e. 
LinOp
43lnopfi 26760 . . 3  |-  T : ~H
--> ~H
52, 4hoaddcli 26559 . 2  |-  ( S 
+op  T ) : ~H --> ~H
6 hvmulcl 25802 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
71lnopaddi 26762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( S `  ( x  .h  y ) )  +h  ( S `  z ) ) )
83lnopaddi 26762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( T `  ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  z ) ) )
97, 8oveq12d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  +h  ( T `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( ( ( S `  (
x  .h  y ) )  +h  ( S `
 z ) )  +h  ( ( T `
 ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
106, 9sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  +h  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) )  =  ( ( ( S `  ( x  .h  y
) )  +h  ( S `  z )
)  +h  ( ( T `  ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  z ) ) ) )
112ffvelrni 6015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  .h  y )  e.  ~H  ->  ( S `  ( x  .h  y ) )  e. 
~H )
126, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( S `  (
x  .h  y ) )  e.  ~H )
132ffvelrni 6015 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( S `  z )  e.  ~H )
1412, 13anim12i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S `
 ( x  .h  y ) )  e. 
~H  /\  ( S `  z )  e.  ~H ) )
154ffvelrni 6015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  .h  y )  e.  ~H  ->  ( T `  ( x  .h  y ) )  e. 
~H )
166, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  .h  y ) )  e.  ~H )
174ffvelrni 6015 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
1816, 17anim12i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( x  .h  y ) )  e. 
~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H ) )
19 hvadd4 25825 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S `  ( x  .h  y
) )  e.  ~H  /\  ( S `  z
)  e.  ~H )  /\  ( ( T `  ( x  .h  y
) )  e.  ~H  /\  ( T `  z
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( S `  (
x  .h  y ) )  +h  ( S `
 z ) )  +h  ( ( T `
 ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )  =  ( ( ( S `
 ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  (
x  .h  y ) ) )  +h  (
( S `  z
)  +h  ( T `
 z ) ) ) )
2014, 18, 19syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ( S `  ( x  .h  y ) )  +h  ( S `  z ) )  +h  ( ( T `  ( x  .h  y
) )  +h  ( T `  z )
) )  =  ( ( ( S `  ( x  .h  y
) )  +h  ( T `  ( x  .h  y ) ) )  +h  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) ) )
2110, 20eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  +h  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) )  =  ( ( ( S `  ( x  .h  y
) )  +h  ( T `  ( x  .h  y ) ) )  +h  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) ) )
22 hvaddcl 25801 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
236, 22sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
24 hosval 26531 . . . . . . 7  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( S  +op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( S `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  +h  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
252, 4, 24mp3an12 1315 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  ->  (
( S  +op  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( S `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  +h  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
2623, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S 
+op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( S `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  +h  ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
272ffvelrni 6015 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( S `  y )  e.  ~H )
284ffvelrni 6015 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
2927, 28jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( S `  y
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H ) )
30 ax-hvdistr1 25797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( S `  y )  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  ->  (
x  .h  ( ( S `  y )  +h  ( T `  y ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  y ) )  +h  ( x  .h  ( T `  y )
) ) )
31303expb 1198 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( S `  y )  e.  ~H  /\  ( T `  y
)  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( ( S `  y )  +h  ( T `  y )
) )  =  ( ( x  .h  ( S `  y )
)  +h  ( x  .h  ( T `  y ) ) ) )
3229, 31sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  (
( S `  y
)  +h  ( T `
 y ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `
 y ) )  +h  ( x  .h  ( T `  y
) ) ) )
33 hosval 26531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S  +op  T ) `  y )  =  ( ( S `
 y )  +h  ( T `  y
) ) )
342, 4, 33mp3an12 1315 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( S  +op  T
) `  y )  =  ( ( S `
 y )  +h  ( T `  y
) ) )
3534oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  .h  ( ( S  +op  T ) `
 y ) )  =  ( x  .h  ( ( S `  y )  +h  ( T `  y )
) ) )
3635adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  (
( S  +op  T
) `  y )
)  =  ( x  .h  ( ( S `
 y )  +h  ( T `  y
) ) ) )
371lnopmuli 26763 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( S `  (
x  .h  y ) )  =  ( x  .h  ( S `  y ) ) )
383lnopmuli 26763 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  .h  y ) )  =  ( x  .h  ( T `  y ) ) )
3937, 38oveq12d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  ( x  .h  y
) )  +h  ( T `  ( x  .h  y ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  y ) )  +h  ( x  .h  ( T `  y )
) ) )
4032, 36, 393eqtr4d 2494 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  (
( S  +op  T
) `  y )
)  =  ( ( S `  ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  ( x  .h  y
) ) ) )
41 hosval 26531 . . . . . . 7  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S  +op  T ) `  z )  =  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) )
422, 4, 41mp3an12 1315 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( S  +op  T
) `  z )  =  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) )
4340, 42oveqan12d 6300 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( ( S 
+op  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  +op  T ) `  z ) )  =  ( ( ( S `  (
x  .h  y ) )  +h  ( T `
 ( x  .h  y ) ) )  +h  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) ) )
4421, 26, 433eqtr4d 2494 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S 
+op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  (
( S  +op  T
) `  y )
)  +h  ( ( S  +op  T ) `
 z ) ) )
4544ralrimiva 2857 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  A. z  e.  ~H  ( ( S  +op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S 
+op  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  +op  T ) `  z ) ) )
4645rgen2 2868 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( S  +op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S 
+op  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  +op  T ) `  z ) )
47 ellnop 26649 . 2  |-  ( ( S  +op  T )  e.  LinOp 
<->  ( ( S  +op  T ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( S 
+op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  (
( S  +op  T
) `  y )
)  +h  ( ( S  +op  T ) `
 z ) ) ) )
485, 46, 47mpbir2an 920 1  |-  ( S 
+op  T )  e. 
LinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   ~Hchil 25708    +h cva 25709    .h csm 25710    +op chos 25727   LinOpclo 25736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-hilex 25788  ax-hfvadd 25789  ax-hvcom 25790  ax-hvass 25791  ax-hv0cl 25792  ax-hvaddid 25793  ax-hfvmul 25794  ax-hvmulid 25795  ax-hvdistr1 25797  ax-hvdistr2 25798  ax-hvmul0 25799
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-ltxr 9636  df-sub 9812  df-neg 9813  df-hvsub 25760  df-hosum 26521  df-lnop 26632
This theorem is referenced by:  lnophdi  26793  bdophsi  26887
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