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Theorem lmres 19039
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmres.2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
lmres.4 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
lmres.5 |- ( ph -> M e. ZZ )
Assertion
Ref Expression
lmres |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ( ~~> t ` J ) P ) )
Proof of Theorem lmres
Dummy variables j k u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmres.2 . . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2 toponmax 18668 . . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
31, 2syl 16 . . . . . 6 |- ( ph -> X e. J )
4 cnex 9477 . . . . . 6 |- CC e. _V
5 ssid 3486 . . . . . . 7 |- X C_ X
6 uzssz 10994 . . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
7 zsscn 10768 . . . . . . . 8 |- ZZ C_ CC
86, 7sstri 3476 . . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) C_ CC
9 pmss12g 7352 . . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ X /\ ( ZZ>= ` M ) C_ CC ) /\ ( X e. J /\ CC e. _V ) ) -> ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) C_ ( X ^pm CC ) )
105, 8, 9mpanl12 682 . . . . . 6 |- ( ( X e. J /\ CC e. _V ) -> ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) C_ ( X ^pm CC ) )
113, 4, 10sylancl 662 . . . . 5 |- ( ph -> ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) C_ ( X ^pm CC ) )
12 fvex 5812 . . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
13 lmres.4 . . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
14 pmresg 7353 . . . . . 6 |- ( ( ( ZZ>= ` M ) e. _V /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) )
1512, 13, 14sylancr 663 . . . . 5 |- ( ph -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) )
1611, 15sseldd 3468 . . . 4 |- ( ph -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm CC ) )
1716, 132thd 240 . . 3 |- ( ph -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm CC ) <-> F e. ( X ^pm CC ) ) )
18 eqid 2454 . . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
1918uztrn2 10992 . . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
20 dmres 5242 . . . . . . . . . . . 12 |- dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) = ( ( ZZ>= ` M ) i^i dom F )
2120elin2 3652 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. dom F ) )
2221baib 896 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) <-> k e. dom F ) )
23 fvres 5816 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
2423eleq1d 2523 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u <-> ( F ` k ) e. u ) )
2522, 24anbi12d 710 . . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2619, 25syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2726ralbidva 2844 . . . . . . 7 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2827rexbiia 2861 . . . . . 6 |- ( E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) <-> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) )
2928imbi2i 312 . . . . 5 |- ( ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) <-> ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
3029ralbii 2839 . . . 4 |- ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
3130a1i 11 . . 3 |- ( ph -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
3217, 313anbi13d 1292 . 2 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
33 lmres.5 . . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
341, 18, 33lmbr2 18998 . 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ( ~~> t ` J ) P <-> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) ) ) )
351, 18, 33lmbr2 18998 . 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
3632, 34, 353bitr4rd 286 1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ( ~~> t ` J ) P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   C_ wss 3439   class class class wbr 4403   dom cdm 4951   |` cres 4953   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   ^pm cpm 7328   CCcc 9394   ZZcz 10760   ZZ>=cuz 10975  TopOnctopon 18634   ~~> tclm 18965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-er 7214  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-neg 9712  df-z 10761  df-uz 10976  df-top 18638  df-topon 18641  df-lm 18968
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