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Theorem lnomul 24160
Description: Scalar multiplication property of a linear operator. (Contributed by NM, 5-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnomul.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
lnomul.5  |-  R  =  ( .sOLD `  U )
lnomul.6  |-  S  =  ( .sOLD `  W )
lnomul.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
lnomul  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( T `  ( A R B ) )  =  ( A S ( T `  B
) ) )

Proof of Theorem lnomul
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L ) )
2 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  A  e.  CC )
3 simprr 756 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  B  e.  X )
4 simpl1 991 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
5 lnomul.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
6 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
75, 6nvzcl 24014 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  U
)  e.  X )
84, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( 0vec `  U )  e.  X )
9 eqid 2443 . . . 4  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
10 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
11 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
12 lnomul.5 . . . 4  |-  R  =  ( .sOLD `  U )
13 lnomul.6 . . . 4  |-  S  =  ( .sOLD `  W )
14 lnomul.7 . . . 4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
155, 9, 10, 11, 12, 13, 14lnolin 24154 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  ( 0vec `  U )  e.  X ) )  -> 
( T `  (
( A R B ) ( +v `  U ) ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( A S ( T `  B ) ) ( +v `  W ) ( T `  ( 0vec `  U ) ) ) )
161, 2, 3, 8, 15syl13anc 1220 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( T `  (
( A R B ) ( +v `  U ) ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( A S ( T `  B ) ) ( +v `  W ) ( T `  ( 0vec `  U ) ) ) )
175, 12nvscl 24006 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( A R B )  e.  X )
184, 2, 3, 17syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A R B )  e.  X )
195, 10, 6nv0rid 24015 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A R B )  e.  X )  ->  (
( A R B ) ( +v `  U ) ( 0vec `  U ) )  =  ( A R B ) )
204, 18, 19syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A R B ) ( +v
`  U ) (
0vec `  U )
)  =  ( A R B ) )
2120fveq2d 5695 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( T `  (
( A R B ) ( +v `  U ) ( 0vec `  U ) ) )  =  ( T `  ( A R B ) ) )
22 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
235, 9, 6, 22, 14lno0 24156 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T `  ( 0vec `  U ) )  =  ( 0vec `  W
) )
2423oveq2d 6107 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( A S ( T `  B ) ) ( +v `  W ) ( T `
 ( 0vec `  U
) ) )  =  ( ( A S ( T `  B
) ) ( +v
`  W ) (
0vec `  W )
) )
2524adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A S ( T `  B
) ) ( +v
`  W ) ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( A S ( T `  B ) ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) ) )
26 simpl2 992 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  W  e.  NrmCVec )
275, 9, 14lnof 24155 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
2827adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W ) )
2928, 3ffvelrnd 5844 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( T `  B
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
309, 13nvscl 24006 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  A  e.  CC  /\  ( T `
 B )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( A S ( T `  B ) )  e.  ( BaseSet `  W )
)
3126, 2, 29, 30syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A S ( T `  B ) )  e.  ( BaseSet `  W ) )
329, 11, 22nv0rid 24015 . . . 4  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( A S ( T `  B ) )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( A S ( T `  B ) ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) )  =  ( A S ( T `
 B ) ) )
3326, 31, 32syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A S ( T `  B
) ) ( +v
`  W ) (
0vec `  W )
)  =  ( A S ( T `  B ) ) )
3425, 33eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A S ( T `  B
) ) ( +v
`  W ) ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( A S ( T `  B
) ) )
3516, 21, 343eqtr3d 2483 1  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( T `  ( A R B ) )  =  ( A S ( T `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   NrmCVeccnv 23962   +vcpv 23963   BaseSetcba 23964   .sOLDcns 23965   0veccn0v 23966    LnOp clno 24140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-ltxr 9423  df-sub 9597  df-neg 9598  df-grpo 23678  df-gid 23679  df-ginv 23680  df-ablo 23769  df-vc 23924  df-nv 23970  df-va 23973  df-ba 23974  df-sm 23975  df-0v 23976  df-nmcv 23978  df-lno 24144
This theorem is referenced by:  nmlno0lem  24193  nmblolbii  24199  blocnilem  24204  ubthlem2  24272
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