Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophsi Structured version   Unicode version

Theorem lnophsi 26792
 Description: The sum of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1
lnopco.2
Assertion
Ref Expression
lnophsi

Proof of Theorem lnophsi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4
21lnopfi 26760 . . 3
3 lnopco.2 . . . 4
43lnopfi 26760 . . 3
6 hvmulcl 25802 . . . . . . 7
71lnopaddi 26762 . . . . . . . 8
83lnopaddi 26762 . . . . . . . 8
97, 8oveq12d 6299 . . . . . . 7
106, 9sylan 471 . . . . . 6
112ffvelrni 6015 . . . . . . . . 9
126, 11syl 16 . . . . . . . 8
132ffvelrni 6015 . . . . . . . 8
1412, 13anim12i 566 . . . . . . 7
154ffvelrni 6015 . . . . . . . . 9
166, 15syl 16 . . . . . . . 8
174ffvelrni 6015 . . . . . . . 8
1816, 17anim12i 566 . . . . . . 7
19 hvadd4 25825 . . . . . . 7
2014, 18, 19syl2anc 661 . . . . . 6
2110, 20eqtrd 2484 . . . . 5
22 hvaddcl 25801 . . . . . . 7
236, 22sylan 471 . . . . . 6
24 hosval 26531 . . . . . . 7
252, 4, 24mp3an12 1315 . . . . . 6
2623, 25syl 16 . . . . 5
272ffvelrni 6015 . . . . . . . . 9
284ffvelrni 6015 . . . . . . . . 9
2927, 28jca 532 . . . . . . . 8
30 ax-hvdistr1 25797 . . . . . . . . 9
31303expb 1198 . . . . . . . 8
3229, 31sylan2 474 . . . . . . 7
33 hosval 26531 . . . . . . . . . 10
342, 4, 33mp3an12 1315 . . . . . . . . 9
3534oveq2d 6297 . . . . . . . 8
3635adantl 466 . . . . . . 7
371lnopmuli 26763 . . . . . . . 8
383lnopmuli 26763 . . . . . . . 8
3937, 38oveq12d 6299 . . . . . . 7
4032, 36, 393eqtr4d 2494 . . . . . 6
41 hosval 26531 . . . . . . 7
422, 4, 41mp3an12 1315 . . . . . 6
4340, 42oveqan12d 6300 . . . . 5
4421, 26, 433eqtr4d 2494 . . . 4
4544ralrimiva 2857 . . 3
4645rgen2 2868 . 2
47 ellnop 26649 . 2
485, 46, 47mpbir2an 920 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  cc 9493  chil 25708   cva 25709   csm 25710   chos 25727  clo 25736 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-hilex 25788  ax-hfvadd 25789  ax-hvcom 25790  ax-hvass 25791  ax-hv0cl 25792  ax-hvaddid 25793  ax-hfvmul 25794  ax-hvmulid 25795  ax-hvdistr1 25797  ax-hvdistr2 25798  ax-hvmul0 25799 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-ltxr 9636  df-sub 9812  df-neg 9813  df-hvsub 25760  df-hosum 26521  df-lnop 26632 This theorem is referenced by:  lnophdi  26793  bdophsi  26887
 Copyright terms: Public domain W3C validator