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Theorem lnconi 27628
Description: Lemma for lnopconi 27629 and lnfnconi 27650. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lncon.1  |-  ( T  e.  C  ->  S  e.  RR )
lncon.2  |-  ( ( T  e.  C  /\  y  e.  ~H )  ->  ( N `  ( T `  y )
)  <_  ( S  x.  ( normh `  y )
) )
lncon.3  |-  ( T  e.  C  <->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
y  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
lncon.4  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( N `  ( T `  y ) )  e.  RR )
lncon.5  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  (
w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
lnconi  |-  ( T  e.  C  <->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, N    y, M    w, T, x, y, z   
x, S, y    y, C
Allowed substitution hints:    C( x, z, w)    S( z, w)    M( x, z, w)

Proof of Theorem lnconi
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lncon.1 . . 3  |-  ( T  e.  C  ->  S  e.  RR )
2 lncon.2 . . . 4  |-  ( ( T  e.  C  /\  y  e.  ~H )  ->  ( N `  ( T `  y )
)  <_  ( S  x.  ( normh `  y )
) )
32ralrimiva 2779 . . 3  |-  ( T  e.  C  ->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( S  x.  ( normh `  y )
) )
4 oveq1 6256 . . . . . 6  |-  ( x  =  S  ->  (
x  x.  ( normh `  y ) )  =  ( S  x.  ( normh `  y ) ) )
54breq2d 4378 . . . . 5  |-  ( x  =  S  ->  (
( N `  ( T `  y )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  <->  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( S  x.  ( normh `  y )
) ) )
65ralbidv 2804 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  ( A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  <->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( S  x.  ( normh `  y )
) ) )
76rspcev 3125 . . 3  |-  ( ( S  e.  RR  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( S  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )
81, 3, 7syl2anc 665 . 2  |-  ( T  e.  C  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )
9 arch 10817 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
109adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
11 nnre 10567 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
12 simplll 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  x  e.  RR )
13 simpllr 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  n  e.  RR )
14 normcl 26720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
1514adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
16 normge0 26721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  y )
)
1716adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  0  <_  ( normh `  y )
)
18 ltle 9673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( x  <  n  ->  x  <_  n )
)
1918imp 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n
)  ->  x  <_  n )
2019adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  x  <_  n )
2112, 13, 15, 17, 20lemul1ad 10497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
x  x.  ( normh `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) )
22 lncon.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( N `  ( T `  y ) )  e.  RR )
2322adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( N `  ( T `  y ) )  e.  RR )
24 simpll 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n
)  ->  x  e.  RR )
25 remulcl 9575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  (
x  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
2624, 14, 25syl2an 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
x  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
27 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n
)  ->  n  e.  RR )
28 remulcl 9575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  (
n  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
2927, 14, 28syl2an 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
n  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
30 letr 9678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  ( T `  y )
)  e.  RR  /\  ( x  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR  /\  (
n  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )  ->  (
( ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  /\  ( x  x.  ( normh `  y )
)  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  ->  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3123, 26, 29, 30syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  /\  ( x  x.  ( normh `  y )
)  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  ->  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3221, 31mpan2d 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( N `  ( T `  y )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  ->  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3332ralimdva 2773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n
)  ->  ( A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) )  ->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) ) )
3433impancom 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )  ->  (
x  <  n  ->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3534an32s 811 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )  /\  n  e.  RR )  ->  (
x  <  n  ->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3611, 35sylan2 476 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <  n  ->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3736reximdva 2839 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  n  ->  E. n  e.  NN  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) ) )
3810, 37mpd 15 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  E. n  e.  NN  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )
3938rexlimiva 2852 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) )  ->  E. n  e.  NN  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) )
40 simprr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  z  e.  RR+ )
41 simpll 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  n  e.  NN )
4241nnrpd 11290 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  n  e.  RR+ )
4340, 42rpdivcld 11309 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  ( z  /  n )  e.  RR+ )
44 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  ->  w  e.  ~H )
45 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  ->  x  e.  ~H )
46 hvsubcl 26612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( w  -h  x
)  e.  ~H )
4744, 45, 46syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( w  -h  x
)  e.  ~H )
48 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  ( T `  y )  =  ( T `  ( w  -h  x
) ) )
4948fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  ( N `  ( T `  y ) )  =  ( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) ) )
50 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )
5150oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  (
n  x.  ( normh `  y ) )  =  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) ) )
5249, 51breq12d 4379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  (
( N `  ( T `  y )
)  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
)  <->  ( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) ) ) )
5352rspcva 3123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  -h  x
)  e.  ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  ( N `  ( T `  (
w  -h  x ) ) )  <_  (
n  x.  ( normh `  ( w  -h  x
) ) ) )
5447, 53sylan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  ( N `  ( T `  (
w  -h  x ) ) )  <_  (
n  x.  ( normh `  ( w  -h  x
) ) ) )
5554an32s 811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  ( N `  ( T `  ( w  -h  x
) ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) ) )
5649eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  (
( N `  ( T `  y )
)  e.  RR  <->  ( N `  ( T `  (
w  -h  x ) ) )  e.  RR ) )
5756, 22vtoclga 3088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  -h  x )  e.  ~H  ->  ( N `  ( T `  ( w  -h  x
) ) )  e.  RR )
5847, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  e.  RR )
5911adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  ->  n  e.  RR )
60 normcl 26720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  -h  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( w  -h  x ) )  e.  RR )
6147, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( normh `  ( w  -h  x ) )  e.  RR )
62 remulcl 9575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( normh `  ( w  -h  x ) )  e.  RR )  ->  (
n  x.  ( normh `  ( w  -h  x
) ) )  e.  RR )
6359, 61, 62syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  e.  RR )
64 simprlr 771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
z  e.  RR+ )
6564rpred 11292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
z  e.  RR )
66 lelttr 9675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  e.  RR  /\  (
n  x.  ( normh `  ( w  -h  x
) ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( ( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  /\  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z )  -> 
( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <  z ) )
6758, 63, 65, 66syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( ( ( N `
 ( T `  ( w  -h  x
) ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  /\  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z )  -> 
( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <  z ) )
6867adantlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  (
( ( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  /\  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z )  -> 
( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <  z ) )
6955, 68mpand 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  (
( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z  ->  ( N `  ( T `  ( w  -h  x
) ) )  < 
z ) )
70 nnrp 11262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
7170rpregt0d 11298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
7271adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
73 ltmuldiv2 10430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normh `  ( w  -h  x ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( n  e.  RR  /\  0  <  n ) )  -> 
( ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z  <->  ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  (
z  /  n ) ) )
7461, 65, 72, 73syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z  <->  ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  (
z  /  n ) ) )
7574adantlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  (
( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z  <->  ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  (
z  /  n ) ) )
76 lncon.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  (
w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )
7744, 45, 76syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( T `  (
w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )
7877adantlr 719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  ( T `  ( w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )
7978fveq2d 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  ( N `  ( T `  ( w  -h  x
) ) )  =  ( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) ) )
8079breq1d 4376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  (
( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <  z  <->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
8169, 75, 803imtr3d 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
( z  /  n
)  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
8281anassrs 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( n  e.  NN  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  (
z  /  n )  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
8382ralrimiva 2779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  ( z  /  n )  -> 
( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z ) )
84 breq2 4370 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z  /  n )  ->  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
y  <->  ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  ( z  /  n ) ) )
8584imbi1d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  /  n )  ->  (
( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  y  -> 
( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z )  <-> 
( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  ( z  /  n )  -> 
( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z ) ) )
8685ralbidv 2804 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( z  /  n )  ->  ( A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  y  -> 
( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z )  <->  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  ( z  /  n )  -> 
( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z ) ) )
8786rspcev 3125 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  /  n
)  e.  RR+  /\  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
( z  /  n
)  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )  ->  E. y  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z ) )
8843, 83, 87syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
y  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
8988ralrimivva 2786 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
y  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
9089rexlimiva 2852 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z ) )
91 lncon.3 . . . 4  |-  ( T  e.  C  <->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
y  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
9290, 91sylibr 215 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) )  ->  T  e.  C
)
9339, 92syl 17 . 2  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) )  ->  T  e.  C
)
948, 93impbii 190 1  |-  ( T  e.  C  <->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715   class class class wbr 4366   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   RRcr 9489   0cc0 9490    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627    / cdiv 10220   NNcn 10560   RR+crp 11253   ~Hchil 26514   normhcno 26518    -h cmv 26520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-hfvadd 26595  ax-hv0cl 26598  ax-hfvmul 26600  ax-hvmul0 26605  ax-hfi 26674  ax-his1 26677  ax-his3 26679  ax-his4 26680
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-sup 7909  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-seq 12164  df-exp 12223  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-hnorm 26563  df-hvsub 26566
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