Theorem lmxrge0 28087

Description: Express "sequence F converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmxrge0.j	|- J = ( TopOpen ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
lmxrge0.6	|- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
lmxrge0.7	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = A )

Assertion

Ref	Expression
lmxrge0	|- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) +oo <-> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )

Distinct variable groups:   x, j, A   j, k, F, x   k, J, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   ph( j)   A( k)   J( j)

Proof of Theorem lmxrge0

Dummy variables a l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmxrge0.j	. . . . . . 7 |- J = ( TopOpen ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
2		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) = ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) )
3		xrstopn 19835	. . . . . . . 8 |- (ordTop ` <_ ) = ( TopOpen ` RR*s )
4	2, 3	resstopn 19813	. . . . . . 7 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) = ( TopOpen ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
5	1, 4	eqtr4i 2489	. . . . . 6 |- J = ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) )
6		letopon 19832	. . . . . . 7 |- (ordTop ` <_ ) e. (TopOn ` RR* )
7		iccssxr 11632	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
8		resttopon 19788	. . . . . . 7 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. (TopOn ` RR* ) /\ ( 0 [,] +oo ) C_ RR* ) -> ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] +oo ) ) )
9	6, 7, 8	mp2an 672	. . . . . 6 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] +oo ) )
10	5, 9	eqeltri 2541	. . . . 5 |- J e. (TopOn ` ( 0 [,] +oo ) )
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( 0 [,] +oo ) ) )
12		nnuz 11141	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
13		1zzd 10916	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
14		lmxrge0.6	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
15		lmxrge0.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = A )
16	11, 12, 13, 14, 15	lmbrf 19887	. . 3 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) +oo <-> ( +oo e. ( 0 [,] +oo ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) ) )
17		0xr 9657	. . . . 5 |- 0 e. RR*
18		pnfxr 11346	. . . . 5 |- +oo e. RR*
19		0lepnf 11365	. . . . 5 |- 0 <_ +oo
20		ubicc2 11662	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
21	17, 18, 19, 20	mp3an 1324	. . . 4 |- +oo e. ( 0 [,] +oo )
22	21	biantrur 506	. . 3 |- ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) <-> ( +oo e. ( 0 [,] +oo ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) )
23	16, 22	syl6bbr 263	. 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) +oo <-> A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) )
24		rexr 9656	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
25	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> +oo e. RR* )
26		ltpnf 11356	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> x < +oo )
27		ubioc1 11603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR* /\ +oo e. RR* /\ x < +oo ) -> +oo e. ( x (,] +oo ) )
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> +oo e. ( x (,] +oo ) )
29		0ltpnf 11357	. . . . . . . . . 10 |- 0 < +oo
30		ubioc1 11603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 < +oo ) -> +oo e. ( 0 (,] +oo ) )
31	17, 18, 29, 30	mp3an 1324	. . . . . . . . 9 |- +oo e. ( 0 (,] +oo )
32	28, 31	jctir 538	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( +oo e. ( x (,] +oo ) /\ +oo e. ( 0 (,] +oo ) ) )
33		elin 3683	. . . . . . . 8 |- ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) <-> ( +oo e. ( x (,] +oo ) /\ +oo e. ( 0 (,] +oo ) ) )
34	32, 33	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
35	34	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) -> +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
36		letop 19833	. . . . . . . . . . 11 |- (ordTop ` <_ ) e. Top
37		ovex 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] +oo ) e. _V
38		iocpnfordt 19842	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ )
39		iocpnfordt 19842	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ )
40		inopn 19534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Top /\ ( x (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ ) /\ ( 0 (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. (ordTop ` <_ ) )
41	36, 38, 39, 40	mp3an 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. (ordTop ` <_ )
42		elrestr 14845	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Top /\ ( 0 [,] +oo ) e. _V /\ ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) i^i ( 0 [,] +oo ) ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) )
43	36, 37, 41, 42	mp3an 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) i^i ( 0 [,] +oo ) ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) )
44		inss2 3715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) C_ ( 0 (,] +oo )
45		iocssicc 11637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 (,] +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
46	44, 45	sstri 3508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) C_ ( 0 [,] +oo )
47		sseqin2 3713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) C_ ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( 0 [,] +oo ) i^i ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
48	46, 47	mpbi 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 [,] +oo ) i^i ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) )
49		incom 3687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 [,] +oo ) i^i ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) = ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) i^i ( 0 [,] +oo ) )
50	48, 49	eqtr3i 2488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) = ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) i^i ( 0 [,] +oo ) )
51	43, 50, 5	3eltr4i 2558	. . . . . . . . 9 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. J
52	51	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. J )
53		eleq2 2530	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> ( +oo e. a <-> +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) )
54	53	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( +oo e. a <-> +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) )
55	54	biimprd 223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> +oo e. a ) )
56		simp-5r 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> x e. RR )
57	56	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> x e. RR* )
58		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> A e. a )
59		simp-4r 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
60	58, 59	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> A e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
61		elin 3683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) <-> ( A e. ( x (,] +oo ) /\ A e. ( 0 (,] +oo ) ) )
62	61	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
63	60, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
64		elioc1 11596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A e. ( x (,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ x < A /\ A <_ +oo ) ) )
65	18, 64	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR* -> ( A e. ( x (,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ x < A /\ A <_ +oo ) ) )
66	65	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR* /\ A e. ( x (,] +oo ) ) -> ( A e. RR* /\ x < A /\ A <_ +oo ) )
67	66	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR* /\ A e. ( x (,] +oo ) ) -> x < A )
68	57, 63, 67	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> x < A )
69	68	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( A e. a -> x < A ) )
70	69	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a -> A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A ) )
71	70	reximdva 2932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A ) )
72		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = l -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` l ) )
73	72	raleqdv 3060	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = l -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A <-> A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A ) )
74	73	cbvrexv 3085	. . . . . . . . . 10 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A <-> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A )
75	71, 74	syl6ibr 227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
76	55, 75	imim12d 74	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) -> ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) ) )
77	52, 76	rspcimdv 3211	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) -> ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) ) )
78	77	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) -> ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
79	35, 78	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A )
80	79	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
81	80	ralrimdva 2875	. . 3 |- ( ph -> ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
82		simplll 759	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> ph )
83		simpllr 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> a e. J )
84		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> +oo e. a )
85	1	pnfneige0 28086	. . . . . . 7 |- ( ( a e. J /\ +oo e. a ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a )
86	83, 84, 85	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a )
87		simplr 755	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A )
88		r19.29r 2993	. . . . . . . 8 |- ( ( E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) -> E. x e. RR ( ( x (,] +oo ) C_ a /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
89		simp-4l 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ph )
90		uznnssnn 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l e. NN -> ( ZZ>= ` l ) C_ NN )
91	90	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( ZZ>= ` l ) C_ NN )
92		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> k e. ( ZZ>= ` l ) )
93	91, 92	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> k e. NN )
94	89, 93	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( ph /\ k e. NN ) )
95		simp-4r 768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> x e. RR )
96		simpllr 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( x (,] +oo ) C_ a )
97		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ x < A ) -> ( x (,] +oo ) C_ a )
98		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> x e. RR )
99	98	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> x e. RR* )
100	14	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. ( 0 [,] +oo ) )
101	15, 100	eqeltrrd 2546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. ( 0 [,] +oo ) )
102	7, 101	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR* )
103	102	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> A e. RR* )
104		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> x < A )
105		pnfge 11364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
106	103, 105	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> A <_ +oo )
107	65	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR* /\ ( A e. RR* /\ x < A /\ A <_ +oo ) ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
108	99, 103, 104, 106, 107	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
109	108	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ x < A ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
110	97, 109	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ x < A ) -> A e. a )
111	110	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) -> ( x < A -> A e. a ) )
112	94, 95, 96, 111	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( x < A -> A e. a ) )
113	112	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A -> A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
114	113	reximdva 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) -> ( E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
115	74, 114	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
116	115	expimpd 603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( x (,] +oo ) C_ a /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
117	116	rexlimdva 2949	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. x e. RR ( ( x (,] +oo ) C_ a /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
118	88, 117	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
119	118	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a )
120	82, 86, 87, 119	syl12anc 1226	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a )
121	120	exp31 604	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. J ) -> ( A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A -> ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) )
122	121	ralrimdva 2875	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A -> A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) )
123	81, 122	impbid 191	. 2 |- ( ph -> ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) <-> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
124	23, 123	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) +oo <-> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   class class class wbr 4456   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   NNcn 10556   ZZ>=cuz 11106   (,]cioc 11555   [,]cicc 11557   ↾_s cress 14644   ↾_t crest 14837   TopOpenctopn 14838  ordTopcordt 14915   RR*scxrs 14916   Topctop 19520  TopOnctopon 19521   ~~> tclm 19853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-rest 14839  df-topn 14840  df-topgen 14860  df-ordt 14917  df-xrs 14918  df-ps 15956  df-tsr 15957  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-lm 19856

This theorem is referenced by:  lmdvglim  28089