HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfncnbd Structured version   Unicode version

Theorem lnfncnbd 26952
Description: A linear functional is continuous iff it is bounded. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnfncnbd  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  ( normfn `  T )  e.  RR ) )

Proof of Theorem lnfncnbd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcfnex 26948 . . 3  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn )  ->  ( normfn `
 T )  e.  RR )
21ex 434 . 2  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn  ->  ( normfn `  T )  e.  RR ) )
3 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  ( normfn `
 T )  e.  RR )  ->  ( normfn `
 T )  e.  RR )
4 nmbdfnlb 26945 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  ( normfn `
 T )  e.  RR  /\  y  e. 
~H )  ->  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( ( normfn `  T
)  x.  ( normh `  y ) ) )
543expa 1197 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  LinFn  /\  ( normfn `  T )  e.  RR )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( ( normfn `  T
)  x.  ( normh `  y ) ) )
65ralrimiva 2857 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  ( normfn `
 T )  e.  RR )  ->  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y )
)  <_  ( ( normfn `
 T )  x.  ( normh `  y )
) )
7 oveq1 6288 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( normfn `  T
)  ->  ( x  x.  ( normh `  y )
)  =  ( (
normfn `  T )  x.  ( normh `  y )
) )
87breq2d 4449 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( normfn `  T
)  ->  ( ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) )  <-> 
( abs `  ( T `  y )
)  <_  ( ( normfn `
 T )  x.  ( normh `  y )
) ) )
98ralbidv 2882 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( normfn `  T
)  ->  ( A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) )  <->  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `
 y ) )  <_  ( ( normfn `  T )  x.  ( normh `  y ) ) ) )
109rspcev 3196 . . . . 5  |-  ( ( ( normfn `  T )  e.  RR  /\  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y )
)  <_  ( ( normfn `
 T )  x.  ( normh `  y )
) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( abs `  ( T `  y )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )
113, 6, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  ( normfn `
 T )  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( abs `  ( T `  y )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )
1211ex 434 . . 3  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( ( normfn `
 T )  e.  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( abs `  ( T `  y )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) ) )
13 lnfncon 26951 . . 3  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) ) )
1412, 13sylibrd 234 . 2  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( ( normfn `
 T )  e.  RR  ->  T  e.  ConFn
) )
152, 14impbid 191 1  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  ( normfn `  T )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494    x. cmul 9500    <_ cle 9632   abscabs 13048   ~Hchil 25812   normhcno 25816   normfncnmf 25844   ConFnccnfn 25846   LinFnclf 25847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-hilex 25892  ax-hfvadd 25893  ax-hv0cl 25896  ax-hvaddid 25897  ax-hfvmul 25898  ax-hvmulid 25899  ax-hvmulass 25900  ax-hvmul0 25903  ax-hfi 25972  ax-his1 25975  ax-his3 25977  ax-his4 25978
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-seq 12089  df-exp 12148  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-hnorm 25861  df-hvsub 25864  df-nmfn 26740  df-cnfn 26742  df-lnfn 26743
This theorem is referenced by:  riesz1  26960  riesz2  26961  rnbra  27002
  Copyright terms: Public domain W3C validator