HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnmuli Structured version   Unicode version

Theorem lnfnmuli 25470
Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1  |-  T  e. 
LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnmuli  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  .h  B )
)  =  ( A  x.  ( T `  B ) ) )

Proof of Theorem lnfnmuli
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 24427 . . 3  |-  0h  e.  ~H
2 lnfnl.1 . . . 4  |-  T  e. 
LinFn
32lnfnli 25466 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H  /\  0h  e.  ~H )  ->  ( T `  ( ( A  .h  B )  +h  0h ) )  =  ( ( A  x.  ( T `  B ) )  +  ( T `
 0h ) ) )
41, 3mp3an3 1303 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( A  .h  B
)  +h  0h )
)  =  ( ( A  x.  ( T `
 B ) )  +  ( T `  0h ) ) )
5 hvmulcl 24437 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  .h  B
)  e.  ~H )
6 ax-hvaddid 24428 . . . 4  |-  ( ( A  .h  B )  e.  ~H  ->  (
( A  .h  B
)  +h  0h )  =  ( A  .h  B ) )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  .h  B )  +h  0h )  =  ( A  .h  B ) )
87fveq2d 5716 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( A  .h  B
)  +h  0h )
)  =  ( T `
 ( A  .h  B ) ) )
92lnfn0i 25468 . . . 4  |-  ( T `
 0h )  =  0
109oveq2i 6123 . . 3  |-  ( ( A  x.  ( T `
 B ) )  +  ( T `  0h ) )  =  ( ( A  x.  ( T `  B )
)  +  0 )
112lnfnfi 25467 . . . . . 6  |-  T : ~H
--> CC
1211ffvelrni 5863 . . . . 5  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( T `  B )  e.  CC )
13 mulcl 9387 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( T `  B )  e.  CC )  -> 
( A  x.  ( T `  B )
)  e.  CC )
1412, 13sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  x.  ( T `  B )
)  e.  CC )
1514addid1d 9590 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  x.  ( T `  B ) )  +  0 )  =  ( A  x.  ( T `  B ) ) )
1610, 15syl5eq 2487 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  x.  ( T `  B ) )  +  ( T `
 0h ) )  =  ( A  x.  ( T `  B ) ) )
174, 8, 163eqtr3d 2483 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  .h  B )
)  =  ( A  x.  ( T `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   0cc0 9303    + caddc 9306    x. cmul 9308   ~Hchil 24343    +h cva 24344    .h csm 24345   0hc0v 24348   LinFnclf 24378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-hilex 24423  ax-hv0cl 24427  ax-hvaddid 24428  ax-hfvmul 24429  ax-hvmulid 24430
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-ltxr 9444  df-sub 9618  df-lnfn 25274
This theorem is referenced by:  lnfnaddmuli  25471  lnfnmul  25474  nmbdfnlbi  25475  nmcfnexi  25477  nmcfnlbi  25478  nlelshi  25486  riesz3i  25488
  Copyright terms: Public domain W3C validator