Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopcoi Structured version   Unicode version

Theorem lnopcoi 26794
 Description: The composition of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1
lnopco.2
Assertion
Ref Expression
lnopcoi

Proof of Theorem lnopcoi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4
21lnopfi 26760 . . 3
3 lnopco.2 . . . 4
43lnopfi 26760 . . 3
52, 4hocofi 26557 . 2
63lnopli 26759 . . . . . . . 8
76fveq2d 5860 . . . . . . 7
8 id 22 . . . . . . . 8
94ffvelrni 6015 . . . . . . . 8
104ffvelrni 6015 . . . . . . . 8
111lnopli 26759 . . . . . . . 8
128, 9, 10, 11syl3an 1271 . . . . . . 7
137, 12eqtrd 2484 . . . . . 6
14133expa 1197 . . . . 5
15 hvmulcl 25802 . . . . . . 7
16 hvaddcl 25801 . . . . . . 7
1715, 16sylan 471 . . . . . 6
182, 4hocoi 26555 . . . . . 6
1917, 18syl 16 . . . . 5
202, 4hocoi 26555 . . . . . . . 8
2120oveq2d 6297 . . . . . . 7
2221adantl 466 . . . . . 6
232, 4hocoi 26555 . . . . . 6
2422, 23oveqan12d 6300 . . . . 5
2514, 19, 243eqtr4d 2494 . . . 4
26253impa 1192 . . 3
2726rgen3 2869 . 2
28 ellnop 26649 . 2
295, 27, 28mpbir2an 920 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793   ccom 4993  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  cc 9493  chil 25708   cva 25709   csm 25710  clo 25736 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-hilex 25788  ax-hfvadd 25789  ax-hfvmul 25794 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-map 7424  df-lnop 26632 This theorem is referenced by:  lnopco0i  26795  nmopcoi  26886  bdopcoi  26889  nmopcoadj0i  26894
 Copyright terms: Public domain W3C validator