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Theorem lncmp 35904
Description: If two lines are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lncmp.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lncmp.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lncmp.n  |-  N  =  ( Lines `  K )
lncmp.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
lncmp  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y
) )

Proof of Theorem lncmp
Dummy variables  q  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 759 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( M `  X )  e.  N
)
2 simpll1 1033 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  K  e.  HL )
3 simpll2 1034 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  e.  B
)
4 lncmp.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
6 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
7 lncmp.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( Lines `  K )
8 lncmp.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( pmap `  K
)
94, 5, 6, 7, 8isline3 35897 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  e.  N  <->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K )
( p  =/=  q  /\  X  =  (
p ( join `  K
) q ) ) ) )
102, 3, 9syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( ( M `
 X )  e.  N  <->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p (
join `  K )
q ) ) ) )
111, 10mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p (
join `  K )
q ) ) )
12 simp3rr 1068 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )
13 simp1l1 1087 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
14 simp1l3 1089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  Y  e.  B )
15 simp1rr 1060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
( M `  Y
)  e.  N )
16 simp3ll 1065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K ) )
17 simp3lr 1066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  e.  ( Atoms `  K ) )
18 simp3rl 1067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  =/=  q )
19 lncmp.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
20 hllat 35485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2113, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
224, 6atbase 35411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
2316, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  e.  B )
24 simp1l2 1088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  X  e.  B )
2519, 5, 6hlatlej1 35496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  p  .<_  ( p ( join `  K
) q ) )
2613, 16, 17, 25syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  .<_  ( p (
join `  K )
q ) )
2726, 12breqtrrd 4465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  .<_  X )
28 simp2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  X  .<_  Y )
294, 19, 21, 23, 24, 14, 27, 28lattrd 15887 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  .<_  Y )
304, 6atbase 35411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  ( Atoms `  K
)  ->  q  e.  B )
3117, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  e.  B )
3219, 5, 6hlatlej2 35497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  q  .<_  ( p ( join `  K
) q ) )
3313, 16, 17, 32syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  .<_  ( p (
join `  K )
q ) )
3433, 12breqtrrd 4465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  .<_  X )
354, 19, 21, 31, 24, 14, 34, 28lattrd 15887 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  .<_  Y )
364, 19, 5, 6, 7, 8lneq2at 35899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  ( M `  Y )  e.  N )  /\  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )  /\  p  =/=  q )  /\  (
p  .<_  Y  /\  q  .<_  Y ) )  ->  Y  =  ( p
( join `  K )
q ) )
3713, 14, 15, 16, 17, 18, 29, 35, 36syl332anc 1257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  Y  =  ( p
( join `  K )
q ) )
3812, 37eqtr4d 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  X  =  Y )
39383expia 1196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) )  ->  X  =  Y ) )
4039expd 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
p  =/=  q  /\  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )  ->  X  =  Y )
) )
4140rexlimdvv 2952 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )  ->  X  =  Y )
)
4211, 41mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  =  Y )
4342ex 432 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y ) )
44 simpl1 997 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  K  e.  HL )
4544, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  K  e.  Lat )
46 simpl2 998 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  X  e.  B )
474, 19latref 15882 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  X )
4845, 46, 47syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  X  .<_  X )
49 breq2 4443 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  .<_  X  <->  X  .<_  Y ) )
5048, 49syl5ibcom 220 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X  =  Y  ->  X  .<_  Y ) )
5143, 50impbid 191 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   lecple 14791   joincjn 15772   Latclat 15874   Atomscatm 35385   HLchlt 35472   Linesclines 35615   pmapcpmap 35618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-p0 15868  df-lat 15875  df-clat 15937  df-oposet 35298  df-ol 35300  df-oml 35301  df-covers 35388  df-ats 35389  df-atl 35420  df-cvlat 35444  df-hlat 35473  df-lines 35622  df-pmap 35625
This theorem is referenced by:  2lnat  35905
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