Theorem lno0 9756

Description: The value of a linear operator at zero is zero.

Hypotheses

Ref	Expression
lno0.1	|- X = (BaseSet` U)
lno0.2	|- Y = (BaseSet` W)
lno0.5	|- Q = (0v` U)
lno0.z	|- Z = (0v` W)
lno0.7	|- L = (U LnOp W)

Assertion

Ref	Expression
lno0	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> (T` Q) = Z)

Proof of Theorem lno0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lno0.1	. . . . . 6 |- X = (BaseSet` U)
2		lno0.5	. . . . . 6 |- Q = (0v` U)
3	1, 2	nvzcl 9587	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> Q e. X)
4		ax1cn 6422	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
5	4	negcli 6526	. . . . . 6 |- -u1 e. CC
6	5	a1i 8	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> -u1 e. CC)
7	3, 6, 3	3jca 1050	. . . 4 |- (U e. NrmCVec -> (Q e. X /\ -u1 e. CC /\ Q e. X))
8	7	3ad2ant1 897	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> (Q e. X /\ -u1 e. CC /\ Q e. X))
9		lno0.2	. . . 4 |- Y = (BaseSet` W)
10		eqid 1884	. . . 4 |- (+v` U) = (+v` U)
11		eqid 1884	. . . 4 |- (+v` W) = (+v` W)
12		eqid 1884	. . . 4 |- (.s` U) = (.s` U)
13		eqid 1884	. . . 4 |- (.s` W) = (.s` W)
14		lno0.7	. . . 4 |- L = (U LnOp W)
15	1, 9, 10, 11, 12, 13, 14	lnolin 9754	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (Q e. X /\ -u1 e. CC /\ Q e. X)) -> (T` (Q(+v` U)(-u1(.s` U)Q))) = ((T` Q)(+v` W)(-u1(.s` W)(T` Q))))
16	8, 15	mpdan 768	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> (T` (Q(+v` U)(-u1(.s` U)Q))) = ((T` Q)(+v` W)(-u1(.s` W)(T` Q))))
17	12, 2	nvsz 9591	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC) -> (-u1(.s` U)Q) = Q)
18	5, 17	mpan2 760	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> (-u1(.s` U)Q) = Q)
19	18	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> (Q(+v` U)(-u1(.s` U)Q)) = (Q(+v` U)Q))
20	1, 10, 2	nv0rid 9588	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ Q e. X) -> (Q(+v` U)Q) = Q)
21	3, 20	mpdan 768	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> (Q(+v` U)Q) = Q)
22	19, 21	eqtrd 1925	. . . 4 |- (U e. NrmCVec -> (Q(+v` U)(-u1(.s` U)Q)) = Q)
23	22	fveq2d 4685	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> (T` (Q(+v` U)(-u1(.s` U)Q))) = (T` Q))
24	23	3ad2ant1 897	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> (T` (Q(+v` U)(-u1(.s` U)Q))) = (T` Q))
25		simp2 877	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> W e. NrmCVec)
26	1, 9, 14	lnof 9755	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->Y)
27	3	3ad2ant1 897	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> Q e. X)
28		ffvelrn 4787	. . . 4 |- ((T:X-->Y /\ Q e. X) -> (T` Q) e. Y)
29	26, 27, 28	syl11anc 524	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> (T` Q) e. Y)
30		lno0.z	. . . 4 |- Z = (0v` W)
31	9, 11, 13, 30	nvrinv 9605	. . 3 |- ((W e. NrmCVec /\ (T` Q) e. Y) -> ((T` Q)(+v` W)(-u1(.s` W)(T` Q))) = Z)
32	25, 29, 31	syl11anc 524	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> ((T` Q)(+v` W)(-u1(.s` W)(T` Q))) = Z)
33	16, 24, 32	3eqtr3d 1934	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> (T` Q) = Z)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387  -ucneg 6446  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  .scns 9538  0vcn0v 9539   LnOp clno 9740

This theorem is referenced by:  lnomul 9760  nmlno0lem 9793  nmlnoubi 9796  lnon0 9798  nmblolbii 9799  blocnilem 9804

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-lno 9744

Copyright terms: Public domain