HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0lem2 Structured version   Unicode version

Theorem lnopeq0lem2 27338
Description: Lemma for lnopeq0i 27339. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopeq0.1  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopeq0lem2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( T `  A )  .ih  B
)  =  ( ( ( ( ( T `
 ( A  +h  B ) )  .ih  ( A  +h  B
) )  -  (
( T `  ( A  -h  B ) ) 
.ih  ( A  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( A  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
) )

Proof of Theorem lnopeq0lem2
StepHypRef Expression
1 fveq2 5849 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  A )  =  ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
21oveq1d 6293 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  A
)  .ih  B )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  B ) )
3 oveq1 6285 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  +h  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )
43fveq2d 5853 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  ( A  +h  B ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) ) )
54, 3oveq12d 6296 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  ( A  +h  B ) ) 
.ih  ( A  +h  B ) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) ) )
6 oveq1 6285 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  -h  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )
76fveq2d 5853 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  ( A  -h  B ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) ) )
87, 6oveq12d 6296 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  ( A  -h  B ) ) 
.ih  ( A  -h  B ) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) ) )
95, 8oveq12d 6296 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( T `  ( A  +h  B
) )  .ih  ( A  +h  B ) )  -  ( ( T `
 ( A  -h  B ) )  .ih  ( A  -h  B
) ) )  =  ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) ) )
10 oveq1 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  +h  ( _i  .h  B ) )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )
1110fveq2d 5853 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) ) )
1211, 10oveq12d 6296 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  ( A  +h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) ) )
13 oveq1 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  -h  ( _i  .h  B ) )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )
1413fveq2d 5853 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) )
1514, 13oveq12d 6296 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) )
1612, 15oveq12d 6296 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( T `  ( A  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( A  +h  ( _i  .h  B ) ) )  -  ( ( T `
 ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( A  -h  (
_i  .h  B )
) ) )  =  ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) ) ) )
1716oveq2d 6294 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
_i  x.  ( (
( T `  ( A  +h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( A  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) ) ) ) )
189, 17oveq12d 6296 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( ( T `
 ( A  +h  B ) )  .ih  ( A  +h  B
) )  -  (
( T `  ( A  -h  B ) ) 
.ih  ( A  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( A  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) ) )
1918oveq1d 6293 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( ( ( T `  ( A  +h  B ) ) 
.ih  ( A  +h  B ) )  -  ( ( T `  ( A  -h  B
) )  .ih  ( A  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `  ( A  +h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( A  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) ) ) )  / 
4 )  =  ( ( ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
) )
202, 19eqeq12d 2424 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( T `  A )  .ih  B
)  =  ( ( ( ( ( T `
 ( A  +h  B ) )  .ih  ( A  +h  B
) )  -  (
( T `  ( A  -h  B ) ) 
.ih  ( A  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( A  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
)  <->  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  B )  =  ( ( ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
) ) )
21 oveq2 6286 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
22 oveq2 6286 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
2322fveq2d 5853 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) )
2423, 22oveq12d 6296 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
25 oveq2 6286 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
2625fveq2d 5853 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) )
2726, 25oveq12d 6296 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
2824, 27oveq12d 6296 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) ) )  =  ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) )
29 oveq2 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
_i  .h  B )  =  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
3029oveq2d 6294 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )
3130fveq2d 5853 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) )
3231, 30oveq12d 6296 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) ) )
3329oveq2d 6294 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )
3433fveq2d 5853 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) )
3534, 33oveq12d 6296 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) ) )
3632, 35oveq12d 6296 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) )  =  ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) ) ) )
3736oveq2d 6294 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
_i  x.  ( (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) ) ) ) )
3828, 37oveq12d 6296 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) ) ) ) )
3938oveq1d 6293 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
)  =  ( ( ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) ) ) )  /  4
) )
4021, 39eqeq12d 2424 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  =  ( ( ( ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) ) ) ) )  /  4 )  <-> 
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( ( ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) ) ) )  /  4
) ) )
41 lnopeq0.1 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
42 ifhvhv0 26353 . . 3  |-  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ~H
43 ifhvhv0 26353 . . 3  |-  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  e.  ~H
4441, 42, 43lnopeq0lem1 27337 . 2  |-  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( ( ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) ) ) )  /  4
)
4520, 40, 44dedth2h 3937 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( T `  A )  .ih  B
)  =  ( ( ( ( ( T `
 ( A  +h  B ) )  .ih  ( A  +h  B
) )  -  (
( T `  ( A  -h  B ) ) 
.ih  ( A  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( A  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   ifcif 3885   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   _ici 9524    + caddc 9525    x. cmul 9527    - cmin 9841    / cdiv 10247   4c4 10628   ~Hchil 26250    +h cva 26251    .h csm 26252    .ih csp 26253   0hc0v 26255    -h cmv 26256   LinOpclo 26278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-hilex 26330  ax-hfvadd 26331  ax-hvass 26333  ax-hv0cl 26334  ax-hvaddid 26335  ax-hfvmul 26336  ax-hvmulid 26337  ax-hvdistr2 26340  ax-hvmul0 26341  ax-hfi 26410  ax-his1 26413  ax-his2 26414  ax-his3 26415
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-hvsub 26302  df-lnop 27173
This theorem is referenced by:  lnopeq0i  27339
  Copyright terms: Public domain W3C validator