MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsubcl Structured version   Unicode version

Theorem lmodvsubcl 18068
Description: Closure of vector subtraction. (hvsubcl 26505 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsubcl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvsubcl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )

Proof of Theorem lmodvsubcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 18033 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmodvsubcl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmodvsubcl.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  W )
42, 3grpsubcl 16685 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
51, 4syl3an1 1297 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   Grpcgrp 16620   -gcsg 16622   LModclmod 18026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-lmod 18028
This theorem is referenced by:  lspsnsub  18165  lvecvscan  18269  ip2subdi  19142  ip2eq  19151  ipcau2  22101  nmparlem  22106  minveclem1  22259  minveclem2  22261  minveclem4  22267  minveclem6  22269  pjthlem1  22272  pjthlem2  22273  eqlkr  32373  lkrlsp  32376  mapdpglem1  34948  mapdpglem2  34949  mapdpglem5N  34953  mapdpglem8  34955  mapdpglem9  34956  mapdpglem13  34960  mapdpglem14  34961  mapdpglem27  34975  baerlem3lem2  34986  baerlem5alem2  34987  baerlem5blem2  34988  mapdheq4lem  35007  mapdh6lem1N  35009  mapdh6lem2N  35010  hdmap1l6lem1  35084  hdmap1l6lem2  35085  hdmap11  35127  hdmapinvlem4  35200
  Copyright terms: Public domain W3C validator