MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsubcl Structured version   Unicode version

Theorem lmodvsubcl 17350
Description: Closure of vector subtraction. (hvsubcl 25626 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsubcl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvsubcl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )

Proof of Theorem lmodvsubcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 17314 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmodvsubcl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmodvsubcl.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  W )
42, 3grpsubcl 15925 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
51, 4syl3an1 1261 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Basecbs 14489   Grpcgrp 15726   -gcsg 15729   LModclmod 17307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-sbg 15866  df-lmod 17309
This theorem is referenced by:  lspsnsub  17448  lvecvscan  17552  ip2subdi  18462  ip2eq  18471  ipcau2  21428  nmparlem  21433  minveclem1  21590  minveclem2  21592  minveclem4  21598  minveclem6  21600  pjthlem1  21603  pjthlem2  21604  eqlkr  33905  lkrlsp  33908  mapdpglem1  36478  mapdpglem2  36479  mapdpglem5N  36483  mapdpglem8  36485  mapdpglem9  36486  mapdpglem13  36490  mapdpglem14  36491  mapdpglem27  36505  baerlem3lem2  36516  baerlem5alem2  36517  baerlem5blem2  36518  mapdheq4lem  36537  mapdh6lem1N  36539  mapdh6lem2N  36540  hdmap1l6lem1  36614  hdmap1l6lem2  36615  hdmap11  36657  hdmapinvlem4  36730
  Copyright terms: Public domain W3C validator