HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnconi Structured version   Unicode version

Theorem lnfnconi 25638
Description: A condition equivalent to " T is continuous" when  T is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfncon.1  |-  T  e. 
LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnconi  |-  ( T  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem lnfnconi
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncon.1 . . 3  |-  T  e. 
LinFn
2 nmcfnex 25636 . . 3  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn )  ->  ( normfn `
 T )  e.  RR )
31, 2mpan 670 . 2  |-  ( T  e.  ConFn  ->  ( normfn `  T )  e.  RR )
4 nmcfnlb 25637 . . 3  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  y
) )  <_  (
( normfn `  T )  x.  ( normh `  y )
) )
51, 4mp3an1 1302 . 2  |-  ( ( T  e.  ConFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( ( normfn `  T
)  x.  ( normh `  y ) ) )
61lnfnfi 25624 . . 3  |-  T : ~H
--> CC
7 elcnfn 25465 . . 3  |-  ( T  e.  ConFn 
<->  ( T : ~H --> CC  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( T `  w
)  -  ( T `
 x ) ) )  <  z ) ) )
86, 7mpbiran 909 . 2  |-  ( T  e.  ConFn 
<-> 
A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( T `  w
)  -  ( T `
 x ) ) )  <  z ) )
96ffvelrni 5954 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  CC )
109abscld 13044 . 2  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( abs `  ( T `  y ) )  e.  RR )
111lnfnsubi 25629 . 2  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  (
w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w )  -  ( T `  x ) ) )
123, 5, 8, 10, 11lnconi 25616 1  |-  ( T  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   class class class wbr 4403   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9395   RRcr 9396    x. cmul 9402    < clt 9533    <_ cle 9534    - cmin 9710   RR+crp 11106   abscabs 12845   ~Hchil 24500   normhcno 24504    -h cmv 24506   normfncnmf 24532   ConFnccnfn 24534   LinFnclf 24535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-hilex 24580  ax-hfvadd 24581  ax-hv0cl 24584  ax-hvaddid 24585  ax-hfvmul 24586  ax-hvmulid 24587  ax-hvmulass 24588  ax-hvmul0 24591  ax-hfi 24660  ax-his1 24663  ax-his3 24665  ax-his4 24666
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-rp 11107  df-seq 11928  df-exp 11987  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-hnorm 24549  df-hvsub 24552  df-nmfn 25428  df-cnfn 25430  df-lnfn 25431
This theorem is referenced by:  lnfncon  25639
  Copyright terms: Public domain W3C validator