Theorem lnconi 27079

Description: Lemma for lnopconi 27080 and lnfnconi 27101. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lncon.1	|- ( T e. C -> S e. RR )
lncon.2	|- ( ( T e. C /\ y e. ~H ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) )
lncon.3	|- ( T e. C <-> A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
lncon.4	|- ( y e. ~H -> ( N ` ( T ` y ) ) e. RR )
lncon.5	|- ( ( w e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( T ` ( w -h x ) ) = ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lnconi	|- ( T e. C <-> E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, N   y, M   w, T, x, y, z   x, S, y   y, C

Allowed substitution hints:   C( x, z, w)   S( z, w)   M( x, z, w)

Proof of Theorem lnconi

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lncon.1	. . 3 |- ( T e. C -> S e. RR )
2		lncon.2	. . . 4 |- ( ( T e. C /\ y e. ~H ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) )
3	2	ralrimiva 2871	. . 3 |- ( T e. C -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) )
4		oveq1 6303	. . . . . 6 |- ( x = S -> ( x x. ( normh ` y ) ) = ( S x. ( normh ` y ) ) )
5	4	breq2d 4468	. . . . 5 |- ( x = S -> ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) <-> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) ) )
6	5	ralbidv 2896	. . . 4 |- ( x = S -> ( A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) <-> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) ) )
7	6	rspcev 3210	. . 3 |- ( ( S e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) ) -> E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )
8	1, 3, 7	syl2anc 661	. 2 |- ( T e. C -> E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )
9		arch 10813	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> E. n e. NN x < n )
10	9	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) -> E. n e. NN x < n )
11		nnre 10563	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> n e. RR )
12		simplll 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> x e. RR )
13		simpllr 760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> n e. RR )
14		normcl 26169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. RR )
15	14	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( normh ` y ) e. RR )
16		normge0 26170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~H -> 0 <_ ( normh ` y ) )
17	16	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> 0 <_ ( normh ` y ) )
18		ltle 9690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ n e. RR ) -> ( x < n -> x <_ n ) )
19	18	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) -> x <_ n )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> x <_ n )
21	12, 13, 15, 17, 20	lemul1ad 10505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( x x. ( normh ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) )
22		lncon.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~H -> ( N ` ( T ` y ) ) e. RR )
23	22	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( N ` ( T ` y ) ) e. RR )
24		simpll 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) -> x e. RR )
25		remulcl 9594	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( x x. ( normh ` y ) ) e. RR )
26	24, 14, 25	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( x x. ( normh ` y ) ) e. RR )
27		simplr 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) -> n e. RR )
28		remulcl 9594	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( n x. ( normh ` y ) ) e. RR )
29	27, 14, 28	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( n x. ( normh ` y ) ) e. RR )
30		letr 9695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` ( T ` y ) ) e. RR /\ ( x x. ( normh ` y ) ) e. RR /\ ( n x. ( normh ` y ) ) e. RR ) -> ( ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) /\ ( x x. ( normh ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
31	23, 26, 29, 30	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) /\ ( x x. ( normh ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
32	21, 31	mpan2d 674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
33	32	ralimdva 2865	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) -> ( A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
34	33	impancom 440	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) -> ( x < n -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
35	34	an32s 804	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) /\ n e. RR ) -> ( x < n -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
36	11, 35	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( x < n -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
37	36	reximdva 2932	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) -> ( E. n e. NN x < n -> E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
38	10, 37	mpd 15	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) -> E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) )
39	38	rexlimiva 2945	. . 3 |- ( E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) -> E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) )
40		simprr 757	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> z e. RR+ )
41		simpll 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> n e. NN )
42	41	nnrpd 11280	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> n e. RR+ )
43	40, 42	rpdivcld 11298	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> ( z / n ) e. RR+ )
44		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> w e. ~H )
45		simprll 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> x e. ~H )
46		hvsubcl 26061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( w -h x ) e. ~H )
47	44, 45, 46	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( w -h x ) e. ~H )
48		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( w -h x ) -> ( T ` y ) = ( T ` ( w -h x ) ) )
49	48	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( w -h x ) -> ( N ` ( T ` y ) ) = ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) )
50		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( w -h x ) -> ( normh ` y ) = ( normh ` ( w -h x ) ) )
51	50	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( w -h x ) -> ( n x. ( normh ` y ) ) = ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) )
52	49, 51	breq12d 4469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( w -h x ) -> ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) <-> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) ) )
53	52	rspcva 3208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w -h x ) e. ~H /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) )
54	47, 53	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) )
55	54	an32s 804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) )
56	49	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( w -h x ) -> ( ( N ` ( T ` y ) ) e. RR <-> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) e. RR ) )
57	56, 22	vtoclga 3173	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w -h x ) e. ~H -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) e. RR )
58	47, 57	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) e. RR )
59	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> n e. RR )
60		normcl 26169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w -h x ) e. ~H -> ( normh ` ( w -h x ) ) e. RR )
61	47, 60	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( normh ` ( w -h x ) ) e. RR )
62		remulcl 9594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. RR /\ ( normh ` ( w -h x ) ) e. RR ) -> ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) e. RR )
63	59, 61, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) e. RR )
64		simprlr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> z e. RR+ )
65	64	rpred 11281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> z e. RR )
66		lelttr 9692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) e. RR /\ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) /\ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z ) )
67	58, 63, 65, 66	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) /\ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z ) )
68	67	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) /\ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z ) )
69	55, 68	mpand 675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z ) )
70		nnrp 11254	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
71	70	rpregt0d 11287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( n e. RR /\ 0 < n ) )
72	71	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( n e. RR /\ 0 < n ) )
73		ltmuldiv2 10437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( normh ` ( w -h x ) ) e. RR /\ z e. RR /\ ( n e. RR /\ 0 < n ) ) -> ( ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z <-> ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) ) )
74	61, 65, 72, 73	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z <-> ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) ) )
75	74	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z <-> ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) ) )
76		lncon.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( T ` ( w -h x ) ) = ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) )
77	44, 45, 76	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( T ` ( w -h x ) ) = ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) )
78	77	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( T ` ( w -h x ) ) = ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) )
79	78	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) = ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) )
80	79	breq1d 4466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z <-> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
81	69, 75, 80	3imtr3d 267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
82	81	anassrs 648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. ~H ) -> ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
83	82	ralrimiva 2871	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
84		breq2 4460	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( z / n ) -> ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y <-> ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) ) )
85	84	imbi1d 317	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z / n ) -> ( ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) <-> ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) ) )
86	85	ralbidv 2896	. . . . . . . 8 |- ( y = ( z / n ) -> ( A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) <-> A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) ) )
87	86	rspcev 3210	. . . . . . 7 |- ( ( ( z / n ) e. RR+ /\ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) ) -> E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
88	43, 83, 87	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
89	88	ralrimivva 2878	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
90	89	rexlimiva 2945	. . . 4 |- ( E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) -> A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
91		lncon.3	. . . 4 |- ( T e. C <-> A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
92	90, 91	sylibr 212	. . 3 |- ( E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) -> T e. C )
93	39, 92	syl 16	. 2 |- ( E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) -> T e. C )
94	8, 93	impbii 188	1 |- ( T e. C <-> E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   / cdiv 10227   NNcn 10556   RR+crp 11245   ~Hchil 25963   normhcno 25967   -h cmv 25969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-hfvadd 26044  ax-hv0cl 26047  ax-hfvmul 26049  ax-hvmul0 26054  ax-hfi 26123  ax-his1 26126  ax-his3 26128  ax-his4 26129

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-hnorm 26012  df-hvsub 26015

This theorem is referenced by:  lnopconi  27080  lnfnconi  27101