Theorem lmuni 9229

Description: A sequence converges to at most one limit. Part of Lemma 1.4-2(a) of [Kreyszig] p. 26.

Hypotheses

Ref	Expression
lmuni.1	|- A e. _V
lmuni.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
lmuni	|- ((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) -> A = B)

Proof of Theorem lmuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 876	. . . 4 |- ((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) -> D e. Met)
2		lmuni.1	. . . . . 6 |- A e. _V
3		eqid 1884	. . . . . . 7 |- dom dom D = dom dom D
4	3	lmcl 9227	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ A e. _V /\ F(~~>m` D)A) -> A e. dom dom D)
5	2, 4	mp3an2 1179	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ F(~~>m` D)A) -> A e. dom dom D)
6	5	3adant3 896	. . . 4 |- ((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) -> A e. dom dom D)
7		lmuni.2	. . . . . 6 |- B e. _V
8	3	lmcl 9227	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ B e. _V /\ F(~~>m` D)B) -> B e. dom dom D)
9	7, 8	mp3an2 1179	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ F(~~>m` D)B) -> B e. dom dom D)
10	9	3adant2 895	. . . 4 |- ((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) -> B e. dom dom D)
11	3	metcl 9088	. . . 4 |- ((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) -> (ADB) e. RR)
12	1, 6, 10, 11	syl111anc 1100	. . 3 |- ((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) -> (ADB) e. RR)
13	3	metge0 9096	. . . 4 |- ((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) -> 0 <_ (ADB))
14	1, 6, 10, 13	syl111anc 1100	. . 3 |- ((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) -> 0 <_ (ADB))
15		1z 7368	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
16		nnuz 7608	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = (ZZ>=` 1)
17	3, 15, 16	lmcvg 9210	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ A e. _V /\ F(~~>m` D)A) /\ ((x / 2) e. RR /\ 0 < (x / 2))) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DA) < (x / 2))))
18	2, 17	mp3anl2 1186	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ F(~~>m` D)A) /\ ((x / 2) e. RR /\ 0 < (x / 2))) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DA) < (x / 2))))
19	18	3adantl3 1034	. . . . . . . . 9 |- (((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) /\ ((x / 2) e. RR /\ 0 < (x / 2))) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DA) < (x / 2))))
20	3, 15, 16	lmcvg 9210	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ B e. _V /\ F(~~>m` D)B) /\ ((x / 2) e. RR /\ 0 < (x / 2))) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DB) < (x / 2))))
21	7, 20	mp3anl2 1186	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ F(~~>m` D)B) /\ ((x / 2) e. RR /\ 0 < (x / 2))) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DB) < (x / 2))))
22	21	3adantl2 1033	. . . . . . . . 9 |- (((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) /\ ((x / 2) e. RR /\ 0 < (x / 2))) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DB) < (x / 2))))
23	19, 22	jca 310	. . . . . . . 8 |- (((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) /\ ((x / 2) e. RR /\ 0 < (x / 2))) -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DA) < (x / 2))) /\ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DB) < (x / 2)))))
24	15, 16	cvganuzi 8177	. . . . . . . 8 |- ((E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DA) < (x / 2))) /\ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DB) < (x / 2)))) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DA) < (x / 2)) /\ ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DB) < (x / 2)))))
25	23, 24	sylib 215	. . . . . . 7 |- (((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) /\ ((x / 2) e. RR /\ 0 < (x / 2))) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DA) < (x / 2)) /\ ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DB) < (x / 2)))))
26		rehalfcl 7220	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> (x / 2) e. RR)
27	26	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> (x / 2) e. RR)
28		halfpos2 7223	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> (0 < x <-> 0 < (x / 2)))
29	28	biimpa 460	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> 0 < (x / 2))
30	27, 29	jca 310	. . . . . . 7 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> ((x / 2) e. RR /\ 0 < (x / 2)))
31	25, 30	sylan2 500	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DA) < (x / 2)) /\ ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DB) < (x / 2)))))
32		lt2add 6827	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((((F` k)DA) e. RR /\ ((F` k)DB) e. RR) /\ ((x / 2) e. RR /\ (x / 2) e. RR)) -> ((((F` k)DA) < (x / 2) /\ ((F` k)DB) < (x / 2)) -> (((F` k)DA) + ((F` k)DB)) < ((x / 2) + (x / 2))))
33	3	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((D e. Met /\ (F` k) e. dom dom D /\ A e. dom dom D) -> ((F` k)DA) e. RR)
34	33	3com23 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ (F` k) e. dom dom D) -> ((F` k)DA) e. RR)
35	34	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((D e. Met /\ A e. dom dom D) /\ (F` k) e. dom dom D) -> ((F` k)DA) e. RR)
36	35	3adantl3 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ (F` k) e. dom dom D) -> ((F` k)DA) e. RR)
37	3	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((D e. Met /\ (F` k) e. dom dom D /\ B e. dom dom D) -> ((F` k)DB) e. RR)
38	37	3com23 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((D e. Met /\ B e. dom dom D /\ (F` k) e. dom dom D) -> ((F` k)DB) e. RR)
39	38	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((D e. Met /\ B e. dom dom D) /\ (F` k) e. dom dom D) -> ((F` k)DB) e. RR)
40	39	3adantl2 1033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ (F` k) e. dom dom D) -> ((F` k)DB) e. RR)
41	36, 40	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ (F` k) e. dom dom D) -> (((F` k)DA) e. RR /\ ((F` k)DB) e. RR))
42	26, 26	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x e. RR -> ((x / 2) e. RR /\ (x / 2) e. RR))
43	32, 41, 42	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ (F` k) e. dom dom D) /\ x e. RR) -> ((((F` k)DA) < (x / 2) /\ ((F` k)DB) < (x / 2)) -> (((F` k)DA) + ((F` k)DB)) < ((x / 2) + (x / 2))))
44		recn 6466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (x e. RR -> x e. CC)
45		2halves 7225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (x e. CC -> ((x / 2) + (x / 2)) = x)
46	44, 45	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x e. RR -> ((x / 2) + (x / 2)) = x)
47	46	breq2d 3350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x e. RR -> ((((F` k)DA) + ((F` k)DB)) < ((x / 2) + (x / 2)) <-> (((F` k)DA) + ((F` k)DB)) < x))
48	47	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ (F` k) e. dom dom D) /\ x e. RR) -> ((((F` k)DA) + ((F` k)DB)) < ((x / 2) + (x / 2)) <-> (((F` k)DA) + ((F` k)DB)) < x))
49	43, 48	sylibd 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ (F` k) e. dom dom D) /\ x e. RR) -> ((((F` k)DA) < (x / 2) /\ ((F` k)DB) < (x / 2)) -> (((F` k)DA) + ((F` k)DB)) < x))
50	3	mettri2 9090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((D e. Met /\ ((F` k) e. dom dom D /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D)) -> (ADB) <_ (((F` k)DA) + ((F` k)DB)))
51	50	3exp2 1086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (D e. Met -> ((F` k) e. dom dom D -> (A e. dom dom D -> (B e. dom dom D -> (ADB) <_ (((F` k)DA) + ((F` k)DB))))))
52	51	com34 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (D e. Met -> ((F` k) e. dom dom D -> (B e. dom dom D -> (A e. dom dom D -> (ADB) <_ (((F` k)DA) + ((F` k)DB))))))
53	52	com24 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (D e. Met -> (A e. dom dom D -> (B e. dom dom D -> ((F` k) e. dom dom D -> (ADB) <_ (((F` k)DA) + ((F` k)DB))))))
54	53	3imp1 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ (F` k) e. dom dom D) -> (ADB) <_ (((F` k)DA) + ((F` k)DB)))
55	54	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ (F` k) e. dom dom D) /\ x e. RR) -> (ADB) <_ (((F` k)DA) + ((F` k)DB)))
56	11	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ (F` k) e. dom dom D) /\ x e. RR) -> (ADB) e. RR)
57		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((F` k)DA) e. RR /\ ((F` k)DB) e. RR) -> (((F` k)DA) + ((F` k)DB)) e. RR)
58	36, 40, 57	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ (F` k) e. dom dom D) -> (((F` k)DA) + ((F` k)DB)) e. RR)
59	58	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ (F` k) e. dom dom D) /\ x e. RR) -> (((F` k)DA) + ((F` k)DB)) e. RR)
60		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ (F` k) e. dom dom D) /\ x e. RR) -> x e. RR)
61		lelttr 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((ADB) e. RR /\ (((F` k)DA) + ((F` k)DB)) e. RR /\ x e. RR) -> (((ADB) <_ (((F` k)DA) + ((F` k)DB)) /\ (((F` k)DA) + ((F` k)DB)) < x) -> (ADB) < x))
62	56, 59, 60, 61	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ (F` k) e. dom dom D) /\ x e. RR) -> (((ADB) <_ (((F` k)DA) + ((F` k)DB)) /\ (((F` k)DA) + ((F` k)DB)) < x) -> (ADB) < x))
63	55, 62	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ (F` k) e. dom dom D) /\ x e. RR) -> ((((F` k)DA) + ((F` k)DB)) < x -> (ADB) < x))
64	49, 63	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ (F` k) e. dom dom D) /\ x e. RR) -> ((((F` k)DA) < (x / 2) /\ ((F` k)DB) < (x / 2)) -> (ADB) < x))
65	64	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ x e. RR) /\ (F` k) e. dom dom D) -> ((((F` k)DA) < (x / 2) /\ ((F` k)DB) < (x / 2)) -> (ADB) < x))
66	65	expimpd 404	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ x e. RR) -> (((F` k) e. dom dom D /\ (((F` k)DA) < (x / 2) /\ ((F` k)DB) < (x / 2))) -> (ADB) < x))
67		anandi 568	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` k) e. dom dom D /\ (((F` k)DA) < (x / 2) /\ ((F` k)DB) < (x / 2))) <-> (((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DA) < (x / 2)) /\ ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DB) < (x / 2))))
68	66, 67	syl5ibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- (((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ x e. RR) -> ((((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DA) < (x / 2)) /\ ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DB) < (x / 2))) -> (ADB) < x))
69	68	imim2d 28	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ x e. RR) -> ((j <_ k -> (((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DA) < (x / 2)) /\ ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DB) < (x / 2)))) -> (j <_ k -> (ADB) < x)))
70	69	ralimdv 2172	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ x e. RR) -> (A.k e. NN (j <_ k -> (((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DA) < (x / 2)) /\ ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DB) < (x / 2)))) -> A.k e. NN (j <_ k -> (ADB) < x)))
71		r19.23v 2208	. . . . . . . . . 10 |- (A.k e. NN (j <_ k -> (ADB) < x) <-> (E.k e. NN j <_ k -> (ADB) < x))
72	70, 71	syl6ib 229	. . . . . . . . 9 |- (((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ x e. RR) -> (A.k e. NN (j <_ k -> (((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DA) < (x / 2)) /\ ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DB) < (x / 2)))) -> (E.k e. NN j <_ k -> (ADB) < x)))
73	72	reximdv 2202	. . . . . . . 8 |- (((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ x e. RR) -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DA) < (x / 2)) /\ ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DB) < (x / 2)))) -> E.j e. NN (E.k e. NN j <_ k -> (ADB) < x)))
74		nnre 7112	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. NN -> j e. RR)
75		leid 6701	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. RR -> j <_ j)
76	74, 75	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (j e. NN -> j <_ j)
77		breq2 3342	. . . . . . . . . . 11 |- (k = j -> (j <_ k <-> j <_ j))
78	77	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. NN /\ j <_ j) -> E.k e. NN j <_ k)
79	76, 78	mpdan 768	. . . . . . . . 9 |- (j e. NN -> E.k e. NN j <_ k)
80	79	rgen 2159	. . . . . . . 8 |- A.j e. NN E.k e. NN j <_ k
81		r19.36av 2232	. . . . . . . 8 |- (E.j e. NN (E.k e. NN j <_ k -> (ADB) < x) -> (A.j e. NN E.k e. NN j <_ k -> (ADB) < x))
82	73, 80, 81	syl6mpi 68	. . . . . . 7 |- (((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) /\ x e. RR) -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DA) < (x / 2)) /\ ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DB) < (x / 2)))) -> (ADB) < x))
83	1, 6, 10	3jca 1050	. . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) -> (D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D))
84		simpl 346	. . . . . . 7 |- ((x e. RR /\ 0 < x) -> x e. RR)
85	82, 83, 84	syl2an 503	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DA) < (x / 2)) /\ ((F` k) e. dom dom D /\ ((F` k)DB) < (x / 2)))) -> (ADB) < x))
86	31, 85	mpd 29	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> (ADB) < x)
87	86	exp32 408	. . . 4 |- ((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) -> (x e. RR -> (0 < x -> (ADB) < x)))
88	87	r19.21aiv 2175	. . 3 |- ((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) -> A.x e. RR (0 < x -> (ADB) < x))
89		squeeze0 7107	. . 3 |- (((ADB) e. RR /\ 0 <_ (ADB) /\ A.x e. RR (0 < x -> (ADB) < x)) -> (ADB) = 0)
90	12, 14, 88, 89	syl111anc 1100	. 2 |- ((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) -> (ADB) = 0)
91	3	meteq0 9089	. . 3 |- ((D e. Met /\ A e. dom dom D /\ B e. dom dom D) -> ((ADB) = 0 <-> A = B))
92	1, 6, 10, 91	syl111anc 1100	. 2 |- ((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) -> ((ADB) = 0 <-> A = B))
93	90, 92	mpbid 212	1 |- ((D e. Met /\ F(~~>m` D)A /\ F(~~>m` D)B) -> A = B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  2c2 7145  Metcme 9066  ~~>mclm 9197

This theorem is referenced by:  cmsss 9275  bfplem8 16005

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-met 9070  df-lm 9200

Copyright terms: Public domain