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Theorem lmxrge0 27570
Description: Express "sequence  F converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmxrge0.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
lmxrge0.6  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
lmxrge0.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
Assertion
Ref Expression
lmxrge0  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Distinct variable groups:    x, j, A    j, k, F, x   
k, J, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    ph( j)    A( k)    J( j)

Proof of Theorem lmxrge0
Dummy variables  a 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmxrge0.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
3 xrstopn 19475 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( TopOpen `  RR*s )
42, 3resstopn 19453 . . . . . . 7  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
TopOpen `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) )
51, 4eqtr4i 2499 . . . . . 6  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
6 letopon 19472 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
7 iccssxr 11603 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
8 resttopon 19428 . . . . . . 7  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  (
0 [,] +oo )
) )
96, 7, 8mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
105, 9eqeltri 2551 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) ) )
12 nnuz 11113 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
13 1z 10890 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
15 lmxrge0.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
16 lmxrge0.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
1711, 12, 14, 15, 16lmbrf 19527 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) +oo  <->  ( +oo  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) ) )
18 0xr 9636 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
19 pnfxr 11317 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
20 0lepnf 11336 . . . . 5  |-  0  <_ +oo
21 ubicc2 11633 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2218, 19, 20, 21mp3an 1324 . . . 4  |- +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
2322biantrur 506 . . 3  |-  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  ( +oo  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) )
2417, 23syl6bbr 263 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) +oo  <->  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
25 rexr 9635 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
2619a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  -> +oo  e.  RR* )
27 ltpnf 11327 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  < +oo )
28 ubioc1 11574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  x  < +oo )  -> +oo  e.  ( x (,] +oo ) )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  -> +oo  e.  ( x (,] +oo ) )
30 0ltpnf 11328 . . . . . . . . . 10  |-  0  < +oo
31 ubioc1 11574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  < +oo )  -> +oo  e.  ( 0 (,] +oo ) )
3218, 19, 30, 31mp3an 1324 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  ( 0 (,] +oo )
3329, 32jctir 538 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( +oo  e.  ( x (,] +oo )  /\ +oo  e.  ( 0 (,] +oo ) ) )
34 elin 3687 . . . . . . . 8  |-  ( +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
)  <->  ( +oo  e.  ( x (,] +oo )  /\ +oo  e.  ( 0 (,] +oo )
) )
3533, 34sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  -> +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )
3635ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  -> +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )
37 letop 19473 . . . . . . . . . . 11  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
38 ovex 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V
39 iocpnfordt 19482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (,] +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
40 iocpnfordt 19482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,] +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
41 inopn 19175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( x (,] +oo )  e.  (ordTop `  <_  )  /\  (
0 (,] +oo )  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )
4237, 39, 40, 41mp3an 1324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  )
43 elrestr 14680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V  /\  ( (
x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )  -> 
( ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  i^i  (
0 [,] +oo )
)  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) ) )
4437, 38, 42, 43mp3an 1324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  i^i  (
0 [,] +oo )
)  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )
45 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
0 (,] +oo )
46 iocssicc 11608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,] +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
4745, 46sstri 3513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
0 [,] +oo )
48 sseqin2 3717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
0 [,] +oo )  <->  ( ( 0 [,] +oo )  i^i  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )
4947, 48mpbi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,] +oo )  i^i  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )
50 incom 3691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,] +oo )  i^i  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )  =  ( ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
)  i^i  ( 0 [,] +oo ) )
5149, 50eqtr3i 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
)  i^i  ( 0 [,] +oo ) )
5244, 51, 53eltr4i 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  J
5352a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  J
)
54 eleq2 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  ->  ( +oo  e.  a  <-> +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) ) )
5554adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( +oo  e.  a  <-> +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) ) )
5655biimprd 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( +oo  e.  (
( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  -> +oo  e.  a ) )
57 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR )
5857rexrd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR* )
59 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  a )
60 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )
6159, 60eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )
62 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  <->  ( A  e.  ( x (,] +oo )  /\  A  e.  ( 0 (,] +oo )
) )
6362simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
6461, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
65 elioc1 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  x  < 
A  /\  A  <_ +oo ) ) )
6619, 65mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( A  e. 
RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_ +oo )
) )
6766biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,] +oo ) )  ->  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_ +oo ) )
6867simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,] +oo ) )  ->  x  <  A )
6958, 64, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  x  <  A )
7069ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  ->  ( A  e.  a  ->  x  <  A ) )
7170ralimdva 2872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  (
( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
7271reximdva 2938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
73 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  l )
)
7473raleqdv 3064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  l  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) x  <  A  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A )
)
7574cbvrexv 3089 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  <->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A )
7672, 75syl6ibr 227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
7756, 76imim12d 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  ( +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
) )
7853, 77rspcimdv 3215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  ( +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
) )
7978imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  ( +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
8036, 79mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
8180ex 434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8281ralrimdva 2882 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
83 simplll 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  ph )
84 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  a  e.  J )
85 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  -> +oo  e.  a )
861pnfneige0 27569 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  J  /\ +oo  e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  a )
8784, 85, 86syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  a )
88 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
89 r19.29r 2998 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. x  e.  RR  ( ( x (,] +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
90 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ph )
91 uznnssnn 11124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  l )  C_  NN )
9291ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( ZZ>= `  l
)  C_  NN )
93 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )
9492, 93sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  k  e.  NN )
9590, 94jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( ph  /\  k  e.  NN )
)
96 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  x  e.  RR )
97 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( x (,] +oo )  C_  a )
98 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  x  <  A
)  ->  ( x (,] +oo )  C_  a
)
99 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR )
10099rexrd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR* )
10115ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10216, 101eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1037, 102sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e. 
RR* )
104103ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  RR* )
105 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  <  A )
106 pnfge 11335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
107104, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  <_ +oo )
10866biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_ +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
109100, 104, 105, 107, 108syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
110109adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
11198, 110sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  a )
112111ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  ->  ( x  < 
A  ->  A  e.  a ) )
11395, 96, 97, 112syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( x  < 
A  ->  A  e.  a ) )
114113ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
115114reximdva 2938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,] +oo )  C_  a )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
11675, 115syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,] +oo )  C_  a )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
117116expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( x (,] +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
118117rexlimdva 2955 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  ( ( x (,] +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
11989, 118syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
120119imp 429 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( E. x  e.  RR  (
x (,] +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
12183, 87, 88, 120syl12anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
122121exp31 604 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
123122ralrimdva 2882 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A  ->  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) )
12482, 123impbid 191 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
12524, 124bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625   NNcn 10532   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   (,]cioc 11526   [,]cicc 11528   ↾s cress 14487   ↾t crest 14672   TopOpenctopn 14673  ordTopcordt 14750   RR*scxrs 14751   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   ~~> tclm 19493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-rest 14674  df-topn 14675  df-topgen 14695  df-ordt 14752  df-xrs 14753  df-ps 15683  df-tsr 15684  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-lm 19496
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