HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnconi Structured version   Unicode version

Theorem lnfnconi 26839
Description: A condition equivalent to " T is continuous" when  T is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfncon.1  |-  T  e. 
LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnconi  |-  ( T  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem lnfnconi
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncon.1 . . 3  |-  T  e. 
LinFn
2 nmcfnex 26837 . . 3  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn )  ->  ( normfn `
 T )  e.  RR )
31, 2mpan 670 . 2  |-  ( T  e.  ConFn  ->  ( normfn `  T )  e.  RR )
4 nmcfnlb 26838 . . 3  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  y
) )  <_  (
( normfn `  T )  x.  ( normh `  y )
) )
51, 4mp3an1 1310 . 2  |-  ( ( T  e.  ConFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( ( normfn `  T
)  x.  ( normh `  y ) ) )
61lnfnfi 26825 . . 3  |-  T : ~H
--> CC
7 elcnfn 26666 . . 3  |-  ( T  e.  ConFn 
<->  ( T : ~H --> CC  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( T `  w
)  -  ( T `
 x ) ) )  <  z ) ) )
86, 7mpbiran 916 . 2  |-  ( T  e.  ConFn 
<-> 
A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( T `  w
)  -  ( T `
 x ) ) )  <  z ) )
96ffvelrni 6011 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  CC )
109abscld 13241 . 2  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( abs `  ( T `  y ) )  e.  RR )
111lnfnsubi 26830 . 2  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  (
w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w )  -  ( T `  x ) ) )
123, 5, 8, 10, 11lnconi 26817 1  |-  ( T  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792   class class class wbr 4433   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   RRcr 9489    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9805   RR+crp 11224   abscabs 13041   ~Hchil 25701   normhcno 25705    -h cmv 25707   normfncnmf 25733   ConFnccnfn 25735   LinFnclf 25736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-hilex 25781  ax-hfvadd 25782  ax-hv0cl 25785  ax-hvaddid 25786  ax-hfvmul 25787  ax-hvmulid 25788  ax-hvmulass 25789  ax-hvmul0 25792  ax-hfi 25861  ax-his1 25864  ax-his3 25866  ax-his4 25867
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-seq 12082  df-exp 12141  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-hnorm 25750  df-hvsub 25753  df-nmfn 26629  df-cnfn 26631  df-lnfn 26632
This theorem is referenced by:  lnfncon  26840
  Copyright terms: Public domain W3C validator