Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnocoi Structured version   Unicode version

Theorem lnocoi 24294
 Description: The composition of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnocoi.l
lnocoi.m
lnocoi.n
lnocoi.u
lnocoi.w
lnocoi.x
lnocoi.s
lnocoi.t
Assertion
Ref Expression
lnocoi

Proof of Theorem lnocoi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnocoi.w . . . 4
2 lnocoi.x . . . 4
3 lnocoi.t . . . 4
4 eqid 2451 . . . . 5
5 eqid 2451 . . . . 5
6 lnocoi.m . . . . 5
74, 5, 6lnof 24292 . . . 4
81, 2, 3, 7mp3an 1315 . . 3
9 lnocoi.u . . . 4
10 lnocoi.s . . . 4
11 eqid 2451 . . . . 5
12 lnocoi.l . . . . 5
1311, 4, 12lnof 24292 . . . 4
149, 1, 10, 13mp3an 1315 . . 3
15 fco 5668 . . 3
168, 14, 15mp2an 672 . 2
17 eqid 2451 . . . . . . . . 9
1811, 17nvscl 24143 . . . . . . . 8
199, 18mp3an1 1302 . . . . . . 7
20 eqid 2451 . . . . . . . . 9
2111, 20nvgcl 24135 . . . . . . . 8
229, 21mp3an1 1302 . . . . . . 7
2319, 22sylan 471 . . . . . 6
24233impa 1183 . . . . 5
25 fvco3 5869 . . . . 5
2614, 24, 25sylancr 663 . . . 4
27 id 22 . . . . . 6
2814ffvelrni 5943 . . . . . 6
2914ffvelrni 5943 . . . . . 6
301, 2, 33pm3.2i 1166 . . . . . . 7
31 eqid 2451 . . . . . . . 8
32 eqid 2451 . . . . . . . 8
33 eqid 2451 . . . . . . . 8
34 eqid 2451 . . . . . . . 8
354, 5, 31, 32, 33, 34, 6lnolin 24291 . . . . . . 7
3630, 35mpan 670 . . . . . 6
3727, 28, 29, 36syl3an 1261 . . . . 5
389, 1, 103pm3.2i 1166 . . . . . . 7
3911, 4, 20, 31, 17, 33, 12lnolin 24291 . . . . . . 7
4038, 39mpan 670 . . . . . 6
4140fveq2d 5795 . . . . 5
42 simp2 989 . . . . . . . 8
43 fvco3 5869 . . . . . . . 8
4414, 42, 43sylancr 663 . . . . . . 7
4544oveq2d 6208 . . . . . 6
46 simp3 990 . . . . . . 7
47 fvco3 5869 . . . . . . 7
4814, 46, 47sylancr 663 . . . . . 6
4945, 48oveq12d 6210 . . . . 5
5037, 41, 493eqtr4rd 2503 . . . 4
5126, 50eqtr4d 2495 . . 3
5251rgen3 2911 . 2
53 lnocoi.n . . . 4
5411, 5, 20, 32, 17, 34, 53islno 24290 . . 3
559, 2, 54mp2an 672 . 2
5616, 52, 55mpbir2an 911 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758  wral 2795   ccom 4944  wf 5514  cfv 5518  (class class class)co 6192  cc 9383  cnv 24099  cpv 24100  cba 24101  cns 24102   clno 24277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-map 7318  df-grpo 23815  df-ablo 23906  df-vc 24061  df-nv 24107  df-va 24110  df-ba 24111  df-sm 24112  df-0v 24113  df-nmcv 24115  df-lno 24281 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator