Theorem lnconi 27628

Description: Lemma for lnopconi 27629 and lnfnconi 27650. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lncon.1	|- ( T e. C -> S e. RR )
lncon.2	|- ( ( T e. C /\ y e. ~H ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) )
lncon.3	|- ( T e. C <-> A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
lncon.4	|- ( y e. ~H -> ( N ` ( T ` y ) ) e. RR )
lncon.5	|- ( ( w e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( T ` ( w -h x ) ) = ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lnconi	|- ( T e. C <-> E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, N   y, M   w, T, x, y, z   x, S, y   y, C

Allowed substitution hints:   C( x, z, w)   S( z, w)   M( x, z, w)

Proof of Theorem lnconi

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lncon.1	. . 3 |- ( T e. C -> S e. RR )
2		lncon.2	. . . 4 |- ( ( T e. C /\ y e. ~H ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) )
3	2	ralrimiva 2779	. . 3 |- ( T e. C -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) )
4		oveq1 6256	. . . . . 6 |- ( x = S -> ( x x. ( normh ` y ) ) = ( S x. ( normh ` y ) ) )
5	4	breq2d 4378	. . . . 5 |- ( x = S -> ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) <-> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) ) )
6	5	ralbidv 2804	. . . 4 |- ( x = S -> ( A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) <-> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) ) )
7	6	rspcev 3125	. . 3 |- ( ( S e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) ) -> E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )
8	1, 3, 7	syl2anc 665	. 2 |- ( T e. C -> E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )
9		arch 10817	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> E. n e. NN x < n )
10	9	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) -> E. n e. NN x < n )
11		nnre 10567	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> n e. RR )
12		simplll 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> x e. RR )
13		simpllr 767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> n e. RR )
14		normcl 26720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. RR )
15	14	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( normh ` y ) e. RR )
16		normge0 26721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~H -> 0 <_ ( normh ` y ) )
17	16	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> 0 <_ ( normh ` y ) )
18		ltle 9673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ n e. RR ) -> ( x < n -> x <_ n ) )
19	18	imp 430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) -> x <_ n )
20	19	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> x <_ n )
21	12, 13, 15, 17, 20	lemul1ad 10497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( x x. ( normh ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) )
22		lncon.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~H -> ( N ` ( T ` y ) ) e. RR )
23	22	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( N ` ( T ` y ) ) e. RR )
24		simpll 758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) -> x e. RR )
25		remulcl 9575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( x x. ( normh ` y ) ) e. RR )
26	24, 14, 25	syl2an 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( x x. ( normh ` y ) ) e. RR )
27		simplr 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) -> n e. RR )
28		remulcl 9575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( n x. ( normh ` y ) ) e. RR )
29	27, 14, 28	syl2an 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( n x. ( normh ` y ) ) e. RR )
30		letr 9678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` ( T ` y ) ) e. RR /\ ( x x. ( normh ` y ) ) e. RR /\ ( n x. ( normh ` y ) ) e. RR ) -> ( ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) /\ ( x x. ( normh ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
31	23, 26, 29, 30	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) /\ ( x x. ( normh ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
32	21, 31	mpan2d 678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
33	32	ralimdva 2773	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) -> ( A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
34	33	impancom 441	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) -> ( x < n -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
35	34	an32s 811	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) /\ n e. RR ) -> ( x < n -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
36	11, 35	sylan2 476	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( x < n -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
37	36	reximdva 2839	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) -> ( E. n e. NN x < n -> E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
38	10, 37	mpd 15	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) -> E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) )
39	38	rexlimiva 2852	. . 3 |- ( E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) -> E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) )
40		simprr 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> z e. RR+ )
41		simpll 758	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> n e. NN )
42	41	nnrpd 11290	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> n e. RR+ )
43	40, 42	rpdivcld 11309	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> ( z / n ) e. RR+ )
44		simprr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> w e. ~H )
45		simprll 770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> x e. ~H )
46		hvsubcl 26612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( w -h x ) e. ~H )
47	44, 45, 46	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( w -h x ) e. ~H )
48		fveq2 5825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( w -h x ) -> ( T ` y ) = ( T ` ( w -h x ) ) )
49	48	fveq2d 5829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( w -h x ) -> ( N ` ( T ` y ) ) = ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) )
50		fveq2 5825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( w -h x ) -> ( normh ` y ) = ( normh ` ( w -h x ) ) )
51	50	oveq2d 6265	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( w -h x ) -> ( n x. ( normh ` y ) ) = ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) )
52	49, 51	breq12d 4379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( w -h x ) -> ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) <-> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) ) )
53	52	rspcva 3123	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w -h x ) e. ~H /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) )
54	47, 53	sylan 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) )
55	54	an32s 811	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) )
56	49	eleq1d 2490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( w -h x ) -> ( ( N ` ( T ` y ) ) e. RR <-> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) e. RR ) )
57	56, 22	vtoclga 3088	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w -h x ) e. ~H -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) e. RR )
58	47, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) e. RR )
59	11	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> n e. RR )
60		normcl 26720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w -h x ) e. ~H -> ( normh ` ( w -h x ) ) e. RR )
61	47, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( normh ` ( w -h x ) ) e. RR )
62		remulcl 9575	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. RR /\ ( normh ` ( w -h x ) ) e. RR ) -> ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) e. RR )
63	59, 61, 62	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) e. RR )
64		simprlr 771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> z e. RR+ )
65	64	rpred 11292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> z e. RR )
66		lelttr 9675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) e. RR /\ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) /\ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z ) )
67	58, 63, 65, 66	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) /\ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z ) )
68	67	adantlr 719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) /\ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z ) )
69	55, 68	mpand 679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z ) )
70		nnrp 11262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
71	70	rpregt0d 11298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( n e. RR /\ 0 < n ) )
72	71	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( n e. RR /\ 0 < n ) )
73		ltmuldiv2 10430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( normh ` ( w -h x ) ) e. RR /\ z e. RR /\ ( n e. RR /\ 0 < n ) ) -> ( ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z <-> ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) ) )
74	61, 65, 72, 73	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z <-> ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) ) )
75	74	adantlr 719	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z <-> ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) ) )
76		lncon.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( T ` ( w -h x ) ) = ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) )
77	44, 45, 76	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( T ` ( w -h x ) ) = ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) )
78	77	adantlr 719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( T ` ( w -h x ) ) = ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) )
79	78	fveq2d 5829	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) = ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) )
80	79	breq1d 4376	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z <-> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
81	69, 75, 80	3imtr3d 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
82	81	anassrs 652	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. ~H ) -> ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
83	82	ralrimiva 2779	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
84		breq2 4370	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( z / n ) -> ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y <-> ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) ) )
85	84	imbi1d 318	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z / n ) -> ( ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) <-> ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) ) )
86	85	ralbidv 2804	. . . . . . . 8 |- ( y = ( z / n ) -> ( A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) <-> A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) ) )
87	86	rspcev 3125	. . . . . . 7 |- ( ( ( z / n ) e. RR+ /\ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) ) -> E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
88	43, 83, 87	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
89	88	ralrimivva 2786	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
90	89	rexlimiva 2852	. . . 4 |- ( E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) -> A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
91		lncon.3	. . . 4 |- ( T e. C <-> A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
92	90, 91	sylibr 215	. . 3 |- ( E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) -> T e. C )
93	39, 92	syl 17	. 2 |- ( E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) -> T e. C )
94	8, 93	impbii 190	1 |- ( T e. C <-> E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715   class class class wbr 4366   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   RRcr 9489   0cc0 9490   x. cmul 9495   < clt 9626   <_ cle 9627   / cdiv 10220   NNcn 10560   RR+crp 11253   ~Hchil 26514   normhcno 26518   -h cmv 26520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-hfvadd 26595  ax-hv0cl 26598  ax-hfvmul 26600  ax-hvmul0 26605  ax-hfi 26674  ax-his1 26677  ax-his3 26679  ax-his4 26680

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-sup 7909  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-seq 12164  df-exp 12223  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-hnorm 26563  df-hvsub 26566

This theorem is referenced by:  lnopconi  27629  lnfnconi  27650