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Theorem lnconi 27079
Description: Lemma for lnopconi 27080 and lnfnconi 27101. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lncon.1  |-  ( T  e.  C  ->  S  e.  RR )
lncon.2  |-  ( ( T  e.  C  /\  y  e.  ~H )  ->  ( N `  ( T `  y )
)  <_  ( S  x.  ( normh `  y )
) )
lncon.3  |-  ( T  e.  C  <->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
y  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
lncon.4  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( N `  ( T `  y ) )  e.  RR )
lncon.5  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  (
w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
lnconi  |-  ( T  e.  C  <->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, N    y, M    w, T, x, y, z   
x, S, y    y, C
Allowed substitution hints:    C( x, z, w)    S( z, w)    M( x, z, w)

Proof of Theorem lnconi
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lncon.1 . . 3  |-  ( T  e.  C  ->  S  e.  RR )
2 lncon.2 . . . 4  |-  ( ( T  e.  C  /\  y  e.  ~H )  ->  ( N `  ( T `  y )
)  <_  ( S  x.  ( normh `  y )
) )
32ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( T  e.  C  ->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( S  x.  ( normh `  y )
) )
4 oveq1 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  S  ->  (
x  x.  ( normh `  y ) )  =  ( S  x.  ( normh `  y ) ) )
54breq2d 4468 . . . . 5  |-  ( x  =  S  ->  (
( N `  ( T `  y )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  <->  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( S  x.  ( normh `  y )
) ) )
65ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  ( A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  <->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( S  x.  ( normh `  y )
) ) )
76rspcev 3210 . . 3  |-  ( ( S  e.  RR  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( S  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )
81, 3, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( T  e.  C  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )
9 arch 10813 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
11 nnre 10563 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
12 simplll 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  x  e.  RR )
13 simpllr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  n  e.  RR )
14 normcl 26169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
16 normge0 26170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  y )
)
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  0  <_  ( normh `  y )
)
18 ltle 9690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( x  <  n  ->  x  <_  n )
)
1918imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n
)  ->  x  <_  n )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  x  <_  n )
2112, 13, 15, 17, 20lemul1ad 10505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
x  x.  ( normh `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) )
22 lncon.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( N `  ( T `  y ) )  e.  RR )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( N `  ( T `  y ) )  e.  RR )
24 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n
)  ->  x  e.  RR )
25 remulcl 9594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  (
x  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
2624, 14, 25syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
x  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
27 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n
)  ->  n  e.  RR )
28 remulcl 9594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  (
n  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
2927, 14, 28syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
n  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
30 letr 9695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  ( T `  y )
)  e.  RR  /\  ( x  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR  /\  (
n  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )  ->  (
( ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  /\  ( x  x.  ( normh `  y )
)  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  ->  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3123, 26, 29, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  /\  ( x  x.  ( normh `  y )
)  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  ->  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3221, 31mpan2d 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( N `  ( T `  y )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  ->  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3332ralimdva 2865 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  x  <  n
)  ->  ( A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) )  ->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) ) )
3433impancom 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )  ->  (
x  <  n  ->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3534an32s 804 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )  /\  n  e.  RR )  ->  (
x  <  n  ->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3611, 35sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  <  n  ->  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) ) )
3736reximdva 2932 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  n  ->  E. n  e.  NN  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) ) )
3810, 37mpd 15 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  E. n  e.  NN  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )
3938rexlimiva 2945 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) )  ->  E. n  e.  NN  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) )
40 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  z  e.  RR+ )
41 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  n  e.  NN )
4241nnrpd 11280 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  n  e.  RR+ )
4340, 42rpdivcld 11298 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  ( z  /  n )  e.  RR+ )
44 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  ->  w  e.  ~H )
45 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  ->  x  e.  ~H )
46 hvsubcl 26061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( w  -h  x
)  e.  ~H )
4744, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( w  -h  x
)  e.  ~H )
48 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  ( T `  y )  =  ( T `  ( w  -h  x
) ) )
4948fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  ( N `  ( T `  y ) )  =  ( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) ) )
50 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )
5150oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  (
n  x.  ( normh `  y ) )  =  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) ) )
5249, 51breq12d 4469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  (
( N `  ( T `  y )
)  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
)  <->  ( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) ) ) )
5352rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  -h  x
)  e.  ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  ( N `  ( T `  (
w  -h  x ) ) )  <_  (
n  x.  ( normh `  ( w  -h  x
) ) ) )
5447, 53sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  ( N `  ( T `  (
w  -h  x ) ) )  <_  (
n  x.  ( normh `  ( w  -h  x
) ) ) )
5554an32s 804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  ( N `  ( T `  ( w  -h  x
) ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) ) )
5649eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( w  -h  x )  ->  (
( N `  ( T `  y )
)  e.  RR  <->  ( N `  ( T `  (
w  -h  x ) ) )  e.  RR ) )
5756, 22vtoclga 3173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  -h  x )  e.  ~H  ->  ( N `  ( T `  ( w  -h  x
) ) )  e.  RR )
5847, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  e.  RR )
5911adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  ->  n  e.  RR )
60 normcl 26169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  -h  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( w  -h  x ) )  e.  RR )
6147, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( normh `  ( w  -h  x ) )  e.  RR )
62 remulcl 9594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( normh `  ( w  -h  x ) )  e.  RR )  ->  (
n  x.  ( normh `  ( w  -h  x
) ) )  e.  RR )
6359, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  e.  RR )
64 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
z  e.  RR+ )
6564rpred 11281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
z  e.  RR )
66 lelttr 9692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  e.  RR  /\  (
n  x.  ( normh `  ( w  -h  x
) ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( ( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  /\  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z )  -> 
( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <  z ) )
6758, 63, 65, 66syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( ( ( N `
 ( T `  ( w  -h  x
) ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  /\  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z )  -> 
( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <  z ) )
6867adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  (
( ( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  /\  ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z )  -> 
( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <  z ) )
6955, 68mpand 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  (
( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z  ->  ( N `  ( T `  ( w  -h  x
) ) )  < 
z ) )
70 nnrp 11254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
7170rpregt0d 11287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
73 ltmuldiv2 10437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normh `  ( w  -h  x ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( n  e.  RR  /\  0  <  n ) )  -> 
( ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z  <->  ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  (
z  /  n ) ) )
7461, 65, 72, 73syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( ( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z  <->  ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  (
z  /  n ) ) )
7574adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  (
( n  x.  ( normh `  ( w  -h  x ) ) )  <  z  <->  ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  (
z  /  n ) ) )
76 lncon.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  (
w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )
7744, 45, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( x  e. 
~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e. 
~H ) )  -> 
( T `  (
w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )
7877adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  ( T `  ( w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )
7978fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  ( N `  ( T `  ( w  -h  x
) ) )  =  ( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) ) )
8079breq1d 4466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  (
( N `  ( T `  ( w  -h  x ) ) )  <  z  <->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
8169, 75, 803imtr3d 267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
( x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  ~H ) )  ->  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
( z  /  n
)  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
8281anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( n  e.  NN  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  (
z  /  n )  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
8382ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  ( z  /  n )  -> 
( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z ) )
84 breq2 4460 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z  /  n )  ->  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
y  <->  ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  ( z  /  n ) ) )
8584imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  /  n )  ->  (
( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  y  -> 
( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z )  <-> 
( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  ( z  /  n )  -> 
( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z ) ) )
8685ralbidv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( z  /  n )  ->  ( A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  y  -> 
( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z )  <->  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  (
w  -h  x ) )  <  ( z  /  n )  -> 
( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z ) ) )
8786rspcev 3210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  /  n
)  e.  RR+  /\  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
( z  /  n
)  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )  ->  E. y  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z ) )
8843, 83, 87syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( n  x.  ( normh `  y )
) )  /\  (
x  e.  ~H  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
y  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
8988ralrimivva 2878 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
y  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
9089rexlimiva 2945 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( N `  (
( T `  w
) M ( T `
 x ) ) )  <  z ) )
91 lncon.3 . . . 4  |-  ( T  e.  C  <->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  (
( normh `  ( w  -h  x ) )  < 
y  ->  ( N `  ( ( T `  w ) M ( T `  x ) ) )  <  z
) )
9290, 91sylibr 212 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( n  x.  ( normh `  y ) )  ->  T  e.  C
)
9339, 92syl 16 . 2  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) )  ->  T  e.  C
)
948, 93impbii 188 1  |-  ( T  e.  C  <->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    / cdiv 10227   NNcn 10556   RR+crp 11245   ~Hchil 25963   normhcno 25967    -h cmv 25969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-hfvadd 26044  ax-hv0cl 26047  ax-hfvmul 26049  ax-hvmul0 26054  ax-hfi 26123  ax-his1 26126  ax-his3 26128  ax-his4 26129
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-hnorm 26012  df-hvsub 26015
This theorem is referenced by:  lnopconi  27080  lnfnconi  27101
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