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Theorem lnocoi 25870
Description: The composition of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnocoi.l  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
lnocoi.m  |-  M  =  ( W  LnOp  X
)
lnocoi.n  |-  N  =  ( U  LnOp  X
)
lnocoi.u  |-  U  e.  NrmCVec
lnocoi.w  |-  W  e.  NrmCVec
lnocoi.x  |-  X  e.  NrmCVec
lnocoi.s  |-  S  e.  L
lnocoi.t  |-  T  e.  M
Assertion
Ref Expression
lnocoi  |-  ( T  o.  S )  e.  N

Proof of Theorem lnocoi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnocoi.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
2 lnocoi.x . . . 4  |-  X  e.  NrmCVec
3 lnocoi.t . . . 4  |-  T  e.  M
4 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
5 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  X )  =  (
BaseSet `  X )
6 lnocoi.m . . . . 5  |-  M  =  ( W  LnOp  X
)
74, 5, 6lnof 25868 . . . 4  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  X  e.  NrmCVec  /\  T  e.  M )  ->  T : ( BaseSet `  W
) --> ( BaseSet `  X
) )
81, 2, 3, 7mp3an 1322 . . 3  |-  T :
( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  X )
9 lnocoi.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
10 lnocoi.s . . . 4  |-  S  e.  L
11 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
12 lnocoi.l . . . . 5  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
1311, 4, 12lnof 25868 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  S  e.  L )  ->  S : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )
149, 1, 10, 13mp3an 1322 . . 3  |-  S :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
15 fco 5723 . . 3  |-  ( ( T : ( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  X )  /\  S : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )  ->  ( T  o.  S ) : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  X
) )
168, 14, 15mp2an 670 . 2  |-  ( T  o.  S ) : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  X )
17 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
1811, 17nvscl 25719 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( x
( .sOLD `  U ) y )  e.  ( BaseSet `  U
) )
199, 18mp3an1 1309 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( x ( .sOLD `  U ) y )  e.  (
BaseSet `  U ) )
20 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
2111, 20nvgcl 25711 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x ( .sOLD `  U ) y )  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)
229, 21mp3an1 1309 . . . . . 6  |-  ( ( ( x ( .sOLD `  U ) y )  e.  (
BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( x ( .sOLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z )  e.  (
BaseSet `  U ) )
2319, 22stoic3 1614 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)
24 fvco3 5925 . . . . 5  |-  ( ( S : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  (
( x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v
`  U ) z )  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( T  o.  S ) `  (
( x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v
`  U ) z ) )  =  ( T `  ( S `
 ( ( x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) ) ) )
2514, 23, 24sylancr 661 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  ( ( x ( .sOLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( T `  ( S `  ( (
x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) ) ) )
26 id 22 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
2714ffvelrni 6006 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  U
)  ->  ( S `  y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
2814ffvelrni 6006 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( BaseSet `  U
)  ->  ( S `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) )
291, 2, 33pm3.2i 1172 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  NrmCVec  /\  X  e.  NrmCVec  /\  T  e.  M )
30 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
31 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  X )  =  ( +v `  X
)
32 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( .sOLD `  W )  =  ( .sOLD `  W )
33 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( .sOLD `  X )  =  ( .sOLD `  X )
344, 5, 30, 31, 32, 33, 6lnolin 25867 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  NrmCVec  /\  X  e.  NrmCVec  /\  T  e.  M )  /\  (
x  e.  CC  /\  ( S `  y )  e.  ( BaseSet `  W
)  /\  ( S `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) ) )  ->  ( T `  ( ( x ( .sOLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) ( +v
`  X ) ( T `  ( S `
 z ) ) ) )
3529, 34mpan 668 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( S `  y )  e.  ( BaseSet `  W
)  /\  ( S `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) )  ->  ( T `  ( ( x ( .sOLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) ( +v
`  X ) ( T `  ( S `
 z ) ) ) )
3626, 27, 28, 35syl3an 1268 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( T `  ( ( x ( .sOLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) ( +v
`  X ) ( T `  ( S `
 z ) ) ) )
379, 1, 103pm3.2i 1172 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  S  e.  L )
3811, 4, 20, 30, 17, 32, 12lnolin 25867 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  S  e.  L )  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  ( S `  ( (
x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  W ) ( S `
 y ) ) ( +v `  W
) ( S `  z ) ) )
3937, 38mpan 668 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( S `  ( ( x ( .sOLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )
4039fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( T `  ( S `  (
( x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v
`  U ) z ) ) )  =  ( T `  (
( x ( .sOLD `  W ) ( S `  y
) ) ( +v
`  W ) ( S `  z ) ) ) )
41 simp2 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  y  e.  ( BaseSet `  U )
)
42 fvco3 5925 . . . . . . . 8  |-  ( ( S : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  y )  =  ( T `  ( S `
 y ) ) )
4314, 41, 42sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  y )  =  ( T `  ( S `
 y ) ) )
4443oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( x
( .sOLD `  X ) ( ( T  o.  S ) `
 y ) )  =  ( x ( .sOLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) )
45 simp3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  z  e.  ( BaseSet `  U )
)
46 fvco3 5925 . . . . . . 7  |-  ( ( S : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  z )  =  ( T `  ( S `
 z ) ) )
4714, 45, 46sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  z )  =  ( T `  ( S `
 z ) ) )
4844, 47oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .sOLD `  X ) ( ( T  o.  S ) `
 y ) ) ( +v `  X
) ( ( T  o.  S ) `  z ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) ( +v
`  X ) ( T `  ( S `
 z ) ) ) )
4936, 40, 483eqtr4rd 2506 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .sOLD `  X ) ( ( T  o.  S ) `
 y ) ) ( +v `  X
) ( ( T  o.  S ) `  z ) )  =  ( T `  ( S `  ( (
x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) ) ) )
5025, 49eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  ( ( x ( .sOLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  X
) ( ( T  o.  S ) `  y ) ) ( +v `  X ) ( ( T  o.  S ) `  z
) ) )
5150rgen3 2880 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( T  o.  S
) `  ( (
x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  X ) ( ( T  o.  S ) `
 y ) ) ( +v `  X
) ( ( T  o.  S ) `  z ) )
52 lnocoi.n . . . 4  |-  N  =  ( U  LnOp  X
)
5311, 5, 20, 31, 17, 33, 52islno 25866 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  X  e.  NrmCVec )  ->  (
( T  o.  S
)  e.  N  <->  ( ( T  o.  S ) : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  X
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( T  o.  S
) `  ( (
x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  X ) ( ( T  o.  S ) `
 y ) ) ( +v `  X
) ( ( T  o.  S ) `  z ) ) ) ) )
549, 2, 53mp2an 670 . 2  |-  ( ( T  o.  S )  e.  N  <->  ( ( T  o.  S ) : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  X
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( T  o.  S
) `  ( (
x ( .sOLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .sOLD `  X ) ( ( T  o.  S ) `
 y ) ) ( +v `  X
) ( ( T  o.  S ) `  z ) ) ) )
5516, 51, 54mpbir2an 918 1  |-  ( T  o.  S )  e.  N
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   NrmCVeccnv 25675   +vcpv 25676   BaseSetcba 25677   .sOLDcns 25678    LnOp clno 25853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-map 7414  df-grpo 25391  df-ablo 25482  df-vc 25637  df-nv 25683  df-va 25686  df-ba 25687  df-sm 25688  df-0v 25689  df-nmcv 25691  df-lno 25857
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