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Theorem lnopcoi 25358
Description: The composition of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1  |-  S  e. 
LinOp
lnopco.2  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopcoi  |-  ( S  o.  T )  e. 
LinOp

Proof of Theorem lnopcoi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4  |-  S  e. 
LinOp
21lnopfi 25324 . . 3  |-  S : ~H
--> ~H
3 lnopco.2 . . . 4  |-  T  e. 
LinOp
43lnopfi 25324 . . 3  |-  T : ~H
--> ~H
52, 4hocofi 25121 . 2  |-  ( S  o.  T ) : ~H --> ~H
63lnopli 25323 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )
76fveq2d 5690 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( S `  (
( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) ) )
8 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
94ffvelrni 5837 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
104ffvelrni 5837 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
111lnopli 25323 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y )  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H )  ->  ( S `  ( (
x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  ( T `  y ) ) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
128, 9, 10, 11syl3an 1260 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  ( (
x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  ( T `  y ) ) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
137, 12eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  ( T `  y )
) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
14133expa 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `
 ( T `  y ) ) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
15 hvmulcl 24366 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
16 hvaddcl 24365 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
1715, 16sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
182, 4hocoi 25119 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( S `  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S  o.  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( S `  ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
202, 4hocoi 25119 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  y )  =  ( S `  ( T `  y ) ) )
2120oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  .h  ( ( S  o.  T ) `
 y ) )  =  ( x  .h  ( S `  ( T `  y )
) ) )
2221adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  (
( S  o.  T
) `  y )
)  =  ( x  .h  ( S `  ( T `  y ) ) ) )
232, 4hocoi 25119 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  z )  =  ( S `  ( T `  z ) ) )
2422, 23oveqan12d 6105 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( ( S  o.  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  o.  T ) `  z
) )  =  ( ( x  .h  ( S `  ( T `  y ) ) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
2514, 19, 243eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S  o.  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  (
( S  o.  T
) `  y )
)  +h  ( ( S  o.  T ) `
 z ) ) )
26253impa 1182 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( S  o.  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S  o.  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  o.  T ) `  z
) ) )
2726rgen3 2808 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( S  o.  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S  o.  T ) `
 y ) )  +h  ( ( S  o.  T ) `  z ) )
28 ellnop 25213 . 2  |-  ( ( S  o.  T )  e.  LinOp 
<->  ( ( S  o.  T ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( S  o.  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S  o.  T ) `
 y ) )  +h  ( ( S  o.  T ) `  z ) ) ) )
295, 27, 28mpbir2an 911 1  |-  ( S  o.  T )  e. 
LinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    o. ccom 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   ~Hchil 24272    +h cva 24273    .h csm 24274   LinOpclo 24300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-hilex 24352  ax-hfvadd 24353  ax-hfvmul 24358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-map 7208  df-lnop 25196
This theorem is referenced by:  lnopco0i  25359  nmopcoi  25450  bdopcoi  25453  nmopcoadj0i  25458
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