Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lncmp Structured version   Unicode version

Theorem lncmp 33060
 Description: If two lines are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lncmp.b
lncmp.l
lncmp.n
lncmp.m
Assertion
Ref Expression
lncmp

Proof of Theorem lncmp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 768 . . . . 5
2 simpll1 1044 . . . . . 6
3 simpll2 1045 . . . . . 6
4 lncmp.b . . . . . . 7
5 eqid 2429 . . . . . . 7
6 eqid 2429 . . . . . . 7
7 lncmp.n . . . . . . 7
8 lncmp.m . . . . . . 7
94, 5, 6, 7, 8isline3 33053 . . . . . 6
102, 3, 9syl2anc 665 . . . . 5
111, 10mpbid 213 . . . 4
12 simp3rr 1079 . . . . . . . 8
13 simp1l1 1098 . . . . . . . . 9
14 simp1l3 1100 . . . . . . . . 9
15 simp1rr 1071 . . . . . . . . 9
16 simp3ll 1076 . . . . . . . . 9
17 simp3lr 1077 . . . . . . . . 9
18 simp3rl 1078 . . . . . . . . 9
19 lncmp.l . . . . . . . . . 10
20 hllat 32641 . . . . . . . . . . 11
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . 10
224, 6atbase 32567 . . . . . . . . . . 11
2316, 22syl 17 . . . . . . . . . 10
24 simp1l2 1099 . . . . . . . . . 10
2519, 5, 6hlatlej1 32652 . . . . . . . . . . . 12
2613, 16, 17, 25syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11
2726, 12breqtrrd 4452 . . . . . . . . . 10
28 simp2 1006 . . . . . . . . . 10
294, 19, 21, 23, 24, 14, 27, 28lattrd 16255 . . . . . . . . 9
304, 6atbase 32567 . . . . . . . . . . 11
3117, 30syl 17 . . . . . . . . . 10
3219, 5, 6hlatlej2 32653 . . . . . . . . . . . 12
3313, 16, 17, 32syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11
3433, 12breqtrrd 4452 . . . . . . . . . 10
354, 19, 21, 31, 24, 14, 34, 28lattrd 16255 . . . . . . . . 9
364, 19, 5, 6, 7, 8lneq2at 33055 . . . . . . . . 9
3713, 14, 15, 16, 17, 18, 29, 35, 36syl332anc 1295 . . . . . . . 8
3812, 37eqtr4d 2473 . . . . . . 7
39383expia 1207 . . . . . 6
4039expd 437 . . . . 5
4140rexlimdvv 2930 . . . 4
4211, 41mpd 15 . . 3
4342ex 435 . 2
44 simpl1 1008 . . . . 5
4544, 20syl 17 . . . 4
46 simpl2 1009 . . . 4
474, 19latref 16250 . . . 4
4845, 46, 47syl2anc 665 . . 3
49 breq2 4430 . . 3
5048, 49syl5ibcom 223 . 2
5143, 50impbid 193 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625  wrex 2783   class class class wbr 4426  cfv 5601  (class class class)co 6305  cbs 15084  cple 15159  cjn 16140  clat 16242  catm 32541  chlt 32628  clines 32771  cpmap 32774 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-lat 16243  df-clat 16305  df-oposet 32454  df-ol 32456  df-oml 32457  df-covers 32544  df-ats 32545  df-atl 32576  df-cvlat 32600  df-hlat 32629  df-lines 32778  df-pmap 32781 This theorem is referenced by:  2lnat  33061
 Copyright terms: Public domain W3C validator