MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmres Structured version   Unicode version

Theorem lmres 18879
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmres.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
lmres.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
lmres.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
lmres  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) ( ~~> t `  J ) P ) )

Proof of Theorem lmres
Dummy variables  j 
k  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmres.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 toponmax 18508 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
4 cnex 9355 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
5 ssid 3370 . . . . . . 7  |-  X  C_  X
6 uzssz 10872 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
7 zsscn 10646 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  CC
86, 7sstri 3360 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
9 pmss12g 7231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  X  /\  ( ZZ>= `  M )  C_  CC )  /\  ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V ) )  ->  ( X  ^pm  ( ZZ>= `  M )
)  C_  ( X  ^pm  CC ) )
105, 8, 9mpanl12 682 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V )  -> 
( X  ^pm  ( ZZ>=
`  M ) ) 
C_  ( X  ^pm  CC ) )
113, 4, 10sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  ^pm  ( ZZ>=
`  M ) ) 
C_  ( X  ^pm  CC ) )
12 fvex 5696 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
13 lmres.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
14 pmresg 7232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ZZ>= `  M )  e.  _V  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  e.  ( X  ^pm  ( ZZ>= `  M ) ) )
1512, 13, 14sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) )  e.  ( X  ^pm  ( ZZ>= `  M )
) )
1611, 15sseldd 3352 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) )  e.  ( X  ^pm  CC ) )
1716, 132thd 240 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  e.  ( X 
^pm  CC )  <->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) ) )
18 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
1918uztrn2 10870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
20 dmres 5126 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  =  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  dom  F )
2120elin2 3536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  dom  F ) )
2221baib 896 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  <->  k  e.  dom  F ) )
23 fvres 5699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
2423eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u  <->  ( F `  k )  e.  u
) )
2522, 24anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
2619, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
2726ralbidva 2726 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  e.  u )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
2827rexbiia 2743 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M ) )  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) `  k )  e.  u )  <->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) )
2928imbi2i 312 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  e.  u ) )  <->  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
3029ralbii 2734 . . . 4  |-  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M ) )  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) `  k )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
3130a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
3217, 313anbi13d 1291 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u ) ) )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) ) ) )
33 lmres.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
341, 18, 33lmbr2 18838 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) ( ~~> t `  J ) P  <->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
351, 18, 33lmbr2 18838 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) ) ) )
3632, 34, 353bitr4rd 286 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) ( ~~> t `  J ) P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   class class class wbr 4287   dom cdm 4835    |` cres 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    ^pm cpm 7207   CCcc 9272   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853  TopOnctopon 18474   ~~> tclm 18805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-er 7093  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-neg 9590  df-z 10639  df-uz 10854  df-top 18478  df-topon 18481  df-lm 18808
This theorem is referenced by:  esumcvg  26487
  Copyright terms: Public domain W3C validator