HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopconi Structured version   Unicode version

Theorem lnopconi 27352
Description: A condition equivalent to " T is continuous" when  T is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopcon.1  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopconi  |-  ( T  e.  ConOp 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem lnopconi
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopcon.1 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
2 nmcopex 27347 . . 3  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  T  e.  ConOp )  ->  ( normop `  T )  e.  RR )
31, 2mpan 668 . 2  |-  ( T  e.  ConOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
4 nmcoplb 27348 . . 3  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  T  e.  ConOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  y
) )  <_  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
) )
51, 4mp3an1 1313 . 2  |-  ( ( T  e.  ConOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  y ) ) )
61lnopfi 27287 . . 3  |-  T : ~H
--> ~H
7 elcnop 27175 . . 3  |-  ( T  e.  ConOp 
<->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( normh `  ( ( T `  w )  -h  ( T `  x
) ) )  < 
z ) ) )
86, 7mpbiran 919 . 2  |-  ( T  e.  ConOp 
<-> 
A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( normh `  ( ( T `  w )  -h  ( T `  x
) ) )  < 
z ) )
96ffvelrni 6007 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
10 normcl 26442 . . 3  |-  ( ( T `  y )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  e.  RR )
119, 10syl 17 . 2  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  e.  RR )
121lnopsubi 27292 . 2  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  (
w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w )  -h  ( T `  x ) ) )
133, 5, 8, 11, 12lnconi 27351 1  |-  ( T  e.  ConOp 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   class class class wbr 4394   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   RRcr 9520    x. cmul 9526    < clt 9657    <_ cle 9658   RR+crp 11264   ~Hchil 26236   normhcno 26240    -h cmv 26242   normopcnop 26262   ConOpccop 26263   LinOpclo 26264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-hilex 26316  ax-hfvadd 26317  ax-hvcom 26318  ax-hvass 26319  ax-hv0cl 26320  ax-hvaddid 26321  ax-hfvmul 26322  ax-hvmulid 26323  ax-hvmulass 26324  ax-hvdistr1 26325  ax-hvdistr2 26326  ax-hvmul0 26327  ax-hfi 26396  ax-his1 26399  ax-his2 26400  ax-his3 26401  ax-his4 26402
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-grpo 25593  df-gid 25594  df-ablo 25684  df-vc 25839  df-nv 25885  df-va 25888  df-ba 25889  df-sm 25890  df-0v 25891  df-nmcv 25893  df-hnorm 26285  df-hba 26286  df-hvsub 26288  df-nmop 27157  df-cnop 27158  df-lnop 27159  df-unop 27161
This theorem is referenced by:  lnopcon  27353  cnlnadjlem8  27392
  Copyright terms: Public domain W3C validator