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Theorem lnext 23146
Description: Extend a line with a missing point. Theorem 4.14 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tglngval.l  |-  L  =  (LineG `  G )
tglngval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tglngval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tglngval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
tglngval.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
tgcolg.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
lnxfr.r  |-  .~  =  (cgrG `  G )
lnxfr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
lnxfr.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
lnxfr.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
lnext.1  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( X L Z )  \/  X  =  Z ) )
lnext.2  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B ) )
Assertion
Ref Expression
lnext  |-  ( ph  ->  E. c  e.  P  <" X Y Z ">  .~  <" A B c "> )
Distinct variable groups:    .- , c    .~ , c    A, c    B, c   
I, c    P, c    X, c    Y, c    Z, c    ph, c
Allowed substitution hints:    G( c)    L( c)

Proof of Theorem lnext
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 lnxfr.d . . . . 5  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 tglngval.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
4 tglngval.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
5 lnxfr.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
6 lnxfr.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
7 tglngval.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
8 tgcolg.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8axtgsegcon 23068 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. c  e.  P  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) ) )
109adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  ->  E. c  e.  P  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B 
.-  c )  =  ( Y  .-  Z
) ) )
11 lnxfr.r . . . . . 6  |-  .~  =  (cgrG `  G )
124ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
13 tglngval.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
1413ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) ) )  ->  X  e.  P )
157ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) ) )  ->  Y  e.  P )
168ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) ) )  ->  Z  e.  P )
175ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) ) )  ->  A  e.  P )
186ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) ) )  ->  B  e.  P )
19 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) ) )  ->  c  e.  P )
20 lnext.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B ) )
2120ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) ) )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B
) )
22 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) ) )  ->  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z
) )
2322eqcomd 2462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) ) )  ->  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c
) )
24 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) ) )  ->  Y  e.  ( X I Z ) )
25 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) ) )  ->  B  e.  ( A I c ) )
261, 2, 3, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 21, 23tgcgrextend 23083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) ) )  ->  ( X  .-  Z )  =  ( A  .-  c
) )
271, 2, 3, 12, 14, 16, 17, 19, 26tgcgrcomlr 23078 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) ) )  ->  ( Z  .-  X )  =  ( c  .-  A
) )
281, 2, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 23, 27trgcgr 23114 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) ) )  ->  <" X Y Z ">  .~  <" A B c "> )
2928ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  /\  c  e.  P )  ->  (
( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) )  ->  <" X Y Z ">  .~  <" A B c "> ) )
3029reximdva 2934 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  ->  ( E. c  e.  P  ( B  e.  ( A I c )  /\  ( B  .-  c )  =  ( Y  .-  Z ) )  ->  E. c  e.  P  <" X Y Z ">  .~  <" A B c "> ) )
3110, 30mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( X I Z ) )  ->  E. c  e.  P  <" X Y Z ">  .~  <" A B c "> )
321, 2, 3, 4, 6, 5, 13, 8axtgsegcon 23068 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. c  e.  P  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) ) )
3332adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  ->  E. c  e.  P  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A 
.-  c )  =  ( X  .-  Z
) ) )
344ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
3513ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) ) )  ->  X  e.  P )
367ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) ) )  ->  Y  e.  P )
378ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) ) )  ->  Z  e.  P )
385ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) ) )  ->  A  e.  P )
396ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) ) )  ->  B  e.  P )
40 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) ) )  ->  c  e.  P )
4120ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) ) )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B
) )
42 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) ) )  ->  X  e.  ( Y I Z ) )
43 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) ) )  ->  A  e.  ( B I c ) )
441, 2, 3, 34, 35, 36, 38, 39, 41tgcgrcomlr 23078 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) ) )  ->  ( Y  .-  X )  =  ( B  .-  A
) )
45 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) ) )  ->  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z
) )
4645eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) ) )  ->  ( X  .-  Z )  =  ( A  .-  c
) )
471, 2, 3, 34, 36, 35, 37, 39, 38, 40, 42, 43, 44, 46tgcgrextend 23083 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) ) )  ->  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c
) )
481, 2, 3, 34, 35, 37, 38, 40, 46tgcgrcomlr 23078 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) ) )  ->  ( Z  .-  X )  =  ( c  .-  A
) )
491, 2, 11, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 47, 48trgcgr 23114 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) ) )  ->  <" X Y Z ">  .~  <" A B c "> )
5049ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  /\  c  e.  P )  ->  (
( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) )  ->  <" X Y Z ">  .~  <" A B c "> ) )
5150reximdva 2934 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  ->  ( E. c  e.  P  ( A  e.  ( B I c )  /\  ( A  .-  c )  =  ( X  .-  Z ) )  ->  E. c  e.  P  <" X Y Z ">  .~  <" A B c "> ) )
5233, 51mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( Y I Z ) )  ->  E. c  e.  P  <" X Y Z ">  .~  <" A B c "> )
534adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  ->  G  e. TarskiG )
5413adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  ->  X  e.  P )
558adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  ->  Z  e.  P )
567adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  ->  Y  e.  P )
575adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  ->  A  e.  P )
586adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  ->  B  e.  P )
59 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  ->  Z  e.  ( X I Y ) )
6020adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B ) )
611, 2, 3, 11, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60tgcgrxfr 23116 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  ->  E. c  e.  P  ( c  e.  ( A I B )  /\  <" X Z Y ">  .~  <" A c B "> ) )
6253ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( c  e.  ( A I B )  /\  <" X Z Y ">  .~  <" A c B "> ) )  ->  G  e. TarskiG )
6354ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( c  e.  ( A I B )  /\  <" X Z Y ">  .~  <" A c B "> ) )  ->  X  e.  P )
6455ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( c  e.  ( A I B )  /\  <" X Z Y ">  .~  <" A c B "> ) )  ->  Z  e.  P )
6556ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( c  e.  ( A I B )  /\  <" X Z Y ">  .~  <" A c B "> ) )  ->  Y  e.  P )
6657ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( c  e.  ( A I B )  /\  <" X Z Y ">  .~  <" A c B "> ) )  ->  A  e.  P )
67 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( c  e.  ( A I B )  /\  <" X Z Y ">  .~  <" A c B "> ) )  ->  c  e.  P )
6858ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( c  e.  ( A I B )  /\  <" X Z Y ">  .~  <" A c B "> ) )  ->  B  e.  P )
69 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( c  e.  ( A I B )  /\  <" X Z Y ">  .~  <" A c B "> ) )  ->  <" X Z Y ">  .~  <" A c B "> )
701, 2, 3, 11, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69cgr3swap23 23122 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  /\  c  e.  P )  /\  ( c  e.  ( A I B )  /\  <" X Z Y ">  .~  <" A c B "> ) )  ->  <" X Y Z ">  .~  <" A B c "> )
7170ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  /\  c  e.  P )  ->  (
( c  e.  ( A I B )  /\  <" X Z Y ">  .~  <" A c B "> )  ->  <" X Y Z ">  .~  <" A B c "> ) )
7271reximdva 2934 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  ->  ( E. c  e.  P  (
c  e.  ( A I B )  /\  <" X Z Y ">  .~  <" A c B "> )  ->  E. c  e.  P  <" X Y Z ">  .~  <" A B c "> ) )
7361, 72mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  Z  e.  ( X I Y ) )  ->  E. c  e.  P  <" X Y Z ">  .~  <" A B c "> )
74 lnext.1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( X L Z )  \/  X  =  Z ) )
75 tglngval.l . . . 4  |-  L  =  (LineG `  G )
761, 75, 3, 4, 13, 8, 7tgcolg 23134 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Y  e.  ( X L Z )  \/  X  =  Z )  <->  ( Y  e.  ( X I Z )  \/  X  e.  ( Y I Z )  \/  Z  e.  ( X I Y ) ) ) )
7774, 76mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( X I Z )  \/  X  e.  ( Y I Z )  \/  Z  e.  ( X I Y ) ) )
7831, 52, 73, 77mpjao3dan 1286 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  P  <" X Y Z ">  .~  <" A B c "> )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2800   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   <"cs3 12591   Basecbs 14296   distcds 14370  TarskiGcstrkg 23032  Itvcitv 23039  LineGclng 23040  cgrGccgrg 23109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-hash 12225  df-word 12351  df-concat 12353  df-s1 12354  df-s2 12597  df-s3 12598  df-trkgc 23051  df-trkgb 23052  df-trkgcb 23053  df-trkg 23057  df-cgrg 23110
This theorem is referenced by:  legov  23164  legov2  23165  legtrd  23168  symquadlem  23234
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