Theorem lnop0 11527

Description: The value of a linear Hilbert space operator at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99.

Assertion

Ref	Expression
lnop0	|- (T e. LinOp -> (T` 0h) = 0h)

Proof of Theorem lnop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 6422	. . . . . 6 |- 1 e. CC
2		ax-hv0cl 10505	. . . . . . 7 |- 0h e. ~H
3		lnopl 11475	. . . . . . 7 |- (((T e. LinOp /\ 1 e. CC) /\ (0h e. ~H /\ 0h e. ~H)) -> (T` ((1 .h 0h) +h 0h)) = ((1 .h (T` 0h)) +h (T` 0h)))
4	2, 2, 3	mpanr12 778	. . . . . 6 |- ((T e. LinOp /\ 1 e. CC) -> (T` ((1 .h 0h) +h 0h)) = ((1 .h (T` 0h)) +h (T` 0h)))
5	1, 4	mpan2 760	. . . . 5 |- (T e. LinOp -> (T` ((1 .h 0h) +h 0h)) = ((1 .h (T` 0h)) +h (T` 0h)))
6	1, 2	hvmulcli 10516	. . . . . . . 8 |- (1 .h 0h) e. ~H
7		ax-hvaddid 10506	. . . . . . . 8 |- ((1 .h 0h) e. ~H -> ((1 .h 0h) +h 0h) = (1 .h 0h))
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ((1 .h 0h) +h 0h) = (1 .h 0h)
9		ax-hvmulid 10508	. . . . . . . 8 |- (0h e. ~H -> (1 .h 0h) = 0h)
10	2, 9	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (1 .h 0h) = 0h
11	8, 10	eqtri 1908	. . . . . 6 |- ((1 .h 0h) +h 0h) = 0h
12	11	fveq2i 4684	. . . . 5 |- (T` ((1 .h 0h) +h 0h)) = (T` 0h)
13	5, 12	syl5eqr 1942	. . . 4 |- (T e. LinOp -> (T` 0h) = ((1 .h (T` 0h)) +h (T` 0h)))
14		lnopf 11422	. . . . . . 7 |- (T e. LinOp -> T:~H-->~H)
15		ffvelrn 4787	. . . . . . . 8 |- ((T:~H-->~H /\ 0h e. ~H) -> (T` 0h) e. ~H)
16	2, 15	mpan2 760	. . . . . . 7 |- (T:~H-->~H -> (T` 0h) e. ~H)
17	14, 16	syl 12	. . . . . 6 |- (T e. LinOp -> (T` 0h) e. ~H)
18		ax-hvmulid 10508	. . . . . 6 |- ((T` 0h) e. ~H -> (1 .h (T` 0h)) = (T` 0h))
19	17, 18	syl 12	. . . . 5 |- (T e. LinOp -> (1 .h (T` 0h)) = (T` 0h))
20	19	opreq1d 4897	. . . 4 |- (T e. LinOp -> ((1 .h (T` 0h)) +h (T` 0h)) = ((T` 0h) +h (T` 0h)))
21	13, 20	eqtrd 1925	. . 3 |- (T e. LinOp -> (T` 0h) = ((T` 0h) +h (T` 0h)))
22	21	opreq1d 4897	. 2 |- (T e. LinOp -> ((T` 0h) -h (T` 0h)) = (((T` 0h) +h (T` 0h)) -h (T` 0h)))
23		hvsubid 10527	. . 3 |- ((T` 0h) e. ~H -> ((T` 0h) -h (T` 0h)) = 0h)
24	17, 23	syl 12	. 2 |- (T e. LinOp -> ((T` 0h) -h (T` 0h)) = 0h)
25		hvpncan 10540	. . . 4 |- (((T` 0h) e. ~H /\ (T` 0h) e. ~H) -> (((T` 0h) +h (T` 0h)) -h (T` 0h)) = (T` 0h))
26	25	anidms 480	. . 3 |- ((T` 0h) e. ~H -> (((T` 0h) +h (T` 0h)) -h (T` 0h)) = (T` 0h))
27	17, 26	syl 12	. 2 |- (T e. LinOp -> (((T` 0h) +h (T` 0h)) -h (T` 0h)) = (T` 0h))
28	22, 24, 27	3eqtr3rd 1936	1 |- (T e. LinOp -> (T` 0h) = 0h)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422  0hc0v 10423   -h cmv 10424  LinOpclo 10448

This theorem is referenced by:  lnopmul 11528  lnop0i 11531

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-hvsub 10472  df-lnop 11404

Copyright terms: Public domain