HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnmul Structured version   Unicode version

Theorem lnfnmul 27094
Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnfnmul  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  A  e.  CC  /\  B  e. 
~H )  ->  ( T `  ( A  .h  B ) )  =  ( A  x.  ( T `  B )
) )

Proof of Theorem lnfnmul
StepHypRef Expression
1 fveq1 5871 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( T `  ( A  .h  B
) )  =  ( if ( T  e. 
LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 ( A  .h  B ) ) )
2 fveq1 5871 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( T `  B )  =  ( if ( T  e. 
LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 B ) )
32oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( A  x.  ( T `  B ) )  =  ( A  x.  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  B ) ) )
41, 3eqeq12d 2479 . . . 4  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( ( T `
 ( A  .h  B ) )  =  ( A  x.  ( T `  B )
)  <->  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  ( A  .h  B ) )  =  ( A  x.  ( if ( T  e. 
LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 B ) ) ) )
54imbi2d 316 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  .h  B )
)  =  ( A  x.  ( T `  B ) ) )  <-> 
( ( A  e.  CC  /\  B  e. 
~H )  ->  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H 
X.  { 0 } ) ) `  ( A  .h  B )
)  =  ( A  x.  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  B ) ) ) ) )
6 0lnfn 27031 . . . . 5  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
76elimel 4007 . . . 4  |-  if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  LinFn
87lnfnmuli 27090 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 ( A  .h  B ) )  =  ( A  x.  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H 
X.  { 0 } ) ) `  B
) ) )
95, 8dedth 3996 . 2  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  .h  B ) )  =  ( A  x.  ( T `  B )
) ) )
1093impib 1194 1  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  A  e.  CC  /\  B  e. 
~H )  ->  ( T `  ( A  .h  B ) )  =  ( A  x.  ( T `  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   ifcif 3944   {csn 4032    X. cxp 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509    x. cmul 9514   ~Hchil 25963    .h csm 25965   LinFnclf 25998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-hilex 26043  ax-hfvadd 26044  ax-hv0cl 26047  ax-hvaddid 26048  ax-hfvmul 26049  ax-hvmulid 26050
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-ltxr 9650  df-sub 9826  df-lnfn 26894
This theorem is referenced by:  kbass4  27165
  Copyright terms: Public domain W3C validator