Theorem lnophm 11581

Description: A linear operator is Hermitian if x .ih (T` x) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195.

Assertion

Ref	Expression
lnophm	|- ((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR) -> T e. HrmOp)

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem lnophm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1957	. 2 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) -> (T e. HrmOp <-> if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) e. HrmOp))
2		eleq1 1957	. . . . . 6 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) -> (T e. LinOp <-> if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) e. LinOp))
3		fveq1 4680	. . . . . . . . . 10 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) -> (T` y) = (if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H))` y))
4	3	opreq2d 4898	. . . . . . . . 9 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) -> (y .ih (T` y)) = (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H))` y)))
5	4	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) -> ((y .ih (T` y)) e. RR <-> (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H))` y)) e. RR))
6	5	ralbidv 2123	. . . . . . 7 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) -> (A.y e. ~H (y .ih (T` y)) e. RR <-> A.y e. ~H (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H))` y)) e. RR))
7		id 73	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> x = y)
8		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> (T` x) = (T` y))
9	7, 8	opreq12d 4900	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (x .ih (T` x)) = (y .ih (T` y)))
10	9	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- (x = y -> ((x .ih (T` x)) e. RR <-> (y .ih (T` y)) e. RR))
11	10	cbvralv 2280	. . . . . . 7 |- (A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR <-> A.y e. ~H (y .ih (T` y)) e. RR)
12	6, 11	syl5bb 591	. . . . . 6 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) -> (A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR <-> A.y e. ~H (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H))` y)) e. RR))
13	2, 12	anbi12d 690	. . . . 5 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) -> ((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR) <-> (if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) e. LinOp /\ A.y e. ~H (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H))` y)) e. RR)))
14		eleq1 1957	. . . . . 6 |- (( _I |` ~H) = if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) -> (( _I |` ~H) e. LinOp <-> if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) e. LinOp))
15		fveq1 4680	. . . . . . . . 9 |- (( _I |` ~H) = if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) -> (( _I |` ~H)` y) = (if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H))` y))
16	15	opreq2d 4898	. . . . . . . 8 |- (( _I |` ~H) = if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) -> (y .ih (( _I |` ~H)` y)) = (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H))` y)))
17	16	eleq1d 1963	. . . . . . 7 |- (( _I |` ~H) = if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) -> ((y .ih (( _I |` ~H)` y)) e. RR <-> (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H))` y)) e. RR))
18	17	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (( _I |` ~H) = if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) -> (A.y e. ~H (y .ih (( _I |` ~H)` y)) e. RR <-> A.y e. ~H (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H))` y)) e. RR))
19	14, 18	anbi12d 690	. . . . 5 |- (( _I |` ~H) = if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) -> ((( _I |` ~H) e. LinOp /\ A.y e. ~H (y .ih (( _I |` ~H)` y)) e. RR) <-> (if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) e. LinOp /\ A.y e. ~H (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H))` y)) e. RR)))
20		idlnop 11554	. . . . . 6 |- ( _I |` ~H) e. LinOp
21		fvresi 4819	. . . . . . . . 9 |- (y e. ~H -> (( _I |` ~H)` y) = y)
22	21	opreq2d 4898	. . . . . . . 8 |- (y e. ~H -> (y .ih (( _I |` ~H)` y)) = (y .ih y))
23		hiidrcl 10594	. . . . . . . 8 |- (y e. ~H -> (y .ih y) e. RR)
24	22, 23	eqeltrd 1971	. . . . . . 7 |- (y e. ~H -> (y .ih (( _I |` ~H)` y)) e. RR)
25	24	rgen 2159	. . . . . 6 |- A.y e. ~H (y .ih (( _I |` ~H)` y)) e. RR
26	20, 25	pm3.2i 307	. . . . 5 |- (( _I |` ~H) e. LinOp /\ A.y e. ~H (y .ih (( _I |` ~H)` y)) e. RR)
27	13, 19, 26	elimhyp 3021	. . . 4 |- (if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) e. LinOp /\ A.y e. ~H (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H))` y)) e. RR)
28	27	simpli 347	. . 3 |- if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) e. LinOp
29	27	simpri 351	. . 3 |- A.y e. ~H (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H))` y)) e. RR
30	28, 29	lnophmi 11580	. 2 |- if((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR), T, ( _I |` ~H)) e. HrmOp
31	1, 30	dedth 3011	1 |- ((T e. LinOp /\ A.x e. ~H (x .ih (T` x)) e. RR) -> T e. HrmOp)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  ifcif 2982   _I cid 3582   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  ~Hchil 10420   .ih csp 10425  LinOpclo 10448  HrmOpcho 10451

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-hvsub 10472  df-lnop 11404  df-unop 11406  df-hmop 11407

Copyright terms: Public domain