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Theorem lnconi 26614
Description: Lemma for lnopconi 26615 and lnfnconi 26636. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lncon.1  |-  ( T  e.  C  ->  S  e.  RR )
lncon.2  |-  ( ( T  e.  C  /\  y  e.  ~H )  ->  ( N `  ( T `  y )
)  <_  ( S  x.  ( normh `  y )
) )
lncon.3  |-  ( T  e.  C  <->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
y  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
lncon.4  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( N `  ( T `  y ) )  e.  RR )
lncon.5  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  (
w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
lnconi  |-  ( T  e.  C  <->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, N    y, M    w, T, x, y, z   
x, S, y    y, C
Allowed substitution hints:    C( x, z, w)    S( z, w)    M( x, z, w)

Proof of Theorem lnconi
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lncon.1 . . 3  |-  ( T  e.  C  ->  S  e.  RR )
2 lncon.2 . . . 4  |-  ( ( T  e.  C  /\  y  e.  ~H )  ->  ( N `  ( T `  y )
)  <_  ( S  x.  ( normh `  y )
) )
32ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( T  e.  C  ->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( S  x.  ( normh `  y )
) )
4 oveq1 6282 . . . . . 6  |-  ( x  =  S  ->  (
x  x.  ( normh `  y ) )  =  ( S  x.  ( normh `  y ) ) )
54breq2d 4452 . . . . 5  |-  ( x  =  S  ->  (
( N `  ( T `  y )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  <->  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( S  x.  ( normh `  y )
) ) )
65ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  ( A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  <->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( S  x.  ( normh `  y )
) ) )
76rspcev 3207 . . 3  |-  ( ( S  e.  RR  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( S  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )
81, 3, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( T  e.  C  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )
9 arch 10781 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
11 nnre 10532 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
12 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  x  e.  RR )
13 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  n  e.  RR )
14 normcl 25704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
16 normge0 25705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  y )
)
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  0  <_  ( normh `  y )
)
18 ltle 9662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( x  <  n  ->  x  <_  n )
)
1918imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n
)  ->  x  <_  n )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  x  <_  n )
2112, 13, 15, 17, 20lemul1ad 10474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
x  x.  ( normh `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) )
22 lncon.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( N `  ( T `  y ) )  e.  RR )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( N `  ( T `  y ) )  e.  RR )
24 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n
)  ->  x  e.  RR )
25 remulcl 9566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  (
x  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
2624, 14, 25syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
x  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
27 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n
)  ->  n  e.  RR )
28 remulcl 9566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  (
n  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
2927, 14, 28syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
n  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
30 letr 9667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  ( T `  y )
)  e.  RR  /\  ( x  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR  /\  (
n  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )  ->  (
( ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  /\  ( x  x.  ( normh `  y )
)  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  ->  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3123, 26, 29, 30syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  /\  ( x  x.  ( normh `  y )
)  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  ->  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3221, 31mpan2d 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( N `  ( T `  y )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  ->  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3332ralimdva 2865 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n
)  ->  ( A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) )  ->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) ) )
3433impancom 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )  ->  (
x  <  n  ->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3534an32s 802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )  /\  n  e.  RR )  ->  (
x  <  n  ->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3611, 35sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <  n  ->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3736reximdva 2931 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  n  ->  E. n  e.  NN  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) ) )
3810, 37mpd 15 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  E. n  e.  NN  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )
3938rexlimiva 2944 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) )  ->  E. n  e.  NN  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) )
40 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  z  e.  RR+ )
41 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  n  e.  NN )
4241nnrpd 11244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  n  e.  RR+ )
4340, 42rpdivcld 11262 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  ( z  /  n )  e.  RR+ )
44 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  ->  w  e.  ~H )
45 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  ->  x  e.  ~H )
46 hvsubcl 25596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( w  -h  x
)  e.  ~H )
4744, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( w  -h  x
)  e.  ~H )
48 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  ( T `  y )  =  ( T `  ( w  -h  x
) ) )
4948fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  ( N `  ( T `  y ) )  =  ( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) ) )
50 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )
5150oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  (
n  x.  ( normh `  y ) )  =  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) ) )
5249, 51breq12d 4453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  (
( N `  ( T `  y )
)  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
)  <->  ( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) ) ) )
5352rspcva 3205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  -h  x
)  e.  ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  ( N `  ( T `  (
w  -h  x ) ) )  <_  (
n  x.  ( normh `  ( w  -h  x
) ) ) )
5447, 53sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  ( N `  ( T `  (
w  -h  x ) ) )  <_  (
n  x.  ( normh `  ( w  -h  x
) ) ) )
5554an32s 802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  ( N `  ( T `  ( w  -h  x
) ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) ) )
5649eleq1d 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  (
( N `  ( T `  y )
)  e.  RR  <->  ( N `  ( T `  (
w  -h  x ) ) )  e.  RR ) )
5756, 22vtoclga 3170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  -h  x )  e.  ~H  ->  ( N `  ( T `  ( w  -h  x
) ) )  e.  RR )
5847, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  e.  RR )
5911adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  ->  n  e.  RR )
60 normcl 25704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  -h  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( w  -h  x ) )  e.  RR )
6147, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( normh `  ( w  -h  x ) )  e.  RR )
62 remulcl 9566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( normh `  ( w  -h  x ) )  e.  RR )  ->  (
n  x.  ( normh `  ( w  -h  x
) ) )  e.  RR )
6359, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  e.  RR )
64 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
z  e.  RR+ )
6564rpred 11245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
z  e.  RR )
66 lelttr 9664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  e.  RR  /\  (
n  x.  ( normh `  ( w  -h  x
) ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( ( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  /\  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z )  -> 
( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <  z ) )
6758, 63, 65, 66syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( ( ( N `
 ( T `  ( w  -h  x
) ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  /\  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z )  -> 
( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <  z ) )
6867adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  (
( ( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  /\  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z )  -> 
( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <  z ) )
6955, 68mpand 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  (
( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z  ->  ( N `  ( T `  ( w  -h  x
) ) )  < 
z ) )
70 nnrp 11218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
7170rpregt0d 11251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
73 ltmuldiv2 10405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normh `  ( w  -h  x ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( n  e.  RR  /\  0  <  n ) )  -> 
( ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z  <->  ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  (
z  /  n ) ) )
7461, 65, 72, 73syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z  <->  ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  (
z  /  n ) ) )
7574adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  (
( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z  <->  ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  (
z  /  n ) ) )
76 lncon.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  (
w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )
7744, 45, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( T `  (
w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )
7877adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  ( T `  ( w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )
7978fveq2d 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  ( N `  ( T `  ( w  -h  x
) ) )  =  ( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) ) )
8079breq1d 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  (
( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <  z  <->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
8169, 75, 803imtr3d 267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
( z  /  n
)  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
8281anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( n  e.  NN  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  (
z  /  n )  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
8382ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  ( z  /  n )  -> 
( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z ) )
84 breq2 4444 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z  /  n )  ->  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
y  <->  ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  ( z  /  n ) ) )
8584imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  /  n )  ->  (
( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  y  -> 
( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z )  <-> 
( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  ( z  /  n )  -> 
( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z ) ) )
8685ralbidv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( z  /  n )  ->  ( A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  y  -> 
( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z )  <->  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  ( z  /  n )  -> 
( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z ) ) )
8786rspcev 3207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  /  n
)  e.  RR+  /\  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
( z  /  n
)  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )  ->  E. y  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z ) )
8843, 83, 87syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
y  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
8988ralrimivva 2878 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
y  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
9089rexlimiva 2944 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z ) )
91 lncon.3 . . . 4  |-  ( T  e.  C  <->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
y  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
9290, 91sylibr 212 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) )  ->  T  e.  C
)
9339, 92syl 16 . 2  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) )  ->  T  e.  C
)
948, 93impbii 188 1  |-  ( T  e.  C  <->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    / cdiv 10195   NNcn 10525   RR+crp 11209   ~Hchil 25498   normhcno 25502    -h cmv 25504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-hfvadd 25579  ax-hv0cl 25582  ax-hfvmul 25584  ax-hvmul0 25589  ax-hfi 25658  ax-his1 25661  ax-his3 25663  ax-his4 25664
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-hnorm 25547  df-hvsub 25550
This theorem is referenced by:  lnopconi  26615  lnfnconi  26636
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