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Theorem lmxrge0 24290
Description: Express "sequence  F converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of non-negative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmxrge0.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
lmxrge0.6  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
lmxrge0.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
Assertion
Ref Expression
lmxrge0  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Distinct variable groups:    x, j, A    j, k, F, x   
k, J, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    ph( j)    A( k)    J( j)

Proof of Theorem lmxrge0
Dummy variables  a 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmxrge0.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
2 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  =  (
RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )
3 xrstopn 17226 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( TopOpen `  RR* s )
42, 3resstopn 17204 . . . . . . 7  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 
+oo ) )  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
51, 4eqtr4i 2427 . . . . . 6  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo )
)
6 letopon 17223 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
7 iccssxr 10949 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
8 resttopon 17179 . . . . . . 7  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
96, 7, 8mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 
+oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
105, 9eqeltri 2474 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
12 nnuz 10477 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
13 1z 10267 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
15 lmxrge0.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
16 lmxrge0.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
1711, 12, 14, 15, 16lmbrf 17278 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  (  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) ) )
18 0xr 9087 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
19 pnfxr 10669 . . . . 5  |-  +oo  e.  RR*
20 pnfge 10683 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
2118, 20ax-mp 8 . . . . 5  |-  0  <_  +oo
22 ubicc2 10970 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2318, 19, 21, 22mp3an 1279 . . . 4  |-  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )
2423biantrur 493 . . 3  |-  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  ( 
+oo  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
2517, 24syl6bbr 255 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
26 rexr 9086 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
2719a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  +oo  e.  RR* )
28 ltpnf 10677 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  +oo )
29 ubioc1 10921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  x  <  +oo )  ->  +oo  e.  ( x (,]  +oo ) )
3026, 27, 28, 29syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  +oo  e.  ( x (,]  +oo ) )
31 0re 9047 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
32 ltpnf 10677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  <  +oo )
3331, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  +oo
34 ubioc1 10921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 (,]  +oo ) )
3518, 19, 33, 34mp3an 1279 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  ( 0 (,]  +oo )
3630, 35jctir 525 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (  +oo  e.  ( x (,] 
+oo )  /\  +oo  e.  ( 0 (,]  +oo ) ) )
37 elin 3490 . . . . . . . 8  |-  (  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  <-> 
(  +oo  e.  (
x (,]  +oo )  /\  +oo 
e.  ( 0 (,] 
+oo ) ) )
3836, 37sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
3938ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )
40 letop 17224 . . . . . . . . . . 11  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
41 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V
42 iocpnfordt 17233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
43 iocpnfordt 17233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
44 inopn 16927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( x (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )  /\  (
0 (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )
4540, 42, 43, 44mp3an 1279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  )
46 elrestr 13611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V  /\  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) ) )
4740, 41, 45, 46mp3an 1279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )
48 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  C_  (
0 (,]  +oo )
49 iocssicc 24083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,]  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
5048, 49sstri 3317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  C_  (
0 [,]  +oo )
51 sseqin2 3520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  C_  ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( ( 0 [,] 
+oo )  i^i  (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
5250, 51mpbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,]  +oo )  i^i  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )
53 incom 3493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,]  +oo )  i^i  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  =  ( ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )
5452, 53eqtr3i 2426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  =  ( ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  i^i  ( 0 [,] 
+oo ) )
5547, 54, 53eltr4i 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  e.  J
5655a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  e.  J
)
57 eleq2 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  (  +oo  e.  a 
<-> 
+oo  e.  ( (
x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) ) ) )
5857adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  (  +oo  e.  a  <->  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) ) ) )
5958biimprd 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  +oo  e.  a
) )
60 simp-5r 746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR )
6160rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR* )
62 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  a )
63 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
6462, 63eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
65 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  <-> 
( A  e.  ( x (,]  +oo )  /\  A  e.  (
0 (,]  +oo ) ) )
6665simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo )
)
6764, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
68 elioc1 10914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( x (,]  +oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  x  < 
A  /\  A  <_  +oo ) ) )
6919, 68mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( x (,] 
+oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  x  < 
A  /\  A  <_  +oo ) ) )
7069biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,]  +oo ) )  ->  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_  +oo ) )
7170simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,]  +oo ) )  ->  x  <  A )
7261, 67, 71syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  x  <  A )
7372ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( A  e.  a  ->  x  <  A ) )
7473ralimdva 2744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
7574reximdva 2778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
76 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  l )
)
7776raleqdv 2870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  l  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) x  <  A  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A )
)
7877cbvrexv 2893 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  <->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A )
7975, 78syl6ibr 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8059, 79imim12d 70 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  ( (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) ) )
8156, 80rspcimdv 3013 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) ) )
8281imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8339, 82mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
8483ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8584ralrimdva 2756 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
86 simplll 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  ph )
87 simpllr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  a  e.  J )
88 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  +oo  e.  a )
891pnfneige0 24289 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  J  /\  +oo 
e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  a )
9087, 88, 89syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)
91 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
92 r19.29r 2807 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. x  e.  RR  ( ( x (,] 
+oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
93 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ph )
94 uznnssnn 10480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  l )  C_  NN )
9594ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( ZZ>= `  l )  C_  NN )
96 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)
9795, 96sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  k  e.  NN )
9893, 97jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( ph  /\  k  e.  NN ) )
99 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  x  e.  RR )
100 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( x (,]  +oo )  C_  a
)
101 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  x  <  A )  ->  ( x (,]  +oo )  C_  a
)
102 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR )
103102rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR* )
10415ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
10516, 104eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1067, 105sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e. 
RR* )
107106ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  RR* )
108 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  <  A )
109 pnfge 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
110107, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  <_  +oo )
11169biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_  +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
112103, 107, 108, 110, 111syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
113112adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  x  <  A )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
114101, 113sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  x  <  A )  ->  A  e.  a )
115114ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  ->  ( x  <  A  ->  A  e.  a ) )
11698, 99, 100, 115syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( x  <  A  ->  A  e.  a ) )
117116ralimdva 2744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,]  +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
118117reximdva 2778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,]  +oo )  C_  a )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
11978, 118syl5bi 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,]  +oo )  C_  a )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
120119expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( x (,]  +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
121120rexlimdva 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  ( ( x (,]  +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
12292, 121syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
123122imp 419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( E. x  e.  RR  (
x (,]  +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
12486, 90, 91, 123syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
125124exp31 588 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
126125ralrimdva 2756 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A  ->  A. a  e.  J  ( 
+oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) )
12785, 126impbid 184 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
12825, 127bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077   NNcn 9956   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   (,]cioc 10873   [,]cicc 10875   ↾s cress 13425   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ordTopcordt 13676   RR* scxrs 13677   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   ~~> tclm 17244
This theorem is referenced by:  lmdvglim  24292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-ordt 13680  df-xrs 13681  df-ps 14584  df-tsr 14585  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-lm 17247
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