Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopconi Structured version   Unicode version

Theorem lnopconi 27685
 Description: A condition equivalent to " is continuous" when is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopcon.1
Assertion
Ref Expression
lnopconi
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem lnopconi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopcon.1 . . 3
2 nmcopex 27680 . . 3
31, 2mpan 674 . 2
4 nmcoplb 27681 . . 3
51, 4mp3an1 1347 . 2
61lnopfi 27620 . . 3
7 elcnop 27508 . . 3
86, 7mpbiran 926 . 2
96ffvelrni 6036 . . 3
10 normcl 26776 . . 3
119, 10syl 17 . 2
121lnopsubi 27625 . 2
133, 5, 8, 11, 12lnconi 27684 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wcel 1872  wral 2771  wrex 2772   class class class wbr 4423  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cr 9545   cmul 9551   clt 9682   cle 9683  crp 11309  chil 26570  cno 26574   cmv 26576  cnop 26596  ccop 26597  clo 26598 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-hilex 26650  ax-hfvadd 26651  ax-hvcom 26652  ax-hvass 26653  ax-hv0cl 26654  ax-hvaddid 26655  ax-hfvmul 26656  ax-hvmulid 26657  ax-hvmulass 26658  ax-hvdistr1 26659  ax-hvdistr2 26660  ax-hvmul0 26661  ax-hfi 26730  ax-his1 26733  ax-his2 26734  ax-his3 26735  ax-his4 26736 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-seq 12220  df-exp 12279  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-grpo 25917  df-gid 25918  df-ablo 26008  df-vc 26163  df-nv 26209  df-va 26212  df-ba 26213  df-sm 26214  df-0v 26215  df-nmcv 26217  df-hnorm 26619  df-hba 26620  df-hvsub 26622  df-nmop 27490  df-cnop 27491  df-lnop 27492  df-unop 27494 This theorem is referenced by:  lnopcon  27686  cnlnadjlem8  27725
 Copyright terms: Public domain W3C validator