HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopconi Structured version   Unicode version

Theorem lnopconi 27685
Description: A condition equivalent to " T is continuous" when  T is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopcon.1  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopconi  |-  ( T  e.  ConOp 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem lnopconi
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopcon.1 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
2 nmcopex 27680 . . 3  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  T  e.  ConOp )  ->  ( normop `  T )  e.  RR )
31, 2mpan 674 . 2  |-  ( T  e.  ConOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
4 nmcoplb 27681 . . 3  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  T  e.  ConOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  y
) )  <_  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
) )
51, 4mp3an1 1347 . 2  |-  ( ( T  e.  ConOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  y ) ) )
61lnopfi 27620 . . 3  |-  T : ~H
--> ~H
7 elcnop 27508 . . 3  |-  ( T  e.  ConOp 
<->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( normh `  ( ( T `  w )  -h  ( T `  x
) ) )  < 
z ) ) )
86, 7mpbiran 926 . 2  |-  ( T  e.  ConOp 
<-> 
A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( normh `  ( ( T `  w )  -h  ( T `  x
) ) )  < 
z ) )
96ffvelrni 6036 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
10 normcl 26776 . . 3  |-  ( ( T `  y )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  e.  RR )
119, 10syl 17 . 2  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  e.  RR )
121lnopsubi 27625 . 2  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  (
w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w )  -h  ( T `  x ) ) )
133, 5, 8, 11, 12lnconi 27684 1  |-  ( T  e.  ConOp 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   class class class wbr 4423   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9545    x. cmul 9551    < clt 9682    <_ cle 9683   RR+crp 11309   ~Hchil 26570   normhcno 26574    -h cmv 26576   normopcnop 26596   ConOpccop 26597   LinOpclo 26598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-hilex 26650  ax-hfvadd 26651  ax-hvcom 26652  ax-hvass 26653  ax-hv0cl 26654  ax-hvaddid 26655  ax-hfvmul 26656  ax-hvmulid 26657  ax-hvmulass 26658  ax-hvdistr1 26659  ax-hvdistr2 26660  ax-hvmul0 26661  ax-hfi 26730  ax-his1 26733  ax-his2 26734  ax-his3 26735  ax-his4 26736
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-seq 12220  df-exp 12279  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-grpo 25917  df-gid 25918  df-ablo 26008  df-vc 26163  df-nv 26209  df-va 26212  df-ba 26213  df-sm 26214  df-0v 26215  df-nmcv 26217  df-hnorm 26619  df-hba 26620  df-hvsub 26622  df-nmop 27490  df-cnop 27491  df-lnop 27492  df-unop 27494
This theorem is referenced by:  lnopcon  27686  cnlnadjlem8  27725
  Copyright terms: Public domain W3C validator