Theorem lmxrge0 26520

Description: Express "sequence F converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmxrge0.j	|- J = ( TopOpen ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
lmxrge0.6	|- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
lmxrge0.7	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = A )

Assertion

Ref	Expression
lmxrge0	|- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) +oo <-> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )

Distinct variable groups:   x, j, A   j, k, F, x   k, J, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   ph( j)   A( k)   J( j)

Proof of Theorem lmxrge0

Dummy variables a l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmxrge0.j	. . . . . . 7 |- J = ( TopOpen ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
2		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) = ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) )
3		xrstopn 18937	. . . . . . . 8 |- (ordTop ` <_ ) = ( TopOpen ` RR*s )
4	2, 3	resstopn 18915	. . . . . . 7 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) = ( TopOpen ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
5	1, 4	eqtr4i 2483	. . . . . 6 |- J = ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) )
6		letopon 18934	. . . . . . 7 |- (ordTop ` <_ ) e. (TopOn ` RR* )
7		iccssxr 11482	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
8		resttopon 18890	. . . . . . 7 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. (TopOn ` RR* ) /\ ( 0 [,] +oo ) C_ RR* ) -> ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] +oo ) ) )
9	6, 7, 8	mp2an 672	. . . . . 6 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] +oo ) )
10	5, 9	eqeltri 2535	. . . . 5 |- J e. (TopOn ` ( 0 [,] +oo ) )
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( 0 [,] +oo ) ) )
12		nnuz 11000	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
13		1z 10780	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
14	13	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
15		lmxrge0.6	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
16		lmxrge0.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = A )
17	11, 12, 14, 15, 16	lmbrf 18989	. . 3 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) +oo <-> ( +oo e. ( 0 [,] +oo ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) ) )
18		0xr 9534	. . . . 5 |- 0 e. RR*
19		pnfxr 11196	. . . . 5 |- +oo e. RR*
20		0lepnf 11215	. . . . 5 |- 0 <_ +oo
21		ubicc2 11512	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
22	18, 19, 20, 21	mp3an 1315	. . . 4 |- +oo e. ( 0 [,] +oo )
23	22	biantrur 506	. . 3 |- ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) <-> ( +oo e. ( 0 [,] +oo ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) )
24	17, 23	syl6bbr 263	. 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) +oo <-> A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) )
25		rexr 9533	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
26	19	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> +oo e. RR* )
27		ltpnf 11206	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> x < +oo )
28		ubioc1 11453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR* /\ +oo e. RR* /\ x < +oo ) -> +oo e. ( x (,] +oo ) )
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> +oo e. ( x (,] +oo ) )
30		0ltpnf 11207	. . . . . . . . . 10 |- 0 < +oo
31		ubioc1 11453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 < +oo ) -> +oo e. ( 0 (,] +oo ) )
32	18, 19, 30, 31	mp3an 1315	. . . . . . . . 9 |- +oo e. ( 0 (,] +oo )
33	29, 32	jctir 538	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( +oo e. ( x (,] +oo ) /\ +oo e. ( 0 (,] +oo ) ) )
34		elin 3640	. . . . . . . 8 |- ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) <-> ( +oo e. ( x (,] +oo ) /\ +oo e. ( 0 (,] +oo ) ) )
35	33, 34	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
36	35	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) -> +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
37		letop 18935	. . . . . . . . . . 11 |- (ordTop ` <_ ) e. Top
38		ovex 6218	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] +oo ) e. _V
39		iocpnfordt 18944	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ )
40		iocpnfordt 18944	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ )
41		inopn 18637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Top /\ ( x (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ ) /\ ( 0 (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. (ordTop ` <_ ) )
42	37, 39, 40, 41	mp3an 1315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. (ordTop ` <_ )
43		elrestr 14478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Top /\ ( 0 [,] +oo ) e. _V /\ ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) i^i ( 0 [,] +oo ) ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) )
44	37, 38, 42, 43	mp3an 1315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) i^i ( 0 [,] +oo ) ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) )
45		inss2 3672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) C_ ( 0 (,] +oo )
46		iocssicc 11487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 (,] +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
47	45, 46	sstri 3466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) C_ ( 0 [,] +oo )
48		sseqin2 3670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) C_ ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( 0 [,] +oo ) i^i ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
49	47, 48	mpbi 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 [,] +oo ) i^i ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) )
50		incom 3644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 [,] +oo ) i^i ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) = ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) i^i ( 0 [,] +oo ) )
51	49, 50	eqtr3i 2482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) = ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) i^i ( 0 [,] +oo ) )
52	44, 51, 5	3eltr4i 2552	. . . . . . . . 9 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. J
53	52	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. J )
54		eleq2 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> ( +oo e. a <-> +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) )
55	54	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( +oo e. a <-> +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) )
56	55	biimprd 223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> +oo e. a ) )
57		simp-5r 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> x e. RR )
58	57	rexrd 9537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> x e. RR* )
59		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> A e. a )
60		simp-4r 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
61	59, 60	eleqtrd 2541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> A e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
62		elin 3640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) <-> ( A e. ( x (,] +oo ) /\ A e. ( 0 (,] +oo ) ) )
63	62	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
64	61, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
65		elioc1 11446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A e. ( x (,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ x < A /\ A <_ +oo ) ) )
66	19, 65	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR* -> ( A e. ( x (,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ x < A /\ A <_ +oo ) ) )
67	66	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR* /\ A e. ( x (,] +oo ) ) -> ( A e. RR* /\ x < A /\ A <_ +oo ) )
68	67	simp2d 1001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR* /\ A e. ( x (,] +oo ) ) -> x < A )
69	58, 64, 68	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> x < A )
70	69	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( A e. a -> x < A ) )
71	70	ralimdva 2827	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a -> A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A ) )
72	71	reximdva 2927	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A ) )
73		fveq2 5792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = l -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` l ) )
74	73	raleqdv 3022	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = l -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A <-> A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A ) )
75	74	cbvrexv 3047	. . . . . . . . . 10 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A <-> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A )
76	72, 75	syl6ibr 227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
77	56, 76	imim12d 74	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) -> ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) ) )
78	53, 77	rspcimdv 3173	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) -> ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) ) )
79	78	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) -> ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
80	36, 79	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A )
81	80	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
82	81	ralrimdva 2905	. . 3 |- ( ph -> ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
83		simplll 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> ph )
84		simpllr 758	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> a e. J )
85		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> +oo e. a )
86	1	pnfneige0 26519	. . . . . . 7 |- ( ( a e. J /\ +oo e. a ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a )
87	84, 85, 86	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a )
88		simplr 754	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A )
89		r19.29r 2957	. . . . . . . 8 |- ( ( E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) -> E. x e. RR ( ( x (,] +oo ) C_ a /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
90		simp-4l 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ph )
91		uznnssnn 11006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l e. NN -> ( ZZ>= ` l ) C_ NN )
92	91	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( ZZ>= ` l ) C_ NN )
93		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> k e. ( ZZ>= ` l ) )
94	92, 93	sseldd 3458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> k e. NN )
95	90, 94	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( ph /\ k e. NN ) )
96		simp-4r 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> x e. RR )
97		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( x (,] +oo ) C_ a )
98		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ x < A ) -> ( x (,] +oo ) C_ a )
99		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> x e. RR )
100	99	rexrd 9537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> x e. RR* )
101	15	ffvelrnda 5945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. ( 0 [,] +oo ) )
102	16, 101	eqeltrrd 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. ( 0 [,] +oo ) )
103	7, 102	sseldi 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR* )
104	103	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> A e. RR* )
105		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> x < A )
106		pnfge 11214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
107	104, 106	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> A <_ +oo )
108	66	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR* /\ ( A e. RR* /\ x < A /\ A <_ +oo ) ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
109	100, 104, 105, 107, 108	syl13anc 1221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
110	109	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ x < A ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
111	98, 110	sseldd 3458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ x < A ) -> A e. a )
112	111	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) -> ( x < A -> A e. a ) )
113	95, 96, 97, 112	syl21anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( x < A -> A e. a ) )
114	113	ralimdva 2827	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A -> A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
115	114	reximdva 2927	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) -> ( E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
116	75, 115	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
117	116	expimpd 603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( x (,] +oo ) C_ a /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
118	117	rexlimdva 2940	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. x e. RR ( ( x (,] +oo ) C_ a /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
119	89, 118	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
120	119	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a )
121	83, 87, 88, 120	syl12anc 1217	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a )
122	121	exp31 604	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. J ) -> ( A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A -> ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) )
123	122	ralrimdva 2905	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A -> A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) )
124	82, 123	impbid 191	. 2 |- ( ph -> ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) <-> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
125	24, 124	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) +oo <-> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3071   i^i cin 3428   C_ wss 3429   class class class wbr 4393   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387   +oocpnf 9519   RR*cxr 9521   < clt 9522   <_ cle 9523   NNcn 10426   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965   (,]cioc 11405   [,]cicc 11407   ↾_s cress 14286   ↾_t crest 14470   TopOpenctopn 14471  ordTopcordt 14548   RR*scxrs 14549   Topctop 18623  TopOnctopon 18624   ~~> tclm 18955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fi 7765  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-ioo 11408  df-ioc 11409  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-rest 14472  df-topn 14473  df-topgen 14493  df-ordt 14550  df-xrs 14551  df-ps 15481  df-tsr 15482  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-lm 18958

This theorem is referenced by:  lmdvglim  26522