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Theorem lncmp 33060
Description: If two lines are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lncmp.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lncmp.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lncmp.n  |-  N  =  ( Lines `  K )
lncmp.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
lncmp  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y
) )

Proof of Theorem lncmp
Dummy variables  q  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 768 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( M `  X )  e.  N
)
2 simpll1 1044 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  K  e.  HL )
3 simpll2 1045 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  e.  B
)
4 lncmp.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
6 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
7 lncmp.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( Lines `  K )
8 lncmp.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( pmap `  K
)
94, 5, 6, 7, 8isline3 33053 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  e.  N  <->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K )
( p  =/=  q  /\  X  =  (
p ( join `  K
) q ) ) ) )
102, 3, 9syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( ( M `
 X )  e.  N  <->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p (
join `  K )
q ) ) ) )
111, 10mpbid 213 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p (
join `  K )
q ) ) )
12 simp3rr 1079 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )
13 simp1l1 1098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
14 simp1l3 1100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  Y  e.  B )
15 simp1rr 1071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
( M `  Y
)  e.  N )
16 simp3ll 1076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K ) )
17 simp3lr 1077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  e.  ( Atoms `  K ) )
18 simp3rl 1078 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  =/=  q )
19 lncmp.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
20 hllat 32641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
224, 6atbase 32567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
2316, 22syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  e.  B )
24 simp1l2 1099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  X  e.  B )
2519, 5, 6hlatlej1 32652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  p  .<_  ( p ( join `  K
) q ) )
2613, 16, 17, 25syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  .<_  ( p (
join `  K )
q ) )
2726, 12breqtrrd 4452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  .<_  X )
28 simp2 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  X  .<_  Y )
294, 19, 21, 23, 24, 14, 27, 28lattrd 16255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  .<_  Y )
304, 6atbase 32567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  ( Atoms `  K
)  ->  q  e.  B )
3117, 30syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  e.  B )
3219, 5, 6hlatlej2 32653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  q  .<_  ( p ( join `  K
) q ) )
3313, 16, 17, 32syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  .<_  ( p (
join `  K )
q ) )
3433, 12breqtrrd 4452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  .<_  X )
354, 19, 21, 31, 24, 14, 34, 28lattrd 16255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  .<_  Y )
364, 19, 5, 6, 7, 8lneq2at 33055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  ( M `  Y )  e.  N )  /\  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )  /\  p  =/=  q )  /\  (
p  .<_  Y  /\  q  .<_  Y ) )  ->  Y  =  ( p
( join `  K )
q ) )
3713, 14, 15, 16, 17, 18, 29, 35, 36syl332anc 1295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  Y  =  ( p
( join `  K )
q ) )
3812, 37eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  X  =  Y )
39383expia 1207 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) )  ->  X  =  Y ) )
4039expd 437 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
p  =/=  q  /\  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )  ->  X  =  Y )
) )
4140rexlimdvv 2930 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )  ->  X  =  Y )
)
4211, 41mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  =  Y )
4342ex 435 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y ) )
44 simpl1 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  K  e.  HL )
4544, 20syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  K  e.  Lat )
46 simpl2 1009 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  X  e.  B )
474, 19latref 16250 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  X )
4845, 46, 47syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  X  .<_  X )
49 breq2 4430 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  .<_  X  <->  X  .<_  Y ) )
5048, 49syl5ibcom 223 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X  =  Y  ->  X  .<_  Y ) )
5143, 50impbid 193 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   E.wrex 2783   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   lecple 15159   joincjn 16140   Latclat 16242   Atomscatm 32541   HLchlt 32628   Linesclines 32771   pmapcpmap 32774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-lat 16243  df-clat 16305  df-oposet 32454  df-ol 32456  df-oml 32457  df-covers 32544  df-ats 32545  df-atl 32576  df-cvlat 32600  df-hlat 32629  df-lines 32778  df-pmap 32781
This theorem is referenced by:  2lnat  33061
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