Theorem lmxrge0 28705

Description: Express "sequence F converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmxrge0.j	|- J = ( TopOpen ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
lmxrge0.6	|- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
lmxrge0.7	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = A )

Assertion

Ref	Expression
lmxrge0	|- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) +oo <-> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )

Distinct variable groups:   x, j, A   j, k, F, x   k, J, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   ph( j)   A( k)   J( j)

Proof of Theorem lmxrge0

Dummy variables a l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmxrge0.j	. . . . . . 7 |- J = ( TopOpen ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
2		eqid 2423	. . . . . . . 8 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) = ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) )
3		xrstopn 20161	. . . . . . . 8 |- (ordTop ` <_ ) = ( TopOpen ` RR*s )
4	2, 3	resstopn 20139	. . . . . . 7 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) = ( TopOpen ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
5	1, 4	eqtr4i 2448	. . . . . 6 |- J = ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) )
6		letopon 20158	. . . . . . 7 |- (ordTop ` <_ ) e. (TopOn ` RR* )
7		iccssxr 11663	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
8		resttopon 20114	. . . . . . 7 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. (TopOn ` RR* ) /\ ( 0 [,] +oo ) C_ RR* ) -> ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] +oo ) ) )
9	6, 7, 8	mp2an 676	. . . . . 6 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] +oo ) )
10	5, 9	eqeltri 2497	. . . . 5 |- J e. (TopOn ` ( 0 [,] +oo ) )
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( 0 [,] +oo ) ) )
12		nnuz 11140	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
13		1zzd 10914	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
14		lmxrge0.6	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
15		lmxrge0.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = A )
16	11, 12, 13, 14, 15	lmbrf 20213	. . 3 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) +oo <-> ( +oo e. ( 0 [,] +oo ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) ) )
17		0xr 9633	. . . . 5 |- 0 e. RR*
18		pnfxr 11358	. . . . 5 |- +oo e. RR*
19		0lepnf 11379	. . . . 5 |- 0 <_ +oo
20		ubicc2 11695	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
21	17, 18, 19, 20	mp3an 1360	. . . 4 |- +oo e. ( 0 [,] +oo )
22	21	biantrur 508	. . 3 |- ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) <-> ( +oo e. ( 0 [,] +oo ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) )
23	16, 22	syl6bbr 266	. 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) +oo <-> A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) )
24		rexr 9632	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
25	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> +oo e. RR* )
26		ltpnf 11368	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> x < +oo )
27		ubioc1 11634	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR* /\ +oo e. RR* /\ x < +oo ) -> +oo e. ( x (,] +oo ) )
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1264	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> +oo e. ( x (,] +oo ) )
29		0ltpnf 11370	. . . . . . . . . 10 |- 0 < +oo
30		ubioc1 11634	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 < +oo ) -> +oo e. ( 0 (,] +oo ) )
31	17, 18, 29, 30	mp3an 1360	. . . . . . . . 9 |- +oo e. ( 0 (,] +oo )
32	28, 31	jctir 540	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( +oo e. ( x (,] +oo ) /\ +oo e. ( 0 (,] +oo ) ) )
33		elin 3587	. . . . . . . 8 |- ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) <-> ( +oo e. ( x (,] +oo ) /\ +oo e. ( 0 (,] +oo ) ) )
34	32, 33	sylibr 215	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
35	34	ad2antlr 731	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) -> +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
36		letop 20159	. . . . . . . . . . 11 |- (ordTop ` <_ ) e. Top
37		ovex 6272	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] +oo ) e. _V
38		iocpnfordt 20168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ )
39		iocpnfordt 20168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ )
40		inopn 19866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Top /\ ( x (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ ) /\ ( 0 (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. (ordTop ` <_ ) )
41	36, 38, 39, 40	mp3an 1360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. (ordTop ` <_ )
42		elrestr 15265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Top /\ ( 0 [,] +oo ) e. _V /\ ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) i^i ( 0 [,] +oo ) ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) )
43	36, 37, 41, 42	mp3an 1360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) i^i ( 0 [,] +oo ) ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) )
44		inss2 3621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) C_ ( 0 (,] +oo )
45		iocssicc 11668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 (,] +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
46	44, 45	sstri 3411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) C_ ( 0 [,] +oo )
47		sseqin2 3619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) C_ ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( 0 [,] +oo ) i^i ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
48	46, 47	mpbi 211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 [,] +oo ) i^i ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) )
49		incom 3593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 [,] +oo ) i^i ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) = ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) i^i ( 0 [,] +oo ) )
50	48, 49	eqtr3i 2447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) = ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) i^i ( 0 [,] +oo ) )
51	43, 50, 5	3eltr4i 2514	. . . . . . . . 9 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. J
52	51	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. J )
53		eleq2 2490	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> ( +oo e. a <-> +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) )
54	53	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( +oo e. a <-> +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) )
55	54	biimprd 226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> +oo e. a ) )
56		simp-5r 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> x e. RR )
57	56	rexrd 9636	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> x e. RR* )
58		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> A e. a )
59		simp-4r 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
60	58, 59	eleqtrd 2503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> A e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
61		elin 3587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) <-> ( A e. ( x (,] +oo ) /\ A e. ( 0 (,] +oo ) ) )
62	61	simplbi 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
63	60, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
64		elioc1 11624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A e. ( x (,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ x < A /\ A <_ +oo ) ) )
65	18, 64	mpan2 675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR* -> ( A e. ( x (,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ x < A /\ A <_ +oo ) ) )
66	65	biimpa 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR* /\ A e. ( x (,] +oo ) ) -> ( A e. RR* /\ x < A /\ A <_ +oo ) )
67	66	simp2d 1018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR* /\ A e. ( x (,] +oo ) ) -> x < A )
68	57, 63, 67	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> x < A )
69	68	ex 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( A e. a -> x < A ) )
70	69	ralimdva 2768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a -> A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A ) )
71	70	reximdva 2834	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A ) )
72		fveq2 5820	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = l -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` l ) )
73	72	raleqdv 2965	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = l -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A <-> A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A ) )
74	73	cbvrexv 2992	. . . . . . . . . 10 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A <-> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A )
75	71, 74	syl6ibr 230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
76	55, 75	imim12d 77	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) -> ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) ) )
77	52, 76	rspcimdv 3121	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) -> ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) ) )
78	77	imp 430	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) -> ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
79	35, 78	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A )
80	79	ex 435	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
81	80	ralrimdva 2778	. . 3 |- ( ph -> ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
82		simplll 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> ph )
83		simpllr 767	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> a e. J )
84		simpr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> +oo e. a )
85	1	pnfneige0 28704	. . . . . . 7 |- ( ( a e. J /\ +oo e. a ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a )
86	83, 84, 85	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a )
87		simplr 760	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A )
88		r19.29r 2898	. . . . . . . 8 |- ( ( E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) -> E. x e. RR ( ( x (,] +oo ) C_ a /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
89		simp-4l 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ph )
90		uznnssnn 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l e. NN -> ( ZZ>= ` l ) C_ NN )
91	90	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( ZZ>= ` l ) C_ NN )
92		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> k e. ( ZZ>= ` l ) )
93	91, 92	sseldd 3403	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> k e. NN )
94	89, 93	jca 534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( ph /\ k e. NN ) )
95		simp-4r 775	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> x e. RR )
96		simpllr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( x (,] +oo ) C_ a )
97		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ x < A ) -> ( x (,] +oo ) C_ a )
98		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> x e. RR )
99	98	rexrd 9636	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> x e. RR* )
100	14	ffvelrnda 5976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. ( 0 [,] +oo ) )
101	15, 100	eqeltrrd 2502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. ( 0 [,] +oo ) )
102	7, 101	sseldi 3400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR* )
103	102	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> A e. RR* )
104		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> x < A )
105		pnfge 11378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
106	103, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> A <_ +oo )
107	65	biimpar 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR* /\ ( A e. RR* /\ x < A /\ A <_ +oo ) ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
108	99, 103, 104, 106, 107	syl13anc 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
109	108	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ x < A ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
110	97, 109	sseldd 3403	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ x < A ) -> A e. a )
111	110	ex 435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) -> ( x < A -> A e. a ) )
112	94, 95, 96, 111	syl21anc 1263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( x < A -> A e. a ) )
113	112	ralimdva 2768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A -> A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
114	113	reximdva 2834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) -> ( E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
115	74, 114	syl5bi 220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
116	115	expimpd 606	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( x (,] +oo ) C_ a /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
117	116	rexlimdva 2851	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. x e. RR ( ( x (,] +oo ) C_ a /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
118	88, 117	syl5 33	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
119	118	imp 430	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a )
120	82, 86, 87, 119	syl12anc 1262	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a )
121	120	exp31 607	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. J ) -> ( A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A -> ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) )
122	121	ralrimdva 2778	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A -> A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) )
123	81, 122	impbid 193	. 2 |- ( ph -> ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) <-> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
124	23, 123	bitrd 256	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) +oo <-> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   A.wral 2709   E.wrex 2710   _Vcvv 3017   i^i cin 3373   C_ wss 3374   class class class wbr 4361   -->wf 5535   ` cfv 5539  (class class class)co 6244   RRcr 9484   0cc0 9485   1c1 9486   +oocpnf 9618   RR*cxr 9620   < clt 9621   <_ cle 9622   NNcn 10555   ZZ>=cuz 11105   (,]cioc 11582   [,]cicc 11584   ↾_s cress 15060   ↾_t crest 15257   TopOpenctopn 15258  ordTopcordt 15335   RR*scxrs 15336   Topctop 19854  TopOnctopon 19855   ~~> tclm 20179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-fin 7523  df-fi 7873  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10556  df-2 10614  df-3 10615  df-4 10616  df-5 10617  df-6 10618  df-7 10619  df-8 10620  df-9 10621  df-10 10622  df-n0 10816  df-z 10884  df-dec 10998  df-uz 11106  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11731  df-struct 15061  df-ndx 15062  df-slot 15063  df-base 15064  df-sets 15065  df-ress 15066  df-plusg 15141  df-mulr 15142  df-tset 15147  df-ple 15148  df-ds 15150  df-rest 15259  df-topn 15260  df-topgen 15280  df-ordt 15337  df-xrs 15338  df-ps 16384  df-tsr 16385  df-top 19858  df-bases 19859  df-topon 19860  df-lm 20182

This theorem is referenced by:  lmdvglim  28707