Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmlmic Structured version   Unicode version

Theorem lnmlmic 30962
Description: Noetherian is an invariant property of modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lnmlmic  |-  ( R 
~=ph𝑚  S  ->  ( R  e. LNoeM  <->  S  e. LNoeM ) )

Proof of Theorem lnmlmic
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brlmic 17585 . . 3  |-  ( R 
~=ph𝑚  S 
<->  ( R LMIso  S )  =/=  (/) )
2 n0 3799 . . 3  |-  ( ( R LMIso  S )  =/=  (/) 
<->  E. a  a  e.  ( R LMIso  S ) )
31, 2bitri 249 . 2  |-  ( R 
~=ph𝑚  S 
<->  E. a  a  e.  ( R LMIso  S ) )
4 lmimlmhm 17581 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  a  e.  ( R LMHom  S ) )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  R  e. LNoeM )  ->  a  e.  ( R LMHom  S ) )
6 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  R  e. LNoeM )  ->  R  e. LNoeM )
7 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
8 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
97, 8lmimf1o 17580 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  a :
( Base `  R ) -1-1-onto-> ( Base `  S ) )
10 f1ofo 5829 . . . . . . 7  |-  ( a : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  S )  ->  a : ( Base `  R ) -onto-> ( Base `  S ) )
11 forn 5804 . . . . . . 7  |-  ( a : ( Base `  R
) -onto-> ( Base `  S
)  ->  ran  a  =  ( Base `  S
) )
129, 10, 113syl 20 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  ran  a  =  ( Base `  S
) )
1312adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  R  e. LNoeM )  ->  ran  a  =  ( Base `  S
) )
148lnmepi 30959 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMHom 
S )  /\  R  e. LNoeM  /\  ran  a  =  ( Base `  S
) )  ->  S  e. LNoeM )
155, 6, 13, 14syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  R  e. LNoeM )  ->  S  e. LNoeM )
16 islmim2 17583 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  <->  ( a  e.  ( R LMHom  S )  /\  `' a  e.  ( S LMHom  R ) ) )
1716simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  `' a  e.  ( S LMHom  R ) )
1817adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  S  e. LNoeM )  ->  `' a  e.  ( S LMHom  R ) )
19 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  S  e. LNoeM )  ->  S  e. LNoeM )
20 dfdm4 5201 . . . . . 6  |-  dom  a  =  ran  `' a
21 f1odm 5826 . . . . . . . 8  |-  ( a : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  S )  ->  dom  a  =  (
Base `  R )
)
229, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  dom  a  =  ( Base `  R
) )
2322adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  S  e. LNoeM )  ->  dom  a  =  ( Base `  R
) )
2420, 23syl5eqr 2522 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  S  e. LNoeM )  ->  ran  `' a  =  ( Base `  R
) )
257lnmepi 30959 . . . . 5  |-  ( ( `' a  e.  ( S LMHom  R )  /\  S  e. LNoeM  /\  ran  `' a  =  ( Base `  R
) )  ->  R  e. LNoeM )
2618, 19, 24, 25syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  S  e. LNoeM )  ->  R  e. LNoeM )
2715, 26impbida 830 . . 3  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  ( R  e. LNoeM  <-> 
S  e. LNoeM ) )
2827exlimiv 1698 . 2  |-  ( E. a  a  e.  ( R LMIso  S )  -> 
( R  e. LNoeM  <->  S  e. LNoeM ) )
293, 28sylbi 195 1  |-  ( R 
~=ph𝑚  S  ->  ( R  e. LNoeM  <->  S  e. LNoeM ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   (/)c0 3790   class class class wbr 4453   `'ccnv 5004   dom cdm 5005   ran crn 5006   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   LMHom clmhm 17536   LMIso clmim 17537    ~=ph𝑚 clmic 17538  LNoeMclnm 30949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lmhm 17539  df-lmim 17540  df-lmic 17541  df-lfig 30942  df-lnm 30950
This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  30967
  Copyright terms: Public domain W3C validator