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Theorem lmodvsmdi 32845
Description: Multiple distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by AV, 5-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmdi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvsmdi.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodvsmdi.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodvsmdi.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodvsmdi.p  |-  .^  =  (.g
`  W )
lmodvsmdi.e  |-  E  =  (.g `  F )
Assertion
Ref Expression
lmodvsmdi  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( R  e.  K  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  V ) )  -> 
( R  .x.  ( N  .^  X ) )  =  ( ( N E R )  .x.  X ) )

Proof of Theorem lmodvsmdi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .^  X )  =  ( 0  .^  X ) )
21oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  ( R  .x.  ( x  .^  X ) )  =  ( R  .x.  (
0  .^  X )
) )
3 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
x E R )  =  ( 0 E R ) )
43oveq1d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( x E R )  .x.  X )  =  ( ( 0 E R )  .x.  X ) )
52, 4eqeq12d 2465 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( R  .x.  (
x  .^  X )
)  =  ( ( x E R ) 
.x.  X )  <->  ( R  .x.  ( 0  .^  X
) )  =  ( ( 0 E R )  .x.  X ) ) )
65imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( x  .^  X ) )  =  ( ( x E R )  .x.  X
) )  <->  ( (
( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( 0  .^  X
) )  =  ( ( 0 E R )  .x.  X ) ) ) )
7 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .^  X )  =  ( y  .^  X ) )
87oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( R  .x.  ( x  .^  X ) )  =  ( R  .x.  (
y  .^  X )
) )
9 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x E R )  =  ( y E R ) )
109oveq1d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x E R )  .x.  X )  =  ( ( y E R )  .x.  X ) )
118, 10eqeq12d 2465 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( R  .x.  (
x  .^  X )
)  =  ( ( x E R ) 
.x.  X )  <->  ( R  .x.  ( y  .^  X
) )  =  ( ( y E R )  .x.  X ) ) )
1211imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( x  .^  X ) )  =  ( ( x E R )  .x.  X
) )  <->  ( (
( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( y  .^  X
) )  =  ( ( y E R )  .x.  X ) ) ) )
13 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  .^  X )  =  ( ( y  +  1 )  .^  X ) )
1413oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( R  .x.  ( x  .^  X ) )  =  ( R  .x.  (
( y  +  1 )  .^  X )
) )
15 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x E R )  =  ( ( y  +  1 ) E R ) )
1615oveq1d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( x E R )  .x.  X )  =  ( ( ( y  +  1 ) E R )  .x.  X ) )
1714, 16eqeq12d 2465 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( R  .x.  (
x  .^  X )
)  =  ( ( x E R ) 
.x.  X )  <->  ( R  .x.  ( ( y  +  1 )  .^  X
) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E R )  .x.  X ) ) )
1817imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( x  .^  X ) )  =  ( ( x E R )  .x.  X
) )  <->  ( (
( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( ( y  +  1 )  .^  X
) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E R )  .x.  X ) ) ) )
19 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
x  .^  X )  =  ( N  .^  X ) )
2019oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( R  .x.  ( x  .^  X ) )  =  ( R  .x.  ( N  .^  X ) ) )
21 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
x E R )  =  ( N E R ) )
2221oveq1d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
( x E R )  .x.  X )  =  ( ( N E R )  .x.  X ) )
2320, 22eqeq12d 2465 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
( R  .x.  (
x  .^  X )
)  =  ( ( x E R ) 
.x.  X )  <->  ( R  .x.  ( N  .^  X
) )  =  ( ( N E R )  .x.  X ) ) )
2423imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( x  .^  X ) )  =  ( ( x E R )  .x.  X
) )  <->  ( (
( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( N  .^  X
) )  =  ( ( N E R )  .x.  X ) ) ) )
25 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
2625adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  X  e.  V )
27 lmodvsmdi.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  W
)
28 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
29 lmodvsmdi.p . . . . . . . . . 10  |-  .^  =  (.g
`  W )
3027, 28, 29mulg0 16126 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  V  ->  (
0  .^  X )  =  ( 0g `  W ) )
3126, 30syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( 0 
.^  X )  =  ( 0g `  W
) )
3231oveq2d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( 0  .^  X
) )  =  ( R  .x.  ( 0g
`  W ) ) )
33 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  R  e.  K )
3433anim1i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  e.  K  /\  W  e. 
LMod ) )
3534ancomd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K ) )
36 lmodvsmdi.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  (Scalar `  W )
37 lmodvsmdi.s . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  W )
38 lmodvsmdi.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  F
)
3936, 37, 38, 28lmodvs0 17525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K )  ->  ( R  .x.  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  W
) )
4035, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( 0g `  W
) )  =  ( 0g `  W ) )
4125anim1i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( X  e.  V  /\  W  e. 
LMod ) )
4241ancomd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V ) )
43 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
4427, 36, 37, 43, 28lmod0vs 17524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  X )  =  ( 0g `  W ) )
4542, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( ( 0g `  F )  .x.  X )  =  ( 0g `  W ) )
4633adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  R  e.  K )
47 lmodvsmdi.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  (.g `  F )
4838, 43, 47mulg0 16126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  K  ->  (
0 E R )  =  ( 0g `  F ) )
4948eqcomd 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  K  ->  ( 0g `  F )  =  ( 0 E R ) )
5046, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( 0g `  F )  =  ( 0 E R ) )
5150oveq1d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( ( 0g `  F )  .x.  X )  =  ( ( 0 E R )  .x.  X ) )
5240, 45, 513eqtr2d 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( 0g `  W
) )  =  ( ( 0 E R )  .x.  X ) )
5332, 52eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( 0  .^  X
) )  =  ( ( 0 E R )  .x.  X ) )
54 lmodgrp 17498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
55 grpmnd 16041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  Grp  ->  W  e.  Mnd )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Mnd )
5756ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  ->  W  e.  Mnd )
58 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
y  e.  NN0 )
5926adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  ->  X  e.  V )
60 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
6127, 29, 60mulgnn0p1 16132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  X  e.  V )  ->  (
( y  +  1 )  .^  X )  =  ( ( y 
.^  X ) ( +g  `  W ) X ) )
6257, 58, 59, 61syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( y  +  1 )  .^  X
)  =  ( ( y  .^  X )
( +g  `  W ) X ) )
6362oveq2d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( R  .x.  (
( y  +  1 )  .^  X )
)  =  ( R 
.x.  ( ( y 
.^  X ) ( +g  `  W ) X ) ) )
64 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  W  e.  LMod )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  ->  W  e.  LMod )
66 simprll 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  ->  R  e.  K )
6727, 29mulgnn0cl 16137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  X  e.  V )  ->  (
y  .^  X )  e.  V )
6857, 58, 59, 67syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( y  .^  X
)  e.  V )
6927, 60, 36, 37, 38lmodvsdi 17514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( R  e.  K  /\  ( y  .^  X
)  e.  V  /\  X  e.  V )
)  ->  ( R  .x.  ( ( y  .^  X ) ( +g  `  W ) X ) )  =  ( ( R  .x.  ( y 
.^  X ) ) ( +g  `  W
) ( R  .x.  X ) ) )
7065, 66, 68, 59, 69syl13anc 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( R  .x.  (
( y  .^  X
) ( +g  `  W
) X ) )  =  ( ( R 
.x.  ( y  .^  X ) ) ( +g  `  W ) ( R  .x.  X
) ) )
7163, 70eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( R  .x.  (
( y  +  1 )  .^  X )
)  =  ( ( R  .x.  ( y 
.^  X ) ) ( +g  `  W
) ( R  .x.  X ) ) )
72 oveq1 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  .x.  ( y 
.^  X ) )  =  ( ( y E R )  .x.  X )  ->  (
( R  .x.  (
y  .^  X )
) ( +g  `  W
) ( R  .x.  X ) )  =  ( ( ( y E R )  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( R 
.x.  X ) ) )
7371, 72sylan9eq 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  /\  ( R  .x.  ( y 
.^  X ) )  =  ( ( y E R )  .x.  X ) )  -> 
( R  .x.  (
( y  +  1 )  .^  X )
)  =  ( ( ( y E R )  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( R  .x.  X ) ) )
7436lmodfgrp 17500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
75 grpmnd 16041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Grp  ->  F  e.  Mnd )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Mnd )
7776ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  ->  F  e.  Mnd )
7838, 47mulgnn0cl 16137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  R  e.  K )  ->  (
y E R )  e.  K )
7977, 58, 66, 78syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( y E R )  e.  K )
80 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
8127, 60, 36, 37, 38, 80lmodvsdir 17515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( y E R )  e.  K  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
( y E R ) ( +g  `  F
) R )  .x.  X )  =  ( ( ( y E R )  .x.  X
) ( +g  `  W
) ( R  .x.  X ) ) )
8265, 79, 66, 59, 81syl13anc 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( ( y E R ) ( +g  `  F ) R )  .x.  X
)  =  ( ( ( y E R )  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( R  .x.  X ) ) )
8338, 47, 80mulgnn0p1 16132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  R  e.  K )  ->  (
( y  +  1 ) E R )  =  ( ( y E R ) ( +g  `  F ) R ) )
8477, 58, 66, 83syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( y  +  1 ) E R )  =  ( ( y E R ) ( +g  `  F
) R ) )
8584eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( y E R ) ( +g  `  F ) R )  =  ( ( y  +  1 ) E R ) )
8685oveq1d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( ( y E R ) ( +g  `  F ) R )  .x.  X
)  =  ( ( ( y  +  1 ) E R ) 
.x.  X ) )
8782, 86eqtr3d 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( ( y E R )  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( R 
.x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E R )  .x.  X ) )
8887adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  /\  ( R  .x.  ( y 
.^  X ) )  =  ( ( y E R )  .x.  X ) )  -> 
( ( ( y E R )  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( R 
.x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E R )  .x.  X ) )
8973, 88eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  /\  ( R  .x.  ( y 
.^  X ) )  =  ( ( y E R )  .x.  X ) )  -> 
( R  .x.  (
( y  +  1 )  .^  X )
)  =  ( ( ( y  +  1 ) E R ) 
.x.  X ) )
9089exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( ( R  .x.  ( y  .^  X ) )  =  ( ( y E R )  .x.  X
)  ->  ( R  .x.  ( ( y  +  1 )  .^  X
) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E R )  .x.  X ) ) ) )
9190a2d 26 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( y  .^  X ) )  =  ( ( y E R )  .x.  X
) )  ->  (
( ( R  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( ( y  +  1 )  .^  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E R )  .x.  X
) ) ) )
926, 12, 18, 24, 53, 91nn0ind 10966 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( R  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( R  .x.  ( N  .^  X
) )  =  ( ( N E R )  .x.  X ) ) )
9392exp4c 608 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( R  e.  K  ->  ( X  e.  V  ->  ( W  e.  LMod  ->  ( R  .x.  ( N 
.^  X ) )  =  ( ( N E R )  .x.  X ) ) ) ) )
9493com12 31 . . 3  |-  ( R  e.  K  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( X  e.  V  ->  ( W  e.  LMod  ->  ( R  .x.  ( N 
.^  X ) )  =  ( ( N E R )  .x.  X ) ) ) ) )
95943imp 1191 . 2  |-  ( ( R  e.  K  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  V )  ->  ( W  e.  LMod  ->  ( R  .x.  ( N  .^  X ) )  =  ( ( N E R )  .x.  X
) ) )
9695impcom 430 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( R  e.  K  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  V ) )  -> 
( R  .x.  ( N  .^  X ) )  =  ( ( N E R )  .x.  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   NN0cn0 10802   Basecbs 14614   +g cplusg 14679  Scalarcsca 14682   .scvsca 14683   0gc0g 14819   Mndcmnd 15898   Grpcgrp 16032  .gcmg 16035   LModclmod 17491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-seq 12090  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-plusg 14692  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-mulg 16039  df-mgp 17121  df-ring 17179  df-lmod 17493
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