HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnmuli Structured version   Unicode version

Theorem lnfnmuli 27376
Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1  |-  T  e. 
LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnmuli  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  .h  B )
)  =  ( A  x.  ( T `  B ) ) )

Proof of Theorem lnfnmuli
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 26334 . . 3  |-  0h  e.  ~H
2 lnfnl.1 . . . 4  |-  T  e. 
LinFn
32lnfnli 27372 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H  /\  0h  e.  ~H )  ->  ( T `  ( ( A  .h  B )  +h  0h ) )  =  ( ( A  x.  ( T `  B ) )  +  ( T `
 0h ) ) )
41, 3mp3an3 1315 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( A  .h  B
)  +h  0h )
)  =  ( ( A  x.  ( T `
 B ) )  +  ( T `  0h ) ) )
5 hvmulcl 26344 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  .h  B
)  e.  ~H )
6 ax-hvaddid 26335 . . . 4  |-  ( ( A  .h  B )  e.  ~H  ->  (
( A  .h  B
)  +h  0h )  =  ( A  .h  B ) )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  .h  B )  +h  0h )  =  ( A  .h  B ) )
87fveq2d 5853 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( A  .h  B
)  +h  0h )
)  =  ( T `
 ( A  .h  B ) ) )
92lnfn0i 27374 . . . 4  |-  ( T `
 0h )  =  0
109oveq2i 6289 . . 3  |-  ( ( A  x.  ( T `
 B ) )  +  ( T `  0h ) )  =  ( ( A  x.  ( T `  B )
)  +  0 )
112lnfnfi 27373 . . . . . 6  |-  T : ~H
--> CC
1211ffvelrni 6008 . . . . 5  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( T `  B )  e.  CC )
13 mulcl 9606 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( T `  B )  e.  CC )  -> 
( A  x.  ( T `  B )
)  e.  CC )
1412, 13sylan2 472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  x.  ( T `  B )
)  e.  CC )
1514addid1d 9814 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  x.  ( T `  B ) )  +  0 )  =  ( A  x.  ( T `  B ) ) )
1610, 15syl5eq 2455 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  x.  ( T `  B ) )  +  ( T `
 0h ) )  =  ( A  x.  ( T `  B ) ) )
174, 8, 163eqtr3d 2451 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  .h  B )
)  =  ( A  x.  ( T `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   0cc0 9522    + caddc 9525    x. cmul 9527   ~Hchil 26250    +h cva 26251    .h csm 26252   0hc0v 26255   LinFnclf 26285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-hilex 26330  ax-hv0cl 26334  ax-hvaddid 26335  ax-hfvmul 26336  ax-hvmulid 26337
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-ltxr 9663  df-sub 9843  df-lnfn 27180
This theorem is referenced by:  lnfnaddmuli  27377  lnfnmul  27380  nmbdfnlbi  27381  nmcfnexi  27383  nmcfnlbi  27384  nlelshi  27392  riesz3i  27394
  Copyright terms: Public domain W3C validator