MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsubcl Structured version   Unicode version

Theorem lmodvsubcl 16968
Description: Closure of vector subtraction. (hvsubcl 24370 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsubcl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvsubcl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )

Proof of Theorem lmodvsubcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 16933 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmodvsubcl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmodvsubcl.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  W )
42, 3grpsubcl 15597 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
51, 4syl3an1 1251 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   Grpcgrp 15402   -gcsg 15405   LModclmod 16926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-lmod 16928
This theorem is referenced by:  lspsnsub  17065  lvecvscan  17169  ip2subdi  18048  ip2eq  18057  ipcau2  20724  nmparlem  20729  minveclem1  20886  minveclem2  20888  minveclem4  20894  minveclem6  20896  pjthlem1  20899  pjthlem2  20900  eqlkr  32584  lkrlsp  32587  mapdpglem1  35157  mapdpglem2  35158  mapdpglem5N  35162  mapdpglem8  35164  mapdpglem9  35165  mapdpglem13  35169  mapdpglem14  35170  mapdpglem27  35184  baerlem3lem2  35195  baerlem5alem2  35196  baerlem5blem2  35197  mapdheq4lem  35216  mapdh6lem1N  35218  mapdh6lem2N  35219  hdmap1l6lem1  35293  hdmap1l6lem2  35294  hdmap11  35336  hdmapinvlem4  35409
  Copyright terms: Public domain W3C validator