Theorem lnconi 26614

Description: Lemma for lnopconi 26615 and lnfnconi 26636. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lncon.1	|- ( T e. C -> S e. RR )
lncon.2	|- ( ( T e. C /\ y e. ~H ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) )
lncon.3	|- ( T e. C <-> A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
lncon.4	|- ( y e. ~H -> ( N ` ( T ` y ) ) e. RR )
lncon.5	|- ( ( w e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( T ` ( w -h x ) ) = ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lnconi	|- ( T e. C <-> E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, N   y, M   w, T, x, y, z   x, S, y   y, C

Allowed substitution hints:   C( x, z, w)   S( z, w)   M( x, z, w)

Proof of Theorem lnconi

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lncon.1	. . 3 |- ( T e. C -> S e. RR )
2		lncon.2	. . . 4 |- ( ( T e. C /\ y e. ~H ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) )
3	2	ralrimiva 2871	. . 3 |- ( T e. C -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) )
4		oveq1 6282	. . . . . 6 |- ( x = S -> ( x x. ( normh ` y ) ) = ( S x. ( normh ` y ) ) )
5	4	breq2d 4452	. . . . 5 |- ( x = S -> ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) <-> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) ) )
6	5	ralbidv 2896	. . . 4 |- ( x = S -> ( A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) <-> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) ) )
7	6	rspcev 3207	. . 3 |- ( ( S e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( S x. ( normh ` y ) ) ) -> E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )
8	1, 3, 7	syl2anc 661	. 2 |- ( T e. C -> E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )
9		arch 10781	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> E. n e. NN x < n )
10	9	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) -> E. n e. NN x < n )
11		nnre 10532	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> n e. RR )
12		simplll 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> x e. RR )
13		simpllr 758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> n e. RR )
14		normcl 25704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. RR )
15	14	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( normh ` y ) e. RR )
16		normge0 25705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~H -> 0 <_ ( normh ` y ) )
17	16	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> 0 <_ ( normh ` y ) )
18		ltle 9662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ n e. RR ) -> ( x < n -> x <_ n ) )
19	18	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) -> x <_ n )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> x <_ n )
21	12, 13, 15, 17, 20	lemul1ad 10474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( x x. ( normh ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) )
22		lncon.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~H -> ( N ` ( T ` y ) ) e. RR )
23	22	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( N ` ( T ` y ) ) e. RR )
24		simpll 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) -> x e. RR )
25		remulcl 9566	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( x x. ( normh ` y ) ) e. RR )
26	24, 14, 25	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( x x. ( normh ` y ) ) e. RR )
27		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) -> n e. RR )
28		remulcl 9566	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( n x. ( normh ` y ) ) e. RR )
29	27, 14, 28	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( n x. ( normh ` y ) ) e. RR )
30		letr 9667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` ( T ` y ) ) e. RR /\ ( x x. ( normh ` y ) ) e. RR /\ ( n x. ( normh ` y ) ) e. RR ) -> ( ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) /\ ( x x. ( normh ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
31	23, 26, 29, 30	syl3anc 1223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) /\ ( x x. ( normh ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
32	21, 31	mpan2d 674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) /\ y e. ~H ) -> ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) -> ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
33	32	ralimdva 2865	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ x < n ) -> ( A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
34	33	impancom 440	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ n e. RR ) /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) -> ( x < n -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
35	34	an32s 802	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) /\ n e. RR ) -> ( x < n -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
36	11, 35	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( x < n -> A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
37	36	reximdva 2931	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) -> ( E. n e. NN x < n -> E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) )
38	10, 37	mpd 15	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) ) -> E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) )
39	38	rexlimiva 2944	. . 3 |- ( E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) -> E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) )
40		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> z e. RR+ )
41		simpll 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> n e. NN )
42	41	nnrpd 11244	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> n e. RR+ )
43	40, 42	rpdivcld 11262	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> ( z / n ) e. RR+ )
44		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> w e. ~H )
45		simprll 761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> x e. ~H )
46		hvsubcl 25596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( w -h x ) e. ~H )
47	44, 45, 46	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( w -h x ) e. ~H )
48		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( w -h x ) -> ( T ` y ) = ( T ` ( w -h x ) ) )
49	48	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( w -h x ) -> ( N ` ( T ` y ) ) = ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) )
50		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( w -h x ) -> ( normh ` y ) = ( normh ` ( w -h x ) ) )
51	50	oveq2d 6291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( w -h x ) -> ( n x. ( normh ` y ) ) = ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) )
52	49, 51	breq12d 4453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( w -h x ) -> ( ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) <-> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) ) )
53	52	rspcva 3205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w -h x ) e. ~H /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) )
54	47, 53	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) )
55	54	an32s 802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) )
56	49	eleq1d 2529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( w -h x ) -> ( ( N ` ( T ` y ) ) e. RR <-> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) e. RR ) )
57	56, 22	vtoclga 3170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w -h x ) e. ~H -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) e. RR )
58	47, 57	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) e. RR )
59	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> n e. RR )
60		normcl 25704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w -h x ) e. ~H -> ( normh ` ( w -h x ) ) e. RR )
61	47, 60	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( normh ` ( w -h x ) ) e. RR )
62		remulcl 9566	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. RR /\ ( normh ` ( w -h x ) ) e. RR ) -> ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) e. RR )
63	59, 61, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) e. RR )
64		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> z e. RR+ )
65	64	rpred 11245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> z e. RR )
66		lelttr 9664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) e. RR /\ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) /\ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z ) )
67	58, 63, 65, 66	syl3anc 1223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) /\ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z ) )
68	67	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) <_ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) /\ ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z ) )
69	55, 68	mpand 675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z ) )
70		nnrp 11218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
71	70	rpregt0d 11251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( n e. RR /\ 0 < n ) )
72	71	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( n e. RR /\ 0 < n ) )
73		ltmuldiv2 10405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( normh ` ( w -h x ) ) e. RR /\ z e. RR /\ ( n e. RR /\ 0 < n ) ) -> ( ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z <-> ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) ) )
74	61, 65, 72, 73	syl3anc 1223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z <-> ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) ) )
75	74	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( n x. ( normh ` ( w -h x ) ) ) < z <-> ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) ) )
76		lncon.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( T ` ( w -h x ) ) = ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) )
77	44, 45, 76	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( T ` ( w -h x ) ) = ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) )
78	77	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( T ` ( w -h x ) ) = ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) )
79	78	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) = ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) )
80	79	breq1d 4450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( N ` ( T ` ( w -h x ) ) ) < z <-> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
81	69, 75, 80	3imtr3d 267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) /\ w e. ~H ) ) -> ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
82	81	anassrs 648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. ~H ) -> ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
83	82	ralrimiva 2871	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
84		breq2 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( z / n ) -> ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y <-> ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) ) )
85	84	imbi1d 317	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z / n ) -> ( ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) <-> ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) ) )
86	85	ralbidv 2896	. . . . . . . 8 |- ( y = ( z / n ) -> ( A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) <-> A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) ) )
87	86	rspcev 3207	. . . . . . 7 |- ( ( ( z / n ) e. RR+ /\ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < ( z / n ) -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) ) -> E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
88	43, 83, 87	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) /\ ( x e. ~H /\ z e. RR+ ) ) -> E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
89	88	ralrimivva 2878	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) ) -> A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
90	89	rexlimiva 2944	. . . 4 |- ( E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) -> A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
91		lncon.3	. . . 4 |- ( T e. C <-> A. x e. ~H A. z e. RR+ E. y e. RR+ A. w e. ~H ( ( normh ` ( w -h x ) ) < y -> ( N ` ( ( T ` w ) M ( T ` x ) ) ) < z ) )
92	90, 91	sylibr 212	. . 3 |- ( E. n e. NN A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( n x. ( normh ` y ) ) -> T e. C )
93	39, 92	syl 16	. 2 |- ( E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) -> T e. C )
94	8, 93	impbii 188	1 |- ( T e. C <-> E. x e. RR A. y e. ~H ( N ` ( T ` y ) ) <_ ( x x. ( normh ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   x. cmul 9486   < clt 9617   <_ cle 9618   / cdiv 10195   NNcn 10525   RR+crp 11209   ~Hchil 25498   normhcno 25502   -h cmv 25504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-hfvadd 25579  ax-hv0cl 25582  ax-hfvmul 25584  ax-hvmul0 25589  ax-hfi 25658  ax-his1 25661  ax-his3 25663  ax-his4 25664

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-hnorm 25547  df-hvsub 25550

This theorem is referenced by:  lnopconi  26615  lnfnconi  26636