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Theorem lmxrge0 28807
Description: Express "sequence  F converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmxrge0.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
lmxrge0.6  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
lmxrge0.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
Assertion
Ref Expression
lmxrge0  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Distinct variable groups:    x, j, A    j, k, F, x   
k, J, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    ph( j)    A( k)    J( j)

Proof of Theorem lmxrge0
Dummy variables  a 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmxrge0.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
3 xrstopn 20273 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( TopOpen `  RR*s )
42, 3resstopn 20251 . . . . . . 7  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
TopOpen `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) )
51, 4eqtr4i 2487 . . . . . 6  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
6 letopon 20270 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
7 iccssxr 11746 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
8 resttopon 20226 . . . . . . 7  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  (
0 [,] +oo )
) )
96, 7, 8mp2an 683 . . . . . 6  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
105, 9eqeltri 2536 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) ) )
12 nnuz 11223 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
13 1zzd 10997 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
14 lmxrge0.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
15 lmxrge0.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
1611, 12, 13, 14, 15lmbrf 20325 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) +oo  <->  ( +oo  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) ) )
17 0xr 9713 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
18 pnfxr 11441 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
19 0lepnf 11462 . . . . 5  |-  0  <_ +oo
20 ubicc2 11778 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2117, 18, 19, 20mp3an 1373 . . . 4  |- +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
2221biantrur 513 . . 3  |-  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  ( +oo  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) )
2316, 22syl6bbr 271 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) +oo  <->  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
24 rexr 9712 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
2518a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  -> +oo  e.  RR* )
26 ltpnf 11451 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  < +oo )
27 ubioc1 11717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  x  < +oo )  -> +oo  e.  ( x (,] +oo ) )
2824, 25, 26, 27syl3anc 1276 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  -> +oo  e.  ( x (,] +oo ) )
29 0ltpnf 11453 . . . . . . . . . 10  |-  0  < +oo
30 ubioc1 11717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  < +oo )  -> +oo  e.  ( 0 (,] +oo ) )
3117, 18, 29, 30mp3an 1373 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  ( 0 (,] +oo )
3228, 31jctir 545 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( +oo  e.  ( x (,] +oo )  /\ +oo  e.  ( 0 (,] +oo ) ) )
33 elin 3629 . . . . . . . 8  |-  ( +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
)  <->  ( +oo  e.  ( x (,] +oo )  /\ +oo  e.  ( 0 (,] +oo )
) )
3432, 33sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  -> +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )
3534ad2antlr 738 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  -> +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )
36 letop 20271 . . . . . . . . . . 11  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
37 ovex 6343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V
38 iocpnfordt 20280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (,] +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
39 iocpnfordt 20280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,] +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
40 inopn 19978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( x (,] +oo )  e.  (ordTop `  <_  )  /\  (
0 (,] +oo )  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )
4136, 38, 39, 40mp3an 1373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  )
42 elrestr 15376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V  /\  ( (
x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )  -> 
( ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  i^i  (
0 [,] +oo )
)  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) ) )
4336, 37, 41, 42mp3an 1373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  i^i  (
0 [,] +oo )
)  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )
44 inss2 3665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
0 (,] +oo )
45 iocssicc 11751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,] +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
4644, 45sstri 3453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
0 [,] +oo )
47 sseqin2 3663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
0 [,] +oo )  <->  ( ( 0 [,] +oo )  i^i  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )
4846, 47mpbi 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,] +oo )  i^i  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )
49 incom 3637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,] +oo )  i^i  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )  =  ( ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
)  i^i  ( 0 [,] +oo ) )
5048, 49eqtr3i 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
)  i^i  ( 0 [,] +oo ) )
5143, 50, 53eltr4i 2553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  J
5251a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  e.  J
)
53 eleq2 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  ->  ( +oo  e.  a  <-> +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) ) )
5453adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( +oo  e.  a  <-> +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) ) )
5554biimprd 231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( +oo  e.  (
( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  -> +oo  e.  a ) )
56 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR )
5756rexrd 9716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR* )
58 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  a )
59 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )
6058, 59eleqtrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
) )
61 elin 3629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  <->  ( A  e.  ( x (,] +oo )  /\  A  e.  ( 0 (,] +oo )
) )
6261simplbi 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
64 elioc1 11707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  x  < 
A  /\  A  <_ +oo ) ) )
6518, 64mpan2 682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( x (,] +oo )  <->  ( A  e. 
RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_ +oo )
) )
6665biimpa 491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,] +oo ) )  ->  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_ +oo ) )
6766simp2d 1027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,] +oo ) )  ->  x  <  A )
6857, 63, 67syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  /\  A  e.  a )  ->  x  <  A )
6968ex 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  l ) )  ->  ( A  e.  a  ->  x  <  A ) )
7069ralimdva 2808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  (
( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
7170reximdva 2874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
72 fveq2 5888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  l )
)
7372raleqdv 3005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  l  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) x  <  A  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A )
)
7473cbvrexv 3032 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  <->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A )
7571, 74syl6ibr 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
7655, 75imim12d 77 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) ) )  -> 
( ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  ( +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
) )
7752, 76rspcimdv 3163 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  ( +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  ( 0 (,] +oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
) )
7877imp 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  ( +oo  e.  ( ( x (,] +oo )  i^i  (
0 (,] +oo )
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
7935, 78mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
8079ex 440 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8180ralrimdva 2818 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
82 simplll 773 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  ph )
83 simpllr 774 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  a  e.  J )
84 simpr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  -> +oo  e.  a )
851pnfneige0 28806 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  J  /\ +oo  e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  a )
8683, 84, 85syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  a )
87 simplr 767 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
88 r19.29r 2938 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. x  e.  RR  ( ( x (,] +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
89 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ph )
90 uznnssnn 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  l )  C_  NN )
9190ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( ZZ>= `  l
)  C_  NN )
92 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )
9391, 92sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  k  e.  NN )
9489, 93jca 539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( ph  /\  k  e.  NN )
)
95 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  x  e.  RR )
96 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( x (,] +oo )  C_  a )
97 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  x  <  A
)  ->  ( x (,] +oo )  C_  a
)
98 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR )
9998rexrd 9716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR* )
10014ffvelrnda 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10115, 100eqeltrrd 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1027, 101sseldi 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e. 
RR* )
103102ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  RR* )
104 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  <  A )
105 pnfge 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
106103, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  <_ +oo )
10765biimpar 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_ +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
10899, 103, 104, 106, 107syl13anc 1278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
109108adantlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  ( x (,] +oo ) )
11097, 109sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  a )
111110ex 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  ->  ( x  < 
A  ->  A  e.  a ) )
11294, 95, 96, 111syl21anc 1275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( x  < 
A  ->  A  e.  a ) )
113112ralimdva 2808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
114113reximdva 2874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,] +oo )  C_  a )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
11574, 114syl5bi 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,] +oo )  C_  a )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
116115expimpd 612 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( x (,] +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
117116rexlimdva 2891 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  ( ( x (,] +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
11888, 117syl5 33 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,] +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
119118imp 435 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( E. x  e.  RR  (
x (,] +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
12082, 86, 87, 119syl12anc 1274 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\ +oo  e.  a )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
121120exp31 613 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
122121ralrimdva 2818 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A  ->  A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) )
12381, 122impbid 195 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  ( +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
12423, 123bitrd 261 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    i^i cin 3415    C_ wss 3416   class class class wbr 4416   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566   +oocpnf 9698   RR*cxr 9700    < clt 9701    <_ cle 9702   NNcn 10637   ZZ>=cuz 11188   (,]cioc 11665   [,]cicc 11667   ↾s cress 15171   ↾t crest 15368   TopOpenctopn 15369  ordTopcordt 15446   RR*scxrs 15447   Topctop 19966  TopOnctopon 19967   ~~> tclm 20291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-pm 7501  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fi 7951  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-ioo 11668  df-ioc 11669  df-ico 11670  df-icc 11671  df-fz 11814  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-rest 15370  df-topn 15371  df-topgen 15391  df-ordt 15448  df-xrs 15449  df-ps 16495  df-tsr 16496  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-lm 20294
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