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Theorem lmxrge0 28087
Description: Express "sequence  F converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmxrge0.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
lmxrge0.6  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
lmxrge0.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
Assertion
Ref Expression
lmxrge0  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Distinct variable groups:    x, j, A    j, k, F, x   
k, J, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    ph( j)    A( k)    J( j)

Proof of Theorem lmxrge0
Dummy variables  a 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmxrge0.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
3 xrstopn 19835 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( TopOpen `  RR*s )
42, 3resstopn 19813 . . . . . . 7  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
TopOpen `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) )
51, 4eqtr4i 2489 . . . . . 6  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
6 letopon 19832 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
7 iccssxr 11632 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
8 resttopon 19788 . . . . . . 7  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  (
0 [,] +oo )
) )
96, 7, 8mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
105, 9eqeltri 2541 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) ) )
12 nnuz 11141 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
13 1zzd 10916 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
14 lmxrge0.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
15 lmxrge0.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
1611, 12, 13, 14, 15lmbrf 19887 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) +oo  <->  ( +oo  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) ) )
17 0xr 9657 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
18 pnfxr 11346 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
19 0lepnf 11365 . . . . 5  |-  0  <_ +oo
20 ubicc2 11662 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2117, 18, 19, 20mp3an 1324 . . . 4  |- +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
2221biantrur 506 . . 3  |-  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  ( +oo  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) )
2316, 22syl6bbr 263 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) +oo  <->  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
24 rexr 9656 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
2518a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  -> +oo  e.  RR* )
26 ltpnf 11356 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  < +oo )
27 ubioc1 11603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  x  < +oo )  -> +oo  e.  ( x (,] +oo ) )
2824, 25, 26, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  -> +oo  e.  ( x (,] +oo ) )
29 0ltpnf 11357 . . . . . . . . . 10  |-  0  < +oo
30 ubioc1 11603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  < +oo )  -> +oo  e.  ( 0 (,] +oo ) )
3117, 18, 29, 30mp3an 1324 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  ( 0 (,] +oo )
3228, 31jctir 538 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( +oo  e.  ( x (,] +oo )  /\ +oo  e.  ( 0 (,] +oo ) ) )
33 elin 3683 . . . . . . . 8  |-  ( +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
)  <->  ( +oo  e.  ( x (,] +oo )  /\ +oo  e.  ( 0 (,] +oo )
) )
3432, 33sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  -> +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )
3534ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  -> +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )
36 letop 19833 . . . . . . . . . . 11  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
37 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V
38 iocpnfordt 19842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (,] +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
39 iocpnfordt 19842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,] +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
40 inopn 19534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( x (,] +oo )  e.  (ordTop `  <_  )  /\  (
0 (,] +oo )  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )
4136, 38, 39, 40mp3an 1324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  )
42 elrestr 14845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V  /\  ( (
x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )  -> 
( ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  i^i  (
0 [,] +oo )
)  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) ) )
4336, 37, 41, 42mp3an 1324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  i^i  (
0 [,] +oo )
)  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )
44 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
0 (,] +oo )
45 iocssicc 11637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,] +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
4644, 45sstri 3508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
0 [,] +oo )
47 sseqin2 3713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
0 [,] +oo )  <->  ( ( 0 [,] +oo )  i^i  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )
4846, 47mpbi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,] +oo )  i^i  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )
49 incom 3687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,] +oo )  i^i  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )  =  ( ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
)  i^i  ( 0 [,] +oo ) )
5048, 49eqtr3i 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
)  i^i  ( 0 [,] +oo ) )
5143, 50, 53eltr4i 2558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  J
5251a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  J
)
53 eleq2 2530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  ->  ( +oo  e.  a  <-> +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) ) )
5453adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( +oo  e.  a  <-> +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) ) )
5554biimprd 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( +oo  e.  (
( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  -> +oo  e.  a ) )
56 simp-5r 770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR )
5756rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR* )
58 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  a )
59 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )
6058, 59eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )
61 elin 3683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  <->  ( A  e.  ( x (,] +oo )  /\  A  e.  ( 0 (,] +oo )
) )
6261simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
6360, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
64 elioc1 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  x  < 
A  /\  A  <_ +oo ) ) )
6518, 64mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( A  e. 
RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_ +oo )
) )
6665biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,] +oo ) )  ->  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_ +oo ) )
6766simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,] +oo ) )  ->  x  <  A )
6857, 63, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  x  <  A )
6968ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  ->  ( A  e.  a  ->  x  <  A ) )
7069ralimdva 2865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  (
( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
7170reximdva 2932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
72 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  l )
)
7372raleqdv 3060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  l  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) x  <  A  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A )
)
7473cbvrexv 3085 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  <->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A )
7571, 74syl6ibr 227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
7655, 75imim12d 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  ( +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
) )
7752, 76rspcimdv 3211 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  ( +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
) )
7877imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  ( +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
7935, 78mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
8079ex 434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8180ralrimdva 2875 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
82 simplll 759 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  ph )
83 simpllr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  a  e.  J )
84 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  -> +oo  e.  a )
851pnfneige0 28086 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  J  /\ +oo  e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  a )
8683, 84, 85syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  a )
87 simplr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
88 r19.29r 2993 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. x  e.  RR  ( ( x (,] +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
89 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ph )
90 uznnssnn 11153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  l )  C_  NN )
9190ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( ZZ>= `  l
)  C_  NN )
92 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )
9391, 92sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  k  e.  NN )
9489, 93jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( ph  /\  k  e.  NN )
)
95 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  x  e.  RR )
96 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( x (,] +oo )  C_  a )
97 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  x  <  A
)  ->  ( x (,] +oo )  C_  a
)
98 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR )
9998rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR* )
10014ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10115, 100eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1027, 101sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e. 
RR* )
103102ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  RR* )
104 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  <  A )
105 pnfge 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
106103, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  <_ +oo )
10765biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_ +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
10899, 103, 104, 106, 107syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
109108adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
11097, 109sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  a )
111110ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  ->  ( x  < 
A  ->  A  e.  a ) )
11294, 95, 96, 111syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( x  < 
A  ->  A  e.  a ) )
113112ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
114113reximdva 2932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,] +oo )  C_  a )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
11574, 114syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,] +oo )  C_  a )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
116115expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( x (,] +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
117116rexlimdva 2949 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  ( ( x (,] +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
11888, 117syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
119118imp 429 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( E. x  e.  RR  (
x (,] +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
12082, 86, 87, 119syl12anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
121120exp31 604 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
122121ralrimdva 2875 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A  ->  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) )
12381, 122impbid 191 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
12423, 123bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471   class class class wbr 4456   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556   ZZ>=cuz 11106   (,]cioc 11555   [,]cicc 11557   ↾s cress 14644   ↾t crest 14837   TopOpenctopn 14838  ordTopcordt 14915   RR*scxrs 14916   Topctop 19520  TopOnctopon 19521   ~~> tclm 19853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-rest 14839  df-topn 14840  df-topgen 14860  df-ordt 14917  df-xrs 14918  df-ps 15956  df-tsr 15957  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-lm 19856
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