MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnocoi Structured version   Unicode version

Theorem lnocoi 24294
Description: The composition of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnocoi.l  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
lnocoi.m  |-  M  =  ( W  LnOp  X
)
lnocoi.n  |-  N  =  ( U  LnOp  X
)
lnocoi.u  |-  U  e.  NrmCVec
lnocoi.w  |-  W  e.  NrmCVec
lnocoi.x  |-  X  e.  NrmCVec
lnocoi.s  |-  S  e.  L
lnocoi.t  |-  T  e.  M
Assertion
Ref Expression
lnocoi  |-  ( T  o.  S )  e.  N

Proof of Theorem lnocoi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnocoi.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
2 lnocoi.x . . . 4  |-  X  e.  NrmCVec
3 lnocoi.t . . . 4  |-  T  e.  M
4 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
5 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  X )  =  (
BaseSet `  X )
6 lnocoi.m . . . . 5  |-  M  =  ( W  LnOp  X
)
74, 5, 6lnof 24292 . . . 4  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  X  e.  NrmCVec  /\  T  e.  M )  ->  T : ( BaseSet `  W
) --> ( BaseSet `  X
) )
81, 2, 3, 7mp3an 1315 . . 3  |-  T :
( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  X )
9 lnocoi.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
10 lnocoi.s . . . 4  |-  S  e.  L
11 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
12 lnocoi.l . . . . 5  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
1311, 4, 12lnof 24292 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  S  e.  L )  ->  S : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )
149, 1, 10, 13mp3an 1315 . . 3  |-  S :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
15 fco 5668 . . 3  |-  ( ( T : ( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  X )  /\  S : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )  ->  ( T  o.  S ) : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  X
) )
168, 14, 15mp2an 672 . 2  |-  ( T  o.  S ) : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  X )
17 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
1811, 17nvscl 24143 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( x
( .sOLD `  U ) y )  e.  ( BaseSet `  U
) )
199, 18mp3an1 1302 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( x ( .sOLD `  U ) y )  e.  (
BaseSet `  U ) )
20 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
2111, 20nvgcl 24135 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x ( .sOLD `  U ) y )  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)
229, 21mp3an1 1302 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x ( .sOLD `  U ) y )  e.  (
BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( x ( .sOLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z )  e.  (
BaseSet `  U ) )
2319, 22sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( x ( .sOLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z )  e.  (
BaseSet `  U ) )
24233impa 1183 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)
25 fvco3 5869 . . . . 5  |-  ( ( S : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  (
( x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v
`  U ) z )  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( T  o.  S ) `  (
( x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v
`  U ) z ) )  =  ( T `  ( S `
 ( ( x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) ) ) )
2614, 24, 25sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  ( ( x ( .sOLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( T `  ( S `  ( (
x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) ) ) )
27 id 22 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
2814ffvelrni 5943 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  U
)  ->  ( S `  y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
2914ffvelrni 5943 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( BaseSet `  U
)  ->  ( S `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) )
301, 2, 33pm3.2i 1166 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  NrmCVec  /\  X  e.  NrmCVec  /\  T  e.  M )
31 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
32 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  X )  =  ( +v `  X
)
33 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( .sOLD `  W )  =  ( .sOLD `  W )
34 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( .sOLD `  X )  =  ( .sOLD `  X )
354, 5, 31, 32, 33, 34, 6lnolin 24291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  NrmCVec  /\  X  e.  NrmCVec  /\  T  e.  M )  /\  (
x  e.  CC  /\  ( S `  y )  e.  ( BaseSet `  W
)  /\  ( S `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) ) )  ->  ( T `  ( ( x ( .sOLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) ( +v
`  X ) ( T `  ( S `
 z ) ) ) )
3630, 35mpan 670 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( S `  y )  e.  ( BaseSet `  W
)  /\  ( S `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) )  ->  ( T `  ( ( x ( .sOLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) ( +v
`  X ) ( T `  ( S `
 z ) ) ) )
3727, 28, 29, 36syl3an 1261 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( T `  ( ( x ( .sOLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) ( +v
`  X ) ( T `  ( S `
 z ) ) ) )
389, 1, 103pm3.2i 1166 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  S  e.  L )
3911, 4, 20, 31, 17, 33, 12lnolin 24291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  S  e.  L )  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  ( S `  ( (
x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  W ) ( S `
 y ) ) ( +v `  W
) ( S `  z ) ) )
4038, 39mpan 670 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( S `  ( ( x ( .sOLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )
4140fveq2d 5795 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( T `  ( S `  (
( x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v
`  U ) z ) ) )  =  ( T `  (
( x ( .sOLD `  W ) ( S `  y
) ) ( +v
`  W ) ( S `  z ) ) ) )
42 simp2 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  y  e.  ( BaseSet `  U )
)
43 fvco3 5869 . . . . . . . 8  |-  ( ( S : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  y )  =  ( T `  ( S `
 y ) ) )
4414, 42, 43sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  y )  =  ( T `  ( S `
 y ) ) )
4544oveq2d 6208 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( x
( .sOLD `  X ) ( ( T  o.  S ) `
 y ) )  =  ( x ( .sOLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) )
46 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  z  e.  ( BaseSet `  U )
)
47 fvco3 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( S : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  z )  =  ( T `  ( S `
 z ) ) )
4814, 46, 47sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  z )  =  ( T `  ( S `
 z ) ) )
4945, 48oveq12d 6210 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .sOLD `  X ) ( ( T  o.  S ) `
 y ) ) ( +v `  X
) ( ( T  o.  S ) `  z ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) ( +v
`  X ) ( T `  ( S `
 z ) ) ) )
5037, 41, 493eqtr4rd 2503 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .sOLD `  X ) ( ( T  o.  S ) `
 y ) ) ( +v `  X
) ( ( T  o.  S ) `  z ) )  =  ( T `  ( S `  ( (
x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) ) ) )
5126, 50eqtr4d 2495 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  ( ( x ( .sOLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  X
) ( ( T  o.  S ) `  y ) ) ( +v `  X ) ( ( T  o.  S ) `  z
) ) )
5251rgen3 2911 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( T  o.  S
) `  ( (
x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  X ) ( ( T  o.  S ) `
 y ) ) ( +v `  X
) ( ( T  o.  S ) `  z ) )
53 lnocoi.n . . . 4  |-  N  =  ( U  LnOp  X
)
5411, 5, 20, 32, 17, 34, 53islno 24290 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  X  e.  NrmCVec )  ->  (
( T  o.  S
)  e.  N  <->  ( ( T  o.  S ) : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  X
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( T  o.  S
) `  ( (
x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  X ) ( ( T  o.  S ) `
 y ) ) ( +v `  X
) ( ( T  o.  S ) `  z ) ) ) ) )
559, 2, 54mp2an 672 . 2  |-  ( ( T  o.  S )  e.  N  <->  ( ( T  o.  S ) : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  X
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( T  o.  S
) `  ( (
x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  X ) ( ( T  o.  S ) `
 y ) ) ( +v `  X
) ( ( T  o.  S ) `  z ) ) ) )
5616, 52, 55mpbir2an 911 1  |-  ( T  o.  S )  e.  N
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795    o. ccom 4944   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   NrmCVeccnv 24099   +vcpv 24100   BaseSetcba 24101   .sOLDcns 24102    LnOp clno 24277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-map 7318  df-grpo 23815  df-ablo 23906  df-vc 24061  df-nv 24107  df-va 24110  df-ba 24111  df-sm 24112  df-0v 24113  df-nmcv 24115  df-lno 24281
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator