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Theorem lncmp 33060
Description: If two lines are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lncmp.b |- B = ( Base ` K )
lncmp.l |- .<_ = ( le ` K )
lncmp.n |- N = ( Lines ` K )
lncmp.m |- M = ( pmap ` K )
Assertion
Ref Expression
lncmp |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )
Proof of Theorem lncmp
Dummy variables q p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 768 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( M ` X ) e. N )
2 simpll1 1044 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> K e. HL )
3 simpll2 1045 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> X e. B )
4 lncmp.b . . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
5 eqid 2429 . . . . . . 7 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
6 eqid 2429 . . . . . . 7 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
7 lncmp.n . . . . . . 7 |- N = ( Lines ` K )
8 lncmp.m . . . . . . 7 |- M = ( pmap ` K )
94, 5, 6, 7, 8isline3 33053 . . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( ( M ` X ) e. N <-> E. p e. ( Atoms ` K ) E. q e. ( Atoms ` K ) ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) )
102, 3, 9syl2anc 665 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( M ` X ) e. N <-> E. p e. ( Atoms ` K ) E. q e. ( Atoms ` K ) ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) )
111, 10mpbid 213 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> E. p e. ( Atoms ` K ) E. q e. ( Atoms ` K ) ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) )
12 simp3rr 1079 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> X = ( p ( join ` K ) q ) )
13 simp1l1 1098 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> K e. HL )
14 simp1l3 1100 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> Y e. B )
15 simp1rr 1071 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> ( M ` Y ) e. N )
16 simp3ll 1076 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p e. ( Atoms ` K ) )
17 simp3lr 1077 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> q e. ( Atoms ` K ) )
18 simp3rl 1078 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p =/= q )
19 lncmp.l . . . . . . . . . 10 |- .<_ = ( le ` K )
20 hllat 32641 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> K e. Lat )
224, 6atbase 32567 . . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( Atoms ` K ) -> p e. B )
2316, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p e. B )
24 simp1l2 1099 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> X e. B )
2519, 5, 6hlatlej1 32652 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) -> p .<_ ( p ( join ` K ) q ) )
2613, 16, 17, 25syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p .<_ ( p ( join ` K ) q ) )
2726, 12breqtrrd 4452 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p .<_ X )
28 simp2 1006 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> X .<_ Y )
294, 19, 21, 23, 24, 14, 27, 28lattrd 16255 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p .<_ Y )
304, 6atbase 32567 . . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( Atoms ` K ) -> q e. B )
3117, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> q e. B )
3219, 5, 6hlatlej2 32653 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) -> q .<_ ( p ( join ` K ) q ) )
3313, 16, 17, 32syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> q .<_ ( p ( join ` K ) q ) )
3433, 12breqtrrd 4452 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> q .<_ X )
354, 19, 21, 31, 24, 14, 34, 28lattrd 16255 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> q .<_ Y )
364, 19, 5, 6, 7, 8lneq2at 33055 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ Y e. B /\ ( M ` Y ) e. N ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) /\ p =/= q ) /\ ( p .<_ Y /\ q .<_ Y ) ) -> Y = ( p ( join ` K ) q ) )
3713, 14, 15, 16, 17, 18, 29, 35, 36syl332anc 1295 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> Y = ( p ( join ` K ) q ) )
3812, 37eqtr4d 2473 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> X = Y )
39383expia 1207 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) -> X = Y ) )
4039expd 437 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) -> X = Y ) ) )
4140rexlimdvv 2930 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( E. p e. ( Atoms ` K ) E. q e. ( Atoms ` K ) ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) -> X = Y ) )
4211, 41mpd 15 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> X = Y )
4342ex 435 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> ( X .<_ Y -> X = Y ) )
44 simpl1 1008 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> K e. HL )
4544, 20syl 17 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> K e. Lat )
46 simpl2 1009 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> X e. B )
474, 19latref 16250 . . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> X .<_ X )
4845, 46, 47syl2anc 665 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> X .<_ X )
49 breq2 4430 . . 3 |- ( X = Y -> ( X .<_ X <-> X .<_ Y ) )
5048, 49syl5ibcom 223 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> ( X = Y -> X .<_ Y ) )
5143, 50impbid 193 1 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   =/= wne 2625   E.wrex 2783   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   lecple 15159   joincjn 16140   Latclat 16242   Atomscatm 32541   HLchlt 32628   Linesclines 32771   pmapcpmap 32774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-lat 16243  df-clat 16305  df-oposet 32454  df-ol 32456  df-oml 32457  df-covers 32544  df-ats 32545  df-atl 32576  df-cvlat 32600  df-hlat 32629  df-lines 32778  df-pmap 32781
This theorem is referenced by:  2lnat  33061
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