MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsubcl Structured version   Unicode version

Theorem lmodvsubcl 17116
Description: Closure of vector subtraction. (hvsubcl 24591 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsubcl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvsubcl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )

Proof of Theorem lmodvsubcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 17081 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmodvsubcl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmodvsubcl.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  W )
42, 3grpsubcl 15728 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
51, 4syl3an1 1252 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   Grpcgrp 15532   -gcsg 15535   LModclmod 17074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-0g 14502  df-mnd 15537  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-lmod 17076
This theorem is referenced by:  lspsnsub  17214  lvecvscan  17318  ip2subdi  18201  ip2eq  18210  ipcau2  20884  nmparlem  20889  minveclem1  21046  minveclem2  21048  minveclem4  21054  minveclem6  21056  pjthlem1  21059  pjthlem2  21060  eqlkr  33102  lkrlsp  33105  mapdpglem1  35675  mapdpglem2  35676  mapdpglem5N  35680  mapdpglem8  35682  mapdpglem9  35683  mapdpglem13  35687  mapdpglem14  35688  mapdpglem27  35702  baerlem3lem2  35713  baerlem5alem2  35714  baerlem5blem2  35715  mapdheq4lem  35734  mapdh6lem1N  35736  mapdh6lem2N  35737  hdmap1l6lem1  35811  hdmap1l6lem2  35812  hdmap11  35854  hdmapinvlem4  35927
  Copyright terms: Public domain W3C validator