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Theorem lnomul 26246
Description: Scalar multiplication property of a linear operator. (Contributed by NM, 5-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnomul.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
lnomul.5  |-  R  =  ( .sOLD `  U )
lnomul.6  |-  S  =  ( .sOLD `  W )
lnomul.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
lnomul  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( T `  ( A R B ) )  =  ( A S ( T `  B
) ) )

Proof of Theorem lnomul
StepHypRef Expression
1 simpl 458 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L ) )
2 simprl 762 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  A  e.  CC )
3 simprr 764 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  B  e.  X )
4 simpl1 1008 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
5 lnomul.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
6 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
75, 6nvzcl 26100 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  U
)  e.  X )
84, 7syl 17 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( 0vec `  U )  e.  X )
9 eqid 2429 . . . 4  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
10 eqid 2429 . . . 4  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
11 eqid 2429 . . . 4  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
12 lnomul.5 . . . 4  |-  R  =  ( .sOLD `  U )
13 lnomul.6 . . . 4  |-  S  =  ( .sOLD `  W )
14 lnomul.7 . . . 4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
155, 9, 10, 11, 12, 13, 14lnolin 26240 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  ( 0vec `  U )  e.  X ) )  -> 
( T `  (
( A R B ) ( +v `  U ) ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( A S ( T `  B ) ) ( +v `  W ) ( T `  ( 0vec `  U ) ) ) )
161, 2, 3, 8, 15syl13anc 1266 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( T `  (
( A R B ) ( +v `  U ) ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( A S ( T `  B ) ) ( +v `  W ) ( T `  ( 0vec `  U ) ) ) )
175, 12nvscl 26092 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( A R B )  e.  X )
184, 2, 3, 17syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A R B )  e.  X )
195, 10, 6nv0rid 26101 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A R B )  e.  X )  ->  (
( A R B ) ( +v `  U ) ( 0vec `  U ) )  =  ( A R B ) )
204, 18, 19syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A R B ) ( +v
`  U ) (
0vec `  U )
)  =  ( A R B ) )
2120fveq2d 5885 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( T `  (
( A R B ) ( +v `  U ) ( 0vec `  U ) ) )  =  ( T `  ( A R B ) ) )
22 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
235, 9, 6, 22, 14lno0 26242 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T `  ( 0vec `  U ) )  =  ( 0vec `  W
) )
2423oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( A S ( T `  B ) ) ( +v `  W ) ( T `
 ( 0vec `  U
) ) )  =  ( ( A S ( T `  B
) ) ( +v
`  W ) (
0vec `  W )
) )
2524adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A S ( T `  B
) ) ( +v
`  W ) ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( A S ( T `  B ) ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) ) )
26 simpl2 1009 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  W  e.  NrmCVec )
275, 9, 14lnof 26241 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
2827adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W ) )
2928, 3ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( T `  B
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
309, 13nvscl 26092 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  A  e.  CC  /\  ( T `
 B )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( A S ( T `  B ) )  e.  ( BaseSet `  W )
)
3126, 2, 29, 30syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A S ( T `  B ) )  e.  ( BaseSet `  W ) )
329, 11, 22nv0rid 26101 . . . 4  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( A S ( T `  B ) )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( A S ( T `  B ) ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) )  =  ( A S ( T `
 B ) ) )
3326, 31, 32syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A S ( T `  B
) ) ( +v
`  W ) (
0vec `  W )
)  =  ( A S ( T `  B ) ) )
3425, 33eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A S ( T `  B
) ) ( +v
`  W ) ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( A S ( T `  B
) ) )
3516, 21, 343eqtr3d 2478 1  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( T `  ( A R B ) )  =  ( A S ( T `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   NrmCVeccnv 26048   +vcpv 26049   BaseSetcba 26050   .sOLDcns 26051   0veccn0v 26052    LnOp clno 26226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-ltxr 9679  df-sub 9861  df-neg 9862  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-ablo 25855  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-nmcv 26064  df-lno 26230
This theorem is referenced by:  nmlno0lem  26279  nmblolbii  26285  blocnilem  26290  ubthlem2  26358
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