MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsneg Structured version   Unicode version

Theorem lmodvsneg 17667
Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsneg.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
lmodvsneg.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodvsneg.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodvsneg.n  |-  N  =  ( invg `  W )
lmodvsneg.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodvsneg.m  |-  M  =  ( invg `  F )
lmodvsneg.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodvsneg.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
lmodvsneg.r  |-  ( ph  ->  R  e.  K )
Assertion
Ref Expression
lmodvsneg  |-  ( ph  ->  ( N `  ( R  .x.  X ) )  =  ( ( M `
 R )  .x.  X ) )

Proof of Theorem lmodvsneg
StepHypRef Expression
1 lmodvsneg.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lmodvsneg.f . . . . . . 7  |-  F  =  (Scalar `  W )
32lmodring 17633 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
41, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  Ring )
5 ringgrp 17316 . . . . 5  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
7 lmodvsneg.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
8 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
97, 8ringidcl 17332 . . . . 5  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
104, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  K )
11 lmodvsneg.m . . . . 5  |-  M  =  ( invg `  F )
127, 11grpinvcl 16212 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  K )  -> 
( M `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
136, 10, 12syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
14 lmodvsneg.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  K )
15 lmodvsneg.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
16 lmodvsneg.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
17 lmodvsneg.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
18 eqid 2382 . . . 4  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
1916, 2, 17, 7, 18lmodvsass 17650 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( M `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( M `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) R )  .x.  X
)  =  ( ( M `  ( 1r
`  F ) ) 
.x.  ( R  .x.  X ) ) )
201, 13, 14, 15, 19syl13anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( M `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) R )  .x.  X
)  =  ( ( M `  ( 1r
`  F ) ) 
.x.  ( R  .x.  X ) ) )
217, 18, 8, 11, 4, 14ringnegl 17353 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) R )  =  ( M `  R ) )
2221oveq1d 6211 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( M `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) R )  .x.  X
)  =  ( ( M `  R ) 
.x.  X ) )
2316, 2, 17, 7lmodvscl 17642 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  X )  e.  B )
241, 14, 15, 23syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  .x.  X
)  e.  B )
25 lmodvsneg.n . . . 4  |-  N  =  ( invg `  W )
2616, 25, 2, 17, 8, 11lmodvneg1 17666 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( R  .x.  X )  e.  B )  ->  (
( M `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( R  .x.  X ) )  =  ( N `  ( R  .x.  X ) ) )
271, 24, 26syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( R 
.x.  X ) )  =  ( N `  ( R  .x.  X ) ) )
2820, 22, 273eqtr3rd 2432 1  |-  ( ph  ->  ( N `  ( R  .x.  X ) )  =  ( ( M `
 R )  .x.  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1826   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   .rcmulr 14703  Scalarcsca 14705   .scvsca 14706   Grpcgrp 16170   invgcminusg 16171   1rcur 17266   Ringcrg 17311   LModclmod 17625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-plusg 14715  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-lmod 17627
This theorem is referenced by:  lmodnegadd  17672  clmvsneg  21677  lincext3  33257  lindslinindimp2lem4  33262  lincresunit3  33282  baerlem5alem1  37848
  Copyright terms: Public domain W3C validator