Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmlmic Structured version   Unicode version

Theorem lnmlmic 29439
Description: Noetherian is an invariant property of modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lnmlmic  |-  ( R 
~=ph𝑚  S  ->  ( R  e. LNoeM  <->  S  e. LNoeM ) )

Proof of Theorem lnmlmic
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brlmic 17148 . . 3  |-  ( R 
~=ph𝑚  S 
<->  ( R LMIso  S )  =/=  (/) )
2 n0 3645 . . 3  |-  ( ( R LMIso  S )  =/=  (/) 
<->  E. a  a  e.  ( R LMIso  S ) )
31, 2bitri 249 . 2  |-  ( R 
~=ph𝑚  S 
<->  E. a  a  e.  ( R LMIso  S ) )
4 lmimlmhm 17144 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  a  e.  ( R LMHom  S ) )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  R  e. LNoeM )  ->  a  e.  ( R LMHom  S ) )
6 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  R  e. LNoeM )  ->  R  e. LNoeM )
7 eqid 2442 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
8 eqid 2442 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
97, 8lmimf1o 17143 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  a :
( Base `  R ) -1-1-onto-> ( Base `  S ) )
10 f1ofo 5647 . . . . . . 7  |-  ( a : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  S )  ->  a : ( Base `  R ) -onto-> ( Base `  S ) )
11 forn 5622 . . . . . . 7  |-  ( a : ( Base `  R
) -onto-> ( Base `  S
)  ->  ran  a  =  ( Base `  S
) )
129, 10, 113syl 20 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  ran  a  =  ( Base `  S
) )
1312adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  R  e. LNoeM )  ->  ran  a  =  ( Base `  S
) )
148lnmepi 29436 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMHom 
S )  /\  R  e. LNoeM  /\  ran  a  =  ( Base `  S
) )  ->  S  e. LNoeM )
155, 6, 13, 14syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  R  e. LNoeM )  ->  S  e. LNoeM )
16 islmim2 17146 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  <->  ( a  e.  ( R LMHom  S )  /\  `' a  e.  ( S LMHom  R ) ) )
1716simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  `' a  e.  ( S LMHom  R ) )
1817adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  S  e. LNoeM )  ->  `' a  e.  ( S LMHom  R ) )
19 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  S  e. LNoeM )  ->  S  e. LNoeM )
20 dfdm4 5031 . . . . . 6  |-  dom  a  =  ran  `' a
21 f1odm 5644 . . . . . . . 8  |-  ( a : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  S )  ->  dom  a  =  (
Base `  R )
)
229, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  dom  a  =  ( Base `  R
) )
2322adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  S  e. LNoeM )  ->  dom  a  =  ( Base `  R
) )
2420, 23syl5eqr 2488 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  S  e. LNoeM )  ->  ran  `' a  =  ( Base `  R
) )
257lnmepi 29436 . . . . 5  |-  ( ( `' a  e.  ( S LMHom  R )  /\  S  e. LNoeM  /\  ran  `' a  =  ( Base `  R
) )  ->  R  e. LNoeM )
2618, 19, 24, 25syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  S  e. LNoeM )  ->  R  e. LNoeM )
2715, 26impbida 828 . . 3  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  ( R  e. LNoeM  <-> 
S  e. LNoeM ) )
2827exlimiv 1688 . 2  |-  ( E. a  a  e.  ( R LMIso  S )  -> 
( R  e. LNoeM  <->  S  e. LNoeM ) )
293, 28sylbi 195 1  |-  ( R 
~=ph𝑚  S  ->  ( R  e. LNoeM  <->  S  e. LNoeM ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2605   (/)c0 3636   class class class wbr 4291   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   -onto->wfo 5415   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Basecbs 14173   LMHom clmhm 17099   LMIso clmim 17100    ~=ph𝑚 clmic 17101  LNoeMclnm 29426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-0g 14379  df-mnd 15414  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-subg 15677  df-ghm 15744  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-lmod 16949  df-lss 17013  df-lsp 17052  df-lmhm 17102  df-lmim 17103  df-lmic 17104  df-lfig 29419  df-lnm 29427
This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  29444
  Copyright terms: Public domain W3C validator