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Theorem lmres 20092
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmres.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
lmres.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
lmres.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
lmres  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) ( ~~> t `  J ) P ) )

Proof of Theorem lmres
Dummy variables  j 
k  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmres.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 toponmax 19719 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
4 cnex 9602 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
5 ssid 3460 . . . . . . 7  |-  X  C_  X
6 uzssz 11145 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
7 zsscn 10912 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  CC
86, 7sstri 3450 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
9 pmss12g 7482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  X  /\  ( ZZ>= `  M )  C_  CC )  /\  ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V ) )  ->  ( X  ^pm  ( ZZ>= `  M )
)  C_  ( X  ^pm  CC ) )
105, 8, 9mpanl12 680 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V )  -> 
( X  ^pm  ( ZZ>=
`  M ) ) 
C_  ( X  ^pm  CC ) )
113, 4, 10sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  ^pm  ( ZZ>=
`  M ) ) 
C_  ( X  ^pm  CC ) )
12 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
13 lmres.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
14 pmresg 7483 . . . . . 6  |-  ( ( ( ZZ>= `  M )  e.  _V  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  e.  ( X  ^pm  ( ZZ>= `  M ) ) )
1512, 13, 14sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) )  e.  ( X  ^pm  ( ZZ>= `  M )
) )
1611, 15sseldd 3442 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) )  e.  ( X  ^pm  CC ) )
1716, 132thd 240 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  e.  ( X 
^pm  CC )  <->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) ) )
18 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
1918uztrn2 11143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
20 dmres 5113 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  =  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  dom  F )
2120elin2 3629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  dom  F ) )
2221baib 904 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  <->  k  e.  dom  F ) )
23 fvres 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
2423eleq1d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u  <->  ( F `  k )  e.  u
) )
2522, 24anbi12d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
2619, 25syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
2726ralbidva 2839 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  e.  u )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
2827rexbiia 2904 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M ) )  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) `  k )  e.  u )  <->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) )
2928imbi2i 310 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  e.  u ) )  <->  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
3029ralbii 2834 . . . 4  |-  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M ) )  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) `  k )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
3130a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
3217, 313anbi13d 1303 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u ) ) )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) ) ) )
33 lmres.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
341, 18, 33lmbr2 20051 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) ( ~~> t `  J ) P  <->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
351, 18, 33lmbr2 20051 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) ) ) )
3632, 34, 353bitr4rd 286 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) ( ~~> t `  J ) P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   dom cdm 4822    |` cres 4824   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    ^pm cpm 7457   CCcc 9519   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126  TopOnctopon 19685   ~~> tclm 20018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-er 7347  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-neg 9843  df-z 10905  df-uz 11127  df-top 19689  df-topon 19692  df-lm 20021
This theorem is referenced by:  esumcvg  28519
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