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Theorem lmxrge0 26520
Description: Express "sequence  F converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmxrge0.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
lmxrge0.6  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
lmxrge0.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
Assertion
Ref Expression
lmxrge0  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Distinct variable groups:    x, j, A    j, k, F, x   
k, J, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    ph( j)    A( k)    J( j)

Proof of Theorem lmxrge0
Dummy variables  a 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmxrge0.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
3 xrstopn 18937 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( TopOpen `  RR*s )
42, 3resstopn 18915 . . . . . . 7  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
TopOpen `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) )
51, 4eqtr4i 2483 . . . . . 6  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
6 letopon 18934 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
7 iccssxr 11482 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
8 resttopon 18890 . . . . . . 7  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  (
0 [,] +oo )
) )
96, 7, 8mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
105, 9eqeltri 2535 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) ) )
12 nnuz 11000 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
13 1z 10780 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
15 lmxrge0.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
16 lmxrge0.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
1711, 12, 14, 15, 16lmbrf 18989 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) +oo  <->  ( +oo  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) ) )
18 0xr 9534 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
19 pnfxr 11196 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
20 0lepnf 11215 . . . . 5  |-  0  <_ +oo
21 ubicc2 11512 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2218, 19, 20, 21mp3an 1315 . . . 4  |- +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
2322biantrur 506 . . 3  |-  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  ( +oo  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) )
2417, 23syl6bbr 263 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) +oo  <->  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
25 rexr 9533 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
2619a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  -> +oo  e.  RR* )
27 ltpnf 11206 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  < +oo )
28 ubioc1 11453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  x  < +oo )  -> +oo  e.  ( x (,] +oo ) )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  -> +oo  e.  ( x (,] +oo ) )
30 0ltpnf 11207 . . . . . . . . . 10  |-  0  < +oo
31 ubioc1 11453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  < +oo )  -> +oo  e.  ( 0 (,] +oo ) )
3218, 19, 30, 31mp3an 1315 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  ( 0 (,] +oo )
3329, 32jctir 538 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( +oo  e.  ( x (,] +oo )  /\ +oo  e.  ( 0 (,] +oo ) ) )
34 elin 3640 . . . . . . . 8  |-  ( +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
)  <->  ( +oo  e.  ( x (,] +oo )  /\ +oo  e.  ( 0 (,] +oo )
) )
3533, 34sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  -> +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )
3635ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  -> +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )
37 letop 18935 . . . . . . . . . . 11  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
38 ovex 6218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V
39 iocpnfordt 18944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (,] +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
40 iocpnfordt 18944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,] +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
41 inopn 18637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( x (,] +oo )  e.  (ordTop `  <_  )  /\  (
0 (,] +oo )  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )
4237, 39, 40, 41mp3an 1315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  )
43 elrestr 14478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V  /\  ( (
x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )  -> 
( ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  i^i  (
0 [,] +oo )
)  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) ) )
4437, 38, 42, 43mp3an 1315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  i^i  (
0 [,] +oo )
)  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )
45 inss2 3672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
0 (,] +oo )
46 iocssicc 11487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,] +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
4745, 46sstri 3466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
0 [,] +oo )
48 sseqin2 3670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
0 [,] +oo )  <->  ( ( 0 [,] +oo )  i^i  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )
4947, 48mpbi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,] +oo )  i^i  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )
50 incom 3644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,] +oo )  i^i  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )  =  ( ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
)  i^i  ( 0 [,] +oo ) )
5149, 50eqtr3i 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
)  i^i  ( 0 [,] +oo ) )
5244, 51, 53eltr4i 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  J
5352a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  J
)
54 eleq2 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  ->  ( +oo  e.  a  <-> +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) ) )
5554adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( +oo  e.  a  <-> +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) ) )
5655biimprd 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( +oo  e.  (
( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  -> +oo  e.  a ) )
57 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR )
5857rexrd 9537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR* )
59 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  a )
60 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )
6159, 60eleqtrd 2541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )
62 elin 3640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  <->  ( A  e.  ( x (,] +oo )  /\  A  e.  ( 0 (,] +oo )
) )
6362simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
6461, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
65 elioc1 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  x  < 
A  /\  A  <_ +oo ) ) )
6619, 65mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( A  e. 
RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_ +oo )
) )
6766biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,] +oo ) )  ->  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_ +oo ) )
6867simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,] +oo ) )  ->  x  <  A )
6958, 64, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  x  <  A )
7069ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  ->  ( A  e.  a  ->  x  <  A ) )
7170ralimdva 2827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  (
( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
7271reximdva 2927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
73 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  l )
)
7473raleqdv 3022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  l  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) x  <  A  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A )
)
7574cbvrexv 3047 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  <->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A )
7672, 75syl6ibr 227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
7756, 76imim12d 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  ( +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
) )
7853, 77rspcimdv 3173 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  ( +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
) )
7978imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  ( +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
8036, 79mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
8180ex 434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8281ralrimdva 2905 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
83 simplll 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  ph )
84 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  a  e.  J )
85 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  -> +oo  e.  a )
861pnfneige0 26519 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  J  /\ +oo  e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  a )
8784, 85, 86syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  a )
88 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
89 r19.29r 2957 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. x  e.  RR  ( ( x (,] +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
90 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ph )
91 uznnssnn 11006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  l )  C_  NN )
9291ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( ZZ>= `  l
)  C_  NN )
93 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )
9492, 93sseldd 3458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  k  e.  NN )
9590, 94jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( ph  /\  k  e.  NN )
)
96 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  x  e.  RR )
97 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( x (,] +oo )  C_  a )
98 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  x  <  A
)  ->  ( x (,] +oo )  C_  a
)
99 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR )
10099rexrd 9537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR* )
10115ffvelrnda 5945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10216, 101eqeltrrd 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1037, 102sseldi 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e. 
RR* )
104103ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  RR* )
105 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  <  A )
106 pnfge 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
107104, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  <_ +oo )
10866biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_ +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
109100, 104, 105, 107, 108syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
110109adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
11198, 110sseldd 3458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  a )
112111ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  ->  ( x  < 
A  ->  A  e.  a ) )
11395, 96, 97, 112syl21anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( x  < 
A  ->  A  e.  a ) )
114113ralimdva 2827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
115114reximdva 2927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,] +oo )  C_  a )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
11675, 115syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,] +oo )  C_  a )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
117116expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( x (,] +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
118117rexlimdva 2940 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  ( ( x (,] +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
11989, 118syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
120119imp 429 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( E. x  e.  RR  (
x (,] +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
12183, 87, 88, 120syl12anc 1217 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
122121exp31 604 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
123122ralrimdva 2905 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A  ->  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) )
12482, 123impbid 191 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
12524, 124bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3071    i^i cin 3428    C_ wss 3429   class class class wbr 4393   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387   +oocpnf 9519   RR*cxr 9521    < clt 9522    <_ cle 9523   NNcn 10426   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965   (,]cioc 11405   [,]cicc 11407   ↾s cress 14286   ↾t crest 14470   TopOpenctopn 14471  ordTopcordt 14548   RR*scxrs 14549   Topctop 18623  TopOnctopon 18624   ~~> tclm 18955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fi 7765  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-ioo 11408  df-ioc 11409  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-rest 14472  df-topn 14473  df-topgen 14493  df-ordt 14550  df-xrs 14551  df-ps 15481  df-tsr 15482  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-lm 18958
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