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Theorem lmres 20371
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmres.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
lmres.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
lmres.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
lmres  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) ( ~~> t `  J ) P ) )

Proof of Theorem lmres
Dummy variables  j 
k  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmres.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 toponmax 19998 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
4 cnex 9651 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
5 ssid 3463 . . . . . . 7  |-  X  C_  X
6 uzssz 11212 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
7 zsscn 10979 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  CC
86, 7sstri 3453 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
9 pmss12g 7529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  X  /\  ( ZZ>= `  M )  C_  CC )  /\  ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V ) )  ->  ( X  ^pm  ( ZZ>= `  M )
)  C_  ( X  ^pm  CC ) )
105, 8, 9mpanl12 693 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V )  -> 
( X  ^pm  ( ZZ>=
`  M ) ) 
C_  ( X  ^pm  CC ) )
113, 4, 10sylancl 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  ^pm  ( ZZ>=
`  M ) ) 
C_  ( X  ^pm  CC ) )
12 fvex 5902 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
13 lmres.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
14 pmresg 7530 . . . . . 6  |-  ( ( ( ZZ>= `  M )  e.  _V  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  e.  ( X  ^pm  ( ZZ>= `  M ) ) )
1512, 13, 14sylancr 674 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) )  e.  ( X  ^pm  ( ZZ>= `  M )
) )
1611, 15sseldd 3445 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) )  e.  ( X  ^pm  CC ) )
1716, 132thd 248 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  e.  ( X 
^pm  CC )  <->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) ) )
18 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
1918uztrn2 11210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
20 dmres 5147 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  =  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  dom  F )
2120elin2 3633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  dom  F ) )
2221baib 919 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  <->  k  e.  dom  F ) )
23 fvres 5906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
2423eleq1d 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u  <->  ( F `  k )  e.  u
) )
2522, 24anbi12d 722 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
2619, 25syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
2726ralbidva 2836 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  e.  u )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
2827rexbiia 2900 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M ) )  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) `  k )  e.  u )  <->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) )
2928imbi2i 318 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  e.  u ) )  <->  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
3029ralbii 2831 . . . 4  |-  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M ) )  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) `  k )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
3130a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
3217, 313anbi13d 1350 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u ) ) )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) ) ) )
33 lmres.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
341, 18, 33lmbr2 20330 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) ( ~~> t `  J ) P  <->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
351, 18, 33lmbr2 20330 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) ) ) )
3632, 34, 353bitr4rd 294 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) ( ~~> t `  J ) P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    C_ wss 3416   class class class wbr 4418   dom cdm 4856    |` cres 4858   ` cfv 5605  (class class class)co 6320    ^pm cpm 7504   CCcc 9568   ZZcz 10971   ZZ>=cuz 11193  TopOnctopon 19973   ~~> tclm 20297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-er 7394  df-pm 7506  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-neg 9894  df-z 10972  df-uz 11194  df-top 19976  df-topon 19978  df-lm 20300
This theorem is referenced by:  esumcvg  28958
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