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Theorem lncmp 33766
Description: If two lines are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lncmp.b |- B = ( Base ` K )
lncmp.l |- .<_ = ( le ` K )
lncmp.n |- N = ( Lines ` K )
lncmp.m |- M = ( pmap ` K )
Assertion
Ref Expression
lncmp |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )
Proof of Theorem lncmp
Dummy variables q p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 759 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( M ` X ) e. N )
2 simpll1 1027 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> K e. HL )
3 simpll2 1028 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> X e. B )
4 lncmp.b . . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
5 eqid 2454 . . . . . . 7 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
6 eqid 2454 . . . . . . 7 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
7 lncmp.n . . . . . . 7 |- N = ( Lines ` K )
8 lncmp.m . . . . . . 7 |- M = ( pmap ` K )
94, 5, 6, 7, 8isline3 33759 . . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( ( M ` X ) e. N <-> E. p e. ( Atoms ` K ) E. q e. ( Atoms ` K ) ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) )
102, 3, 9syl2anc 661 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( M ` X ) e. N <-> E. p e. ( Atoms ` K ) E. q e. ( Atoms ` K ) ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) )
111, 10mpbid 210 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> E. p e. ( Atoms ` K ) E. q e. ( Atoms ` K ) ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) )
12 simp3rr 1062 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> X = ( p ( join ` K ) q ) )
13 simp1l1 1081 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> K e. HL )
14 simp1l3 1083 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> Y e. B )
15 simp1rr 1054 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> ( M ` Y ) e. N )
16 simp3ll 1059 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p e. ( Atoms ` K ) )
17 simp3lr 1060 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> q e. ( Atoms ` K ) )
18 simp3rl 1061 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p =/= q )
19 lncmp.l . . . . . . . . . 10 |- .<_ = ( le ` K )
20 hllat 33347 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
2113, 20syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> K e. Lat )
224, 6atbase 33273 . . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( Atoms ` K ) -> p e. B )
2316, 22syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p e. B )
24 simp1l2 1082 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> X e. B )
2519, 5, 6hlatlej1 33358 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) -> p .<_ ( p ( join ` K ) q ) )
2613, 16, 17, 25syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p .<_ ( p ( join ` K ) q ) )
2726, 12breqtrrd 4427 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p .<_ X )
28 simp2 989 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> X .<_ Y )
294, 19, 21, 23, 24, 14, 27, 28lattrd 15348 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p .<_ Y )
304, 6atbase 33273 . . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( Atoms ` K ) -> q e. B )
3117, 30syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> q e. B )
3219, 5, 6hlatlej2 33359 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) -> q .<_ ( p ( join ` K ) q ) )
3313, 16, 17, 32syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> q .<_ ( p ( join ` K ) q ) )
3433, 12breqtrrd 4427 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> q .<_ X )
354, 19, 21, 31, 24, 14, 34, 28lattrd 15348 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> q .<_ Y )
364, 19, 5, 6, 7, 8lneq2at 33761 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ Y e. B /\ ( M ` Y ) e. N ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) /\ p =/= q ) /\ ( p .<_ Y /\ q .<_ Y ) ) -> Y = ( p ( join ` K ) q ) )
3713, 14, 15, 16, 17, 18, 29, 35, 36syl332anc 1250 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> Y = ( p ( join ` K ) q ) )
3812, 37eqtr4d 2498 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> X = Y )
39383expia 1190 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) -> X = Y ) )
4039expd 436 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) -> X = Y ) ) )
4140rexlimdvv 2953 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( E. p e. ( Atoms ` K ) E. q e. ( Atoms ` K ) ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) -> X = Y ) )
4211, 41mpd 15 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> X = Y )
4342ex 434 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> ( X .<_ Y -> X = Y ) )
44 simpl1 991 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> K e. HL )
4544, 20syl 16 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> K e. Lat )
46 simpl2 992 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> X e. B )
474, 19latref 15343 . . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> X .<_ X )
4845, 46, 47syl2anc 661 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> X .<_ X )
49 breq2 4405 . . 3 |- ( X = Y -> ( X .<_ X <-> X .<_ Y ) )
5048, 49syl5ibcom 220 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> ( X = Y -> X .<_ Y ) )
5143, 50impbid 191 1 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   E.wrex 2800   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   lecple 14365   joincjn 15234   Latclat 15335   Atomscatm 33247   HLchlt 33334   Linesclines 33477   pmapcpmap 33480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-poset 15236  df-plt 15248  df-lub 15264  df-glb 15265  df-join 15266  df-meet 15267  df-p0 15329  df-lat 15336  df-clat 15398  df-oposet 33160  df-ol 33162  df-oml 33163  df-covers 33250  df-ats 33251  df-atl 33282  df-cvlat 33306  df-hlat 33335  df-lines 33484  df-pmap 33487
This theorem is referenced by:  2lnat  33767
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