Theorem lnophmi 11580

Description: A linear operator is Hermitian if x .ih (T` x) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195.

Hypotheses

Ref	Expression
lnophm.1	|- T e. LinOp
lnophm.2	|- A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR

Assertion

Ref	Expression
lnophmi	|- T e. HrmOp

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem lnophmi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elhmop 11437	. 2 |- (T e. HrmOp <-> (T:~H-->~H /\ A.y e. ~H A.z e. ~H (y .ih (T` z)) = ((T` y) .ih z)))
2		lnophm.1	. . 3 |- T e. LinOp
3	2	lnopfi 11530	. 2 |- T:~H-->~H
4		opreq1 4889	. . . . 5 |- (y = if(y e. ~H, y, 0h) -> (y .ih (T` z)) = (if(y e. ~H, y, 0h) .ih (T` z)))
5		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (y = if(y e. ~H, y, 0h) -> (T` y) = (T` if(y e. ~H, y, 0h)))
6	5	opreq1d 4897	. . . . 5 |- (y = if(y e. ~H, y, 0h) -> ((T` y) .ih z) = ((T` if(y e. ~H, y, 0h)) .ih z))
7	4, 6	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (y = if(y e. ~H, y, 0h) -> ((y .ih (T` z)) = ((T` y) .ih z) <-> (if(y e. ~H, y, 0h) .ih (T` z)) = ((T` if(y e. ~H, y, 0h)) .ih z)))
8		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (z = if(z e. ~H, z, 0h) -> (T` z) = (T` if(z e. ~H, z, 0h)))
9	8	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (z = if(z e. ~H, z, 0h) -> (if(y e. ~H, y, 0h) .ih (T` z)) = (if(y e. ~H, y, 0h) .ih (T` if(z e. ~H, z, 0h))))
10		opreq2 4890	. . . . 5 |- (z = if(z e. ~H, z, 0h) -> ((T` if(y e. ~H, y, 0h)) .ih z) = ((T` if(y e. ~H, y, 0h)) .ih if(z e. ~H, z, 0h)))
11	9, 10	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (z = if(z e. ~H, z, 0h) -> ((if(y e. ~H, y, 0h) .ih (T` z)) = ((T` if(y e. ~H, y, 0h)) .ih z) <-> (if(y e. ~H, y, 0h) .ih (T` if(z e. ~H, z, 0h))) = ((T` if(y e. ~H, y, 0h)) .ih if(z e. ~H, z, 0h))))
12		ax-hv0cl 10505	. . . . . 6 |- 0h e. ~H
13	12	elimel 3025	. . . . 5 |- if(y e. ~H, y, 0h) e. ~H
14	12	elimel 3025	. . . . 5 |- if(z e. ~H, z, 0h) e. ~H
15		lnophm.2	. . . . 5 |- A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR
16	13, 14, 2, 15	lnophmlem2 11579	. . . 4 |- (if(y e. ~H, y, 0h) .ih (T` if(z e. ~H, z, 0h))) = ((T` if(y e. ~H, y, 0h)) .ih if(z e. ~H, z, 0h))
17	7, 11, 16	dedth2h 3015	. . 3 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (y .ih (T` z)) = ((T` y) .ih z))
18	17	rgen2a 2160	. 2 |- A.y e. ~H A.z e. ~H (y .ih (T` z)) = ((T` y) .ih z)
19	1, 3, 18	mpbir2an 800	1 |- T e. HrmOp

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  ifcif 2982  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  ~Hchil 10420  0hc0v 10423   .ih csp 10425  LinOpclo 10448  HrmOpcho 10451

This theorem is referenced by:  lnophm 11581

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-hvsub 10472  df-lnop 11404  df-hmop 11407

Copyright terms: Public domain