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Theorem lmodvsmdi 38419
Description: Multiple distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by AV, 5-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmdi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvsmdi.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodvsmdi.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodvsmdi.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodvsmdi.p  |-  .^  =  (.g
`  W )
lmodvsmdi.e  |-  E  =  (.g `  F )
Assertion
Ref Expression
lmodvsmdi  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( R  e.  K  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  V ) )  -> 
( R  .x.  ( N  .^  X ) )  =  ( ( N E R )  .x.  X ) )

Proof of Theorem lmodvsmdi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6239 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .^  X )  =  ( 0  .^  X ) )
21oveq2d 6248 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  ( R  .x.  ( x  .^  X ) )  =  ( R  .x.  (
0  .^  X )
) )
3 oveq1 6239 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
x E R )  =  ( 0 E R ) )
43oveq1d 6247 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( x E R )  .x.  X )  =  ( ( 0 E R )  .x.  X ) )
52, 4eqeq12d 2422 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( R  .x.  (
x  .^  X )
)  =  ( ( x E R ) 
.x.  X )  <->  ( R  .x.  ( 0  .^  X
) )  =  ( ( 0 E R )  .x.  X ) ) )
65imbi2d 314 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( x  .^  X ) )  =  ( ( x E R )  .x.  X
) )  <->  ( (
( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( 0  .^  X
) )  =  ( ( 0 E R )  .x.  X ) ) ) )
7 oveq1 6239 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .^  X )  =  ( y  .^  X ) )
87oveq2d 6248 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( R  .x.  ( x  .^  X ) )  =  ( R  .x.  (
y  .^  X )
) )
9 oveq1 6239 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x E R )  =  ( y E R ) )
109oveq1d 6247 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x E R )  .x.  X )  =  ( ( y E R )  .x.  X ) )
118, 10eqeq12d 2422 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( R  .x.  (
x  .^  X )
)  =  ( ( x E R ) 
.x.  X )  <->  ( R  .x.  ( y  .^  X
) )  =  ( ( y E R )  .x.  X ) ) )
1211imbi2d 314 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( x  .^  X ) )  =  ( ( x E R )  .x.  X
) )  <->  ( (
( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( y  .^  X
) )  =  ( ( y E R )  .x.  X ) ) ) )
13 oveq1 6239 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  .^  X )  =  ( ( y  +  1 )  .^  X ) )
1413oveq2d 6248 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( R  .x.  ( x  .^  X ) )  =  ( R  .x.  (
( y  +  1 )  .^  X )
) )
15 oveq1 6239 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x E R )  =  ( ( y  +  1 ) E R ) )
1615oveq1d 6247 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( x E R )  .x.  X )  =  ( ( ( y  +  1 ) E R )  .x.  X ) )
1714, 16eqeq12d 2422 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( R  .x.  (
x  .^  X )
)  =  ( ( x E R ) 
.x.  X )  <->  ( R  .x.  ( ( y  +  1 )  .^  X
) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E R )  .x.  X ) ) )
1817imbi2d 314 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( x  .^  X ) )  =  ( ( x E R )  .x.  X
) )  <->  ( (
( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( ( y  +  1 )  .^  X
) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E R )  .x.  X ) ) ) )
19 oveq1 6239 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
x  .^  X )  =  ( N  .^  X ) )
2019oveq2d 6248 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( R  .x.  ( x  .^  X ) )  =  ( R  .x.  ( N  .^  X ) ) )
21 oveq1 6239 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
x E R )  =  ( N E R ) )
2221oveq1d 6247 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
( x E R )  .x.  X )  =  ( ( N E R )  .x.  X ) )
2320, 22eqeq12d 2422 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
( R  .x.  (
x  .^  X )
)  =  ( ( x E R ) 
.x.  X )  <->  ( R  .x.  ( N  .^  X
) )  =  ( ( N E R )  .x.  X ) ) )
2423imbi2d 314 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( x  .^  X ) )  =  ( ( x E R )  .x.  X
) )  <->  ( (
( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( N  .^  X
) )  =  ( ( N E R )  .x.  X ) ) ) )
25 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
2625adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  X  e.  V )
27 lmodvsmdi.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  W
)
28 eqid 2400 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
29 lmodvsmdi.p . . . . . . . . . 10  |-  .^  =  (.g
`  W )
3027, 28, 29mulg0 16361 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  V  ->  (
0  .^  X )  =  ( 0g `  W ) )
3126, 30syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( 0 
.^  X )  =  ( 0g `  W
) )
3231oveq2d 6248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( 0  .^  X
) )  =  ( R  .x.  ( 0g
`  W ) ) )
33 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  R  e.  K )
3433anim1i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  e.  K  /\  W  e. 
LMod ) )
3534ancomd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K ) )
36 lmodvsmdi.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  (Scalar `  W )
37 lmodvsmdi.s . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  W )
38 lmodvsmdi.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  F
)
3936, 37, 38, 28lmodvs0 17756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K )  ->  ( R  .x.  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  W
) )
4035, 39syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( 0g `  W
) )  =  ( 0g `  W ) )
4125anim1i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( X  e.  V  /\  W  e. 
LMod ) )
4241ancomd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V ) )
43 eqid 2400 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
4427, 36, 37, 43, 28lmod0vs 17755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  X )  =  ( 0g `  W ) )
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( ( 0g `  F )  .x.  X )  =  ( 0g `  W ) )
4633adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  R  e.  K )
47 lmodvsmdi.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  (.g `  F )
4838, 43, 47mulg0 16361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  K  ->  (
0 E R )  =  ( 0g `  F ) )
4948eqcomd 2408 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  K  ->  ( 0g `  F )  =  ( 0 E R ) )
5046, 49syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( 0g `  F )  =  ( 0 E R ) )
5150oveq1d 6247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( ( 0g `  F )  .x.  X )  =  ( ( 0 E R )  .x.  X ) )
5240, 45, 513eqtr2d 2447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( 0g `  W
) )  =  ( ( 0 E R )  .x.  X ) )
5332, 52eqtrd 2441 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( 0  .^  X
) )  =  ( ( 0 E R )  .x.  X ) )
54 lmodgrp 17729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
55 grpmnd 16276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  Grp  ->  W  e.  Mnd )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Mnd )
5756ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  ->  W  e.  Mnd )
58 simpl 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
y  e.  NN0 )
5926adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  ->  X  e.  V )
60 eqid 2400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
6127, 29, 60mulgnn0p1 16367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  X  e.  V )  ->  (
( y  +  1 )  .^  X )  =  ( ( y 
.^  X ) ( +g  `  W ) X ) )
6257, 58, 59, 61syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( y  +  1 )  .^  X
)  =  ( ( y  .^  X )
( +g  `  W ) X ) )
6362oveq2d 6248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( R  .x.  (
( y  +  1 )  .^  X )
)  =  ( R 
.x.  ( ( y 
.^  X ) ( +g  `  W ) X ) ) )
64 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  W  e.  LMod )
6564adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  ->  W  e.  LMod )
66 simprll 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  ->  R  e.  K )
6727, 29mulgnn0cl 16372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  X  e.  V )  ->  (
y  .^  X )  e.  V )
6857, 58, 59, 67syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( y  .^  X
)  e.  V )
6927, 60, 36, 37, 38lmodvsdi 17745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( R  e.  K  /\  ( y  .^  X
)  e.  V  /\  X  e.  V )
)  ->  ( R  .x.  ( ( y  .^  X ) ( +g  `  W ) X ) )  =  ( ( R  .x.  ( y 
.^  X ) ) ( +g  `  W
) ( R  .x.  X ) ) )
7065, 66, 68, 59, 69syl13anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( R  .x.  (
( y  .^  X
) ( +g  `  W
) X ) )  =  ( ( R 
.x.  ( y  .^  X ) ) ( +g  `  W ) ( R  .x.  X
) ) )
7163, 70eqtrd 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( R  .x.  (
( y  +  1 )  .^  X )
)  =  ( ( R  .x.  ( y 
.^  X ) ) ( +g  `  W
) ( R  .x.  X ) ) )
72 oveq1 6239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  .x.  ( y 
.^  X ) )  =  ( ( y E R )  .x.  X )  ->  (
( R  .x.  (
y  .^  X )
) ( +g  `  W
) ( R  .x.  X ) )  =  ( ( ( y E R )  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( R 
.x.  X ) ) )
7371, 72sylan9eq 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  /\  ( R  .x.  ( y 
.^  X ) )  =  ( ( y E R )  .x.  X ) )  -> 
( R  .x.  (
( y  +  1 )  .^  X )
)  =  ( ( ( y E R )  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( R  .x.  X ) ) )
7436lmodfgrp 17731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
75 grpmnd 16276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Grp  ->  F  e.  Mnd )
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Mnd )
7776ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  ->  F  e.  Mnd )
7838, 47mulgnn0cl 16372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  R  e.  K )  ->  (
y E R )  e.  K )
7977, 58, 66, 78syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( y E R )  e.  K )
80 eqid 2400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
8127, 60, 36, 37, 38, 80lmodvsdir 17746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( y E R )  e.  K  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
( y E R ) ( +g  `  F
) R )  .x.  X )  =  ( ( ( y E R )  .x.  X
) ( +g  `  W
) ( R  .x.  X ) ) )
8265, 79, 66, 59, 81syl13anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( ( y E R ) ( +g  `  F ) R )  .x.  X
)  =  ( ( ( y E R )  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( R  .x.  X ) ) )
8338, 47, 80mulgnn0p1 16367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  R  e.  K )  ->  (
( y  +  1 ) E R )  =  ( ( y E R ) ( +g  `  F ) R ) )
8477, 58, 66, 83syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( y  +  1 ) E R )  =  ( ( y E R ) ( +g  `  F
) R ) )
8584eqcomd 2408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( y E R ) ( +g  `  F ) R )  =  ( ( y  +  1 ) E R ) )
8685oveq1d 6247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( ( y E R ) ( +g  `  F ) R )  .x.  X
)  =  ( ( ( y  +  1 ) E R ) 
.x.  X ) )
8782, 86eqtr3d 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( ( y E R )  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( R 
.x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E R )  .x.  X ) )
8887adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  /\  ( R  .x.  ( y 
.^  X ) )  =  ( ( y E R )  .x.  X ) )  -> 
( ( ( y E R )  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( R 
.x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E R )  .x.  X ) )
8973, 88eqtrd 2441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  /\  ( R  .x.  ( y 
.^  X ) )  =  ( ( y E R )  .x.  X ) )  -> 
( R  .x.  (
( y  +  1 )  .^  X )
)  =  ( ( ( y  +  1 ) E R ) 
.x.  X ) )
9089exp31 602 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( ( R  .x.  ( y  .^  X ) )  =  ( ( y E R )  .x.  X
)  ->  ( R  .x.  ( ( y  +  1 )  .^  X
) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E R )  .x.  X ) ) ) )
9190a2d 26 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( y  .^  X ) )  =  ( ( y E R )  .x.  X
) )  ->  (
( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( ( y  +  1 )  .^  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E R )  .x.  X
) ) ) )
926, 12, 18, 24, 53, 91nn0ind 10916 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( N  .^  X
) )  =  ( ( N E R )  .x.  X ) ) )
9392exp4c 606 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( R  e.  K  ->  ( X  e.  V  ->  ( W  e.  LMod  ->  ( R  .x.  ( N 
.^  X ) )  =  ( ( N E R )  .x.  X ) ) ) ) )
9493com12 29 . . 3  |-  ( R  e.  K  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( X  e.  V  ->  ( W  e.  LMod  ->  ( R  .x.  ( N 
.^  X ) )  =  ( ( N E R )  .x.  X ) ) ) ) )
95943imp 1189 . 2  |-  ( ( R  e.  K  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  V )  ->  ( W  e.  LMod  ->  ( R  .x.  ( N  .^  X ) )  =  ( ( N E R )  .x.  X
) ) )
9695impcom 428 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( R  e.  K  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  V ) )  -> 
( R  .x.  ( N  .^  X ) )  =  ( ( N E R )  .x.  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   0cc0 9440   1c1 9441    + caddc 9443   NN0cn0 10754   Basecbs 14731   +g cplusg 14799  Scalarcsca 14802   .scvsca 14803   0gc0g 14944   Mndcmnd 16133   Grpcgrp 16267  .gcmg 16270   LModclmod 17722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-seq 12060  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-plusg 14812  df-0g 14946  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-mulg 16274  df-mgp 17352  df-ring 17410  df-lmod 17724
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