Theorem lmxrge0 27570

Description: Express "sequence F converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmxrge0.j	|- J = ( TopOpen ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
lmxrge0.6	|- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
lmxrge0.7	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = A )

Assertion

Ref	Expression
lmxrge0	|- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) +oo <-> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )

Distinct variable groups:   x, j, A   j, k, F, x   k, J, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   ph( j)   A( k)   J( j)

Proof of Theorem lmxrge0

Dummy variables a l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmxrge0.j	. . . . . . 7 |- J = ( TopOpen ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
2		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) = ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) )
3		xrstopn 19475	. . . . . . . 8 |- (ordTop ` <_ ) = ( TopOpen ` RR*s )
4	2, 3	resstopn 19453	. . . . . . 7 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) = ( TopOpen ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
5	1, 4	eqtr4i 2499	. . . . . 6 |- J = ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) )
6		letopon 19472	. . . . . . 7 |- (ordTop ` <_ ) e. (TopOn ` RR* )
7		iccssxr 11603	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
8		resttopon 19428	. . . . . . 7 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. (TopOn ` RR* ) /\ ( 0 [,] +oo ) C_ RR* ) -> ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] +oo ) ) )
9	6, 7, 8	mp2an 672	. . . . . 6 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] +oo ) )
10	5, 9	eqeltri 2551	. . . . 5 |- J e. (TopOn ` ( 0 [,] +oo ) )
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( 0 [,] +oo ) ) )
12		nnuz 11113	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
13		1z 10890	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
14	13	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
15		lmxrge0.6	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
16		lmxrge0.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = A )
17	11, 12, 14, 15, 16	lmbrf 19527	. . 3 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) +oo <-> ( +oo e. ( 0 [,] +oo ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) ) )
18		0xr 9636	. . . . 5 |- 0 e. RR*
19		pnfxr 11317	. . . . 5 |- +oo e. RR*
20		0lepnf 11336	. . . . 5 |- 0 <_ +oo
21		ubicc2 11633	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
22	18, 19, 20, 21	mp3an 1324	. . . 4 |- +oo e. ( 0 [,] +oo )
23	22	biantrur 506	. . 3 |- ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) <-> ( +oo e. ( 0 [,] +oo ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) )
24	17, 23	syl6bbr 263	. 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) +oo <-> A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) )
25		rexr 9635	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
26	19	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> +oo e. RR* )
27		ltpnf 11327	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> x < +oo )
28		ubioc1 11574	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR* /\ +oo e. RR* /\ x < +oo ) -> +oo e. ( x (,] +oo ) )
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> +oo e. ( x (,] +oo ) )
30		0ltpnf 11328	. . . . . . . . . 10 |- 0 < +oo
31		ubioc1 11574	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 < +oo ) -> +oo e. ( 0 (,] +oo ) )
32	18, 19, 30, 31	mp3an 1324	. . . . . . . . 9 |- +oo e. ( 0 (,] +oo )
33	29, 32	jctir 538	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( +oo e. ( x (,] +oo ) /\ +oo e. ( 0 (,] +oo ) ) )
34		elin 3687	. . . . . . . 8 |- ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) <-> ( +oo e. ( x (,] +oo ) /\ +oo e. ( 0 (,] +oo ) ) )
35	33, 34	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
36	35	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) -> +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
37		letop 19473	. . . . . . . . . . 11 |- (ordTop ` <_ ) e. Top
38		ovex 6307	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] +oo ) e. _V
39		iocpnfordt 19482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ )
40		iocpnfordt 19482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ )
41		inopn 19175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Top /\ ( x (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ ) /\ ( 0 (,] +oo ) e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. (ordTop ` <_ ) )
42	37, 39, 40, 41	mp3an 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. (ordTop ` <_ )
43		elrestr 14680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Top /\ ( 0 [,] +oo ) e. _V /\ ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) i^i ( 0 [,] +oo ) ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) )
44	37, 38, 42, 43	mp3an 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) i^i ( 0 [,] +oo ) ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) )
45		inss2 3719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) C_ ( 0 (,] +oo )
46		iocssicc 11608	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 (,] +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
47	45, 46	sstri 3513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) C_ ( 0 [,] +oo )
48		sseqin2 3717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) C_ ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( 0 [,] +oo ) i^i ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
49	47, 48	mpbi 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 [,] +oo ) i^i ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) )
50		incom 3691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 [,] +oo ) i^i ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) = ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) i^i ( 0 [,] +oo ) )
51	49, 50	eqtr3i 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) = ( ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) i^i ( 0 [,] +oo ) )
52	44, 51, 5	3eltr4i 2568	. . . . . . . . 9 |- ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. J
53	52	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) e. J )
54		eleq2 2540	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> ( +oo e. a <-> +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) )
55	54	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( +oo e. a <-> +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) )
56	55	biimprd 223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> +oo e. a ) )
57		simp-5r 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> x e. RR )
58	57	rexrd 9639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> x e. RR* )
59		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> A e. a )
60		simp-4r 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
61	59, 60	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> A e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) )
62		elin 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) <-> ( A e. ( x (,] +oo ) /\ A e. ( 0 (,] +oo ) ) )
63	62	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
64	61, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
65		elioc1 11567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A e. ( x (,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ x < A /\ A <_ +oo ) ) )
66	19, 65	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR* -> ( A e. ( x (,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ x < A /\ A <_ +oo ) ) )
67	66	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR* /\ A e. ( x (,] +oo ) ) -> ( A e. RR* /\ x < A /\ A <_ +oo ) )
68	67	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR* /\ A e. ( x (,] +oo ) ) -> x < A )
69	58, 64, 68	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) /\ A e. a ) -> x < A )
70	69	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( A e. a -> x < A ) )
71	70	ralimdva 2872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) /\ l e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a -> A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A ) )
72	71	reximdva 2938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A ) )
73		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = l -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` l ) )
74	73	raleqdv 3064	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = l -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A <-> A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A ) )
75	74	cbvrexv 3089	. . . . . . . . . 10 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A <-> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A )
76	72, 75	syl6ibr 227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
77	56, 76	imim12d 74	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ a = ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) ) -> ( ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) -> ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) ) )
78	53, 77	rspcimdv 3215	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) -> ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) ) )
79	78	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) -> ( +oo e. ( ( x (,] +oo ) i^i ( 0 (,] +oo ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
80	36, 79	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A )
81	80	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
82	81	ralrimdva 2882	. . 3 |- ( ph -> ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
83		simplll 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> ph )
84		simpllr 758	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> a e. J )
85		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> +oo e. a )
86	1	pnfneige0 27569	. . . . . . 7 |- ( ( a e. J /\ +oo e. a ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a )
87	84, 85, 86	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a )
88		simplr 754	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A )
89		r19.29r 2998	. . . . . . . 8 |- ( ( E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) -> E. x e. RR ( ( x (,] +oo ) C_ a /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
90		simp-4l 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ph )
91		uznnssnn 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l e. NN -> ( ZZ>= ` l ) C_ NN )
92	91	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( ZZ>= ` l ) C_ NN )
93		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> k e. ( ZZ>= ` l ) )
94	92, 93	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> k e. NN )
95	90, 94	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( ph /\ k e. NN ) )
96		simp-4r 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> x e. RR )
97		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( x (,] +oo ) C_ a )
98		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ x < A ) -> ( x (,] +oo ) C_ a )
99		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> x e. RR )
100	99	rexrd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> x e. RR* )
101	15	ffvelrnda 6019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. ( 0 [,] +oo ) )
102	16, 101	eqeltrrd 2556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. ( 0 [,] +oo ) )
103	7, 102	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR* )
104	103	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> A e. RR* )
105		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> x < A )
106		pnfge 11335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
107	104, 106	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> A <_ +oo )
108	66	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR* /\ ( A e. RR* /\ x < A /\ A <_ +oo ) ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
109	100, 104, 105, 107, 108	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x < A ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
110	109	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ x < A ) -> A e. ( x (,] +oo ) )
111	98, 110	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ x < A ) -> A e. a )
112	111	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) -> ( x < A -> A e. a ) )
113	95, 96, 97, 112	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` l ) ) -> ( x < A -> A e. a ) )
114	113	ralimdva 2872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) /\ l e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A -> A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
115	114	reximdva 2938	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) -> ( E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) x < A -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
116	75, 115	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x (,] +oo ) C_ a ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
117	116	expimpd 603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( x (,] +oo ) C_ a /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
118	117	rexlimdva 2955	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. x e. RR ( ( x (,] +oo ) C_ a /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
119	89, 118	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) )
120	119	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ a /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a )
121	83, 87, 88, 120	syl12anc 1226	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ a e. J ) /\ A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) /\ +oo e. a ) -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a )
122	121	exp31 604	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. J ) -> ( A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A -> ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) )
123	122	ralrimdva 2882	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A -> A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) ) )
124	82, 123	impbid 191	. 2 |- ( ph -> ( A. a e. J ( +oo e. a -> E. l e. NN A. k e. ( ZZ>= ` l ) A e. a ) <-> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )
125	24, 124	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) +oo <-> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   i^i cin 3475   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   NNcn 10532   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   (,]cioc 11526   [,]cicc 11528   ↾_s cress 14487   ↾_t crest 14672   TopOpenctopn 14673  ordTopcordt 14750   RR*scxrs 14751   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   ~~> tclm 19493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-rest 14674  df-topn 14675  df-topgen 14695  df-ordt 14752  df-xrs 14753  df-ps 15683  df-tsr 15684  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-lm 19496

This theorem is referenced by:  lmdvglim  27572